考研高数 一元函数微分学知识体系

考研高等数学第二讲 一元函数微分学知识体系 介绍一元函数微积分与微分方程的基本知识，内容包括：函数、极限与连续，导数与微分，中值定理与导数的应用，定积分与不定积分，定积分的应用以及微分方程。 收藏下图学起来

一元函数微分学

• 导数定义
  • 抽象函数f（x）
    • 泛指x
    • 特指X0
  • 分段函数（含绝对值函数）
  • 四则运算
    • f×f
    • f+f
      • 先导后代（式子易于求导）
      • 定义法（复杂式子）
  • 无定义
    • 函数的尖点处
• 导数计算
  • 基本求导公式表（repetition）
  • 符号写法
    • "幂的微分"
    • "微分的幂"
  • 复合函数求导
    • "一层一层剥开她的心"
  • 隐函数求导
  • 参数方程
  • 分段函数
    • 分段点导数用定义
    • 非分段点处用公式
  • 反函数
    • 函数本身性质
    • 导函数性质
  • 取对数
  • 高阶导数
    • 归纳法（基本高阶求导公式）
    • 莱布尼茨公式 （杨辉三角形/帕斯卡三角形）
      • n不大
      • n很大但某一项为0 （具体点可代值）
    • 麦克劳林展开式法 （十个） （数二必考）
      • 偶函数展开没有奇次方
      • 奇函数展开没有偶次方
• 导数的几何应用
  • 研究对象
    • 祖孙三代
    • 分段函数（含绝对值）
    • 参数方程
    • 隐函数
  • 研究内容
    • 切线，法线，截距（不是距离）
    • 极值，单调
      • 注意提出一阶导无法判断的项接着求导
    • 拐点，凹凸性
      • 会列表画图
    • 渐近线
      • 一垂二平三斜
    • 最值（值域）
      • 注意利用奇偶性缩区间
    • 曲率（记公式）
    • 相关变化率
    • 速度（加速度）
• 导数的证明性应用（一）
  • 中值定理
    • 一，确定区间
      • 数轴上标出所有可能用到的点
    • 二，确定研究对象 （辅助函数）
      • 简单情形
        • 题设f（x）即为辅助函数
      • 复杂情形
        • 乘积求导公式逆用
        • 商的求导公式逆用
        • 原函数定义
      • 题设给出F（x）或F（a）亦可作为提示 让考生令F（x）为辅助函数
    • 三，确定定理
      • 零点，介值定理
        • 常用于找点的信息
      • 费马定理
        • 证一阶导为0
      • 罗尔定理
        • 证一阶导为0
        • n阶导为0（n>=2）
      • 拉格朗日中值定理
        • N-L公式
          • 题设有f-一阶导或f-f
          • 一阶导＞＜0
          • n阶导＞＜0
          • 证两个不同一阶导点的关系
          • 变体形式（含比例因数 西塔）
      • 泰勒
        • 一阶导与n阶导的关系
        • 利用泰勒公式套积分号
        • 证n阶导与A的关系
        • 凹凸性
      • 柯西
        • 一个具体一个抽象
        • 双中值问题（与拉氏中值定理综合）
    • 四，确定点的信息
      • 用题设告知
        • f（a）=0 （隐身了）
        • 二阶导＞0想泰勒
      • 用极限（连续，可导）
        • 连续定义
          • 得函数值性态
        • 可导定义
          • 得导数值性态（往往会和泰勒综合）
        • 保号性（不等式脱帽法）
        • 算极限
      • 用积分
        • 均值定义确定点的信息
        • 原函数定义
        • 积分保号性
        • 算积分
      • 用介值
      • 用费马定理
      • 用奇偶性质
        • 若f（x）奇，则f（0）=0
        • 若f（x）偶，则f'（x）奇，则f'（0）=0
      • 几何条件
        • 存在相等的最大值
          • 最大值点不为同一点
          • 最大值点不同
        • 交于一点a
        • 在a点有公切线
      • 用行列式
• 导数的证明性应用（二）
  • 不等式问题
    • 常规:作和差
    • 非常规:作积商
• 导数的证明性应用（三）
  • 恒等式证明
    • 一阶导二阶导研究函数性态
    • 含参数方程根，交点问题