考研高数

考研高等数学第二讲一元函数微分学知识体系

一元函数微分学导数定义导数计算导数的几何应用导数的证明性应用(一)导数的证明性应用(二)导数的证明性应用(三)抽象函数f(x)分段函数(含绝对值函数)四则运算泛指x特指X0f×ff+f先导后代(式子易于求导)定义法(复杂式子)基本求导公式表(repetition)符号写法"幂的微分""微分的幂"复合函数求导"一层一层剥开她的心"隐函数求导参数方程分段函数分段点导数用定义非分段点处用公式反函数函数本身性质导函数性质取对数高阶导数归纳法(基本高阶求导公式)莱布尼茨公式(杨辉三角形/帕斯卡三角形)麦克劳林展开式法(十个)(数二必考)n不大n很大但某一项为0(具体点可代值)偶函数展开没有奇次方奇函数展开没有偶次方研究对象祖孙三代分段函数(含绝对值)参数方程隐函数研究内容切线,法线,截距(不是距离)极值,单调拐点,凹凸性渐近线最值(值域)曲率(记公式)相关变化率速度(加速度)注意利用奇偶性缩区间一垂二平三斜注意提出一阶导无法判断的项接着求导会列表画图中值定理一,确定区间二,确定研究对象(辅助函数)数轴上标出所有可能用到的点简单情形题设f(x)即为辅助函数复杂情形乘积求导公式逆用商的求导公式逆用原函数定义题设给出F(x)或F(a)亦可作为提示让考生令F(x)为辅助函数三,确定定理零点,介值定理费马定理罗尔定理拉格朗日中值定理泰勒N-L公式常用于找点的信息证一阶导为0证一阶导为0n阶导为0(n>=2)题设有f-一阶导或f-f一阶导><0n阶导><0证两个不同一阶导点的关系一阶导与n阶导的关系证n阶导与A的关系四,确定点的信息用题设告知f(a)=0(隐身了)用极限(连续,可导)二阶导>0想泰勒连续定义可导定义保号性(不等式脱帽法)算极限用积分均值定义确定点的信息原函数定义积分保号性算积分用奇偶性质几何条件存在相等的最大值交于一点a在a点有公切线用行列式利用泰勒公式套积分号变体形式(含比例因数 西塔)柯西一个具体一个抽象凹凸性双中值问题(与拉氏中值定理综合)得函数值性态得导数值性态(往往会和泰勒综合)用介值用费马定理若f(x)奇,则f(0)=0若f(x)偶,则f'(x)奇,则f'(0)=0最大值点不为同一点最大值点不同不等式问题常规:作和差非常规:作积商恒等式证明一阶导二阶导研究函数性态含参数方程根,交点问题无定义函数的尖点处
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