考研高数 一元函数微分学知识体系

考研高等数学第二讲 一元函数微分学知识体系 介绍一元函数微积分与微分方程的基本知识，内容包括：函数、极限与连续，导数与微分，中值定理与导数的应用，定积分与不定积分，定积分的应用以及微分方程。 收藏下图学起来

一元函数微分学

导数定义

抽象函数f（x）

泛指x

特指X0

分段函数（含绝对值函数）

四则运算

f×f

f+f

先导后代（式子易于求导）

定义法（复杂式子）

无定义

函数的尖点处

导数计算

基本求导公式表（repetition）

符号写法

"幂的微分"

"微分的幂"

复合函数求导

"一层一层剥开她的心"

隐函数求导

参数方程

分段函数

分段点导数用定义

非分段点处用公式

反函数

函数本身性质

导函数性质

取对数

高阶导数

归纳法（基本高阶求导公式）

莱布尼茨公式 （杨辉三角形/帕斯卡三角形）

n不大

n很大但某一项为0 （具体点可代值）

麦克劳林展开式法 （十个） （数二必考）

偶函数展开没有奇次方

奇函数展开没有偶次方

导数的几何应用

研究对象

祖孙三代

分段函数（含绝对值）

参数方程

隐函数

研究内容

切线，法线，截距（不是距离）

极值，单调

注意提出一阶导无法判断的项接着求导

拐点，凹凸性

会列表画图

渐近线

一垂二平三斜

最值（值域）

注意利用奇偶性缩区间

曲率（记公式）

相关变化率

速度（加速度）

导数的证明性应用（一）

中值定理

一，确定区间

数轴上标出所有可能用到的点

二，确定研究对象 （辅助函数）

简单情形

题设f（x）即为辅助函数

复杂情形

乘积求导公式逆用

商的求导公式逆用

原函数定义

题设给出F（x）或F（a）亦可作为提示 让考生令F（x）为辅助函数

三，确定定理

零点，介值定理

常用于找点的信息

费马定理

证一阶导为0

罗尔定理

证一阶导为0

n阶导为0（n>=2）

拉格朗日中值定理

N-L公式

题设有f-一阶导或f-f

一阶导＞＜0

n阶导＞＜0

证两个不同一阶导点的关系

变体形式（含比例因数 西塔）

泰勒

一阶导与n阶导的关系

利用泰勒公式套积分号

证n阶导与A的关系

凹凸性

柯西

一个具体一个抽象

双中值问题（与拉氏中值定理综合）

四，确定点的信息

用题设告知

f（a）=0 （隐身了）

二阶导＞0想泰勒

用极限（连续，可导）

连续定义

得函数值性态

可导定义

得导数值性态（往往会和泰勒综合）

保号性（不等式脱帽法）

算极限

用积分

均值定义确定点的信息

原函数定义

积分保号性

算积分

用介值

用费马定理

用奇偶性质

若f（x）奇，则f（0）=0

若f（x）偶，则f'（x）奇，则f'（0）=0

几何条件

存在相等的最大值

最大值点不为同一点

最大值点不同

交于一点a

在a点有公切线

用行列式

导数的证明性应用（二）

不等式问题

常规:作和差

非常规:作积商

导数的证明性应用（三）

恒等式证明

一阶导二阶导研究函数性态

含参数方程根，交点问题