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概率论与数理统计

根据2020新版数学一考纲制作，注释包含大量定义公式等。分支内容包括：随机事件与概率、一卫随机变量及其分布、多维随机变量及其分布等。

编辑于2021-01-11 13:08:00

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少儿栏目外景策划波波老师

概率论与数理统计数学一

随机事件与概率

随机事件及其运算

概念：随机试验；样本空间，样本点；随机事件

关系：包含，相等，对立，互斥

互斥/互不相容：AB=Æ

运算：和，积，差，逆

运算法则

概率的类型

古典概型

Ω仅含有限等可能样本点排列组合公式：摸球问题，随机入盒问题，随机取数问题

几何概型

Ω为可度量几何区域，实验结果可能性相同

统计概型

n次独立重复试验，A发生的频率具有稳定性，在p附近波动，n越大波动越小

公理定义

满足：非负性，事件概率 P(A)≥0 规范性，样本空间概率 P(Ω)=1 可列可加性

概率计算

加法，求逆，求差，乘法

P(A-B)=P(A)-P(AB) P(AB)=P(A)·P(B|A)=P(B)·P(A|B)

条件概率

公式法缩减样本空间：求出条件密度定积分

全概率公式，贝叶斯公式

n重伯努利试验

n次试验中事件A发生k次第k次试验事件A首次发生

独立

定义：P(AB)=P(A)P(B)

A、B事件在概率上互不影响特别的，概率为0或1的事件与任何事件都相互独立

充要条件

下式同时成立时A、B、C相互独立： P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C) P(BC)=P(B)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) A、B、C相互独立→A、B、C两两独立，且P(ABC)=P(A)P(B)P(C)，反之不然 P(A-B)=1→A、B、C相互独立

性质

独立事件，不重叠分组运算后仍独立

互斥，独立，对立

题型

摸球问题

入盒问题

概率公式计算

概率关系推不出事件的关系

事件独立性

一维随机变量及其分布

随机变量

定义，分布函数F(x)，概率密度f(x)

分布函数性质（必要条件）： F(x)单调不减，对任意x1<x2，F(x1)≤F(x2)； 0≤F(x)≤1，且F(-∞)=0，F(+∞)=1； F(x)右连续，即F(x+0)=F(x)；对任意的x，P{X=x}=F(x)-F(x-0)；F(x)在x处连续时⇔P{X=x}=0；对任意x1<x2，P{x1<X≤x2)=F(x2)-F(x1)。连续随机变量概率密度 f(x) 的值可能大于1，概率密度函数是对连续随机变量定义的，本身不是概率，只有对连续随机变量的概率密度函数在某区间内进行积分后才是概率若f(x) 关于直线x=a对称，当EX存在时，有EX=a.

离散型随机变量

二项分布：X~B(n，p)

Binomial Distribution 独立重复试验，只有两个结果（发生，不发生）

几何分布：X~G(p)

Geometric Distribution 次数未知的独立重复伯努利试验，A首次发生时的试验次数【说明】在伯努利试验中，如果前m次试验中，事件A一直没出现，则等到A出现时，所需要的等待时间仍服从同一个几何分布，其分布与m无关，即P{X=m+k | X>m}与m无关，这就是所谓的几何分布的无记忆性.

超几何分布：X~H(n，M，N)

Hypergeometric Distribution 超几何分布为不放回抽样若为放回抽样，当N→∞，可用二项分布代替超几何分布

泊松分布：X~P(λ)

意义：t时间内，期望为λ的事件发生k次的概率，因此k=λ时的概率最大当k很大，p很小时，二项分布可用泊松分布逼近

连续型随机变量

均匀分布X~U(a，b)

Uniform Distribution

指数分布X~e(λ)

Exponential Distribution 无记忆性：P{X＞m+n | X＞m}=P{X＞n}，P{X≤m+n | X＞m}=P{X≤n}

正态分布X~N(μ,σ²)

正态分布标准化；对称性 Φ(-x)=1-Φ(x)，当a>0时，P{ |x|≤a}=2Φ(a)-1 独立正态分布：aX±bY+C~(aμ₁±bμ₂+C，a²σ₁²+b²σ₂²) 1σ：0.6826；2σ：0.9544；3σ：0.9974

随机变量函数的分布

离散型

连续型

定义法

将x的分界点代入y的表达式，得到y的分界点

公式法

条件：Y=g(x)单调求y的反函数x=h(y) Y=F(X)（F(X)是X的分布函数）的分布函数与X的概率密度函数无关，Y=F(X)在[0,1]上服从均匀分布，对任意连续型随机变量X均成立

非离散非连续型

题型

分布函数、概率密度的性质

常用分布概率的计算

求随机变量函数的分布

多维随机变量及其分布

二维随机变量分布

掌握分布和密度的性质联合分布联合密度边缘分布边缘密度，边缘分布不能唯一确定联合分布，除非X、Y独立条件分布条件密度

二维离散型随机变量

可能以概率关系形式，如给出P(A)、P(AB)，隐含不独立

注意是否独立！

二维连续型随机变量

均匀分布

二维正态分布

独立等价于不相关联合分布可以确定边缘分布，反之不一定成立若(X, Y)服从二维正态分布，则(X, Y)·A也服从二维正态分布，A为二阶可逆矩阵，（多元正态分布变量的线性组合仍然是多元正态分布）

独立性

离散型

X、Y独立，则行/列成比例

连续型

二维正态：ρ=0⇔相互独立⇔不相关 X、Y独立→则g(X)、h(Y)独立，反之不成立

求随机变量函数的分布

通常结合条件分布、全概率、独立性、数字特征考大题，必考离散型考由边缘分布求整体分布结合级数求期望

离散型

由边缘分布，求整体分布

连续型

最值函数的概率密度与期望的求法

定义法

二重积分求Z的分布函数视具体情况可能需分区域积分

公式法

xOz或yOz坐标系中卷积公式：全平面积分得概率分布，变上限积分求导得概率密度可不掌握，重点是定义法

离散+连续型

定义法，全概率公式注意检验分布函数分段处的连续性

题型

求联合密度、边缘密度、条件密度

已知边缘密度求联合密度/联合分布

求随机变量的函数的分布

注意检验分布函数分段处的连续性

随机变量的数字特征

期望与方差

期望

积分求和，级数求和

定义

一维随机变量的数学期望，随机变量的函数的数学期望二维随机变量的函数的数学期望定义求期望

性质

E(ΣkX)=Σ(kEX) X、Y、Z相互独立➜EXYZ=EX·EY·EZ E(X+Y)=EX+EY无关独立性

方差

定义

DX=E[(X-EX)²]

性质

DX≥0，且DX＝０⇔P{X＝EX}＝１ D(ΣkX)=Σ(k²·DX) D(XY)=DX·DY+EX·EX·DY+EY·EY·DX D(X±Y)=DX+DY±2Cov(X，Y)，若X、Y独立，则D(X士Y)=DX+DY X关于期望EX的偏离程度不超过它关于任意常数C的偏离程度

常用期望与方差

协方差和相关系数

矩

原点矩，中心矩，混合矩，混合中心矩

协方差

Covariance Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-EX·EY 独立变量协方差为零 Cov（X，Y）=Cov（Y，X）； Cov（X，X）=DX； Cov（aX+c，bY+d）=abCov（X，Y）； Cov（X₁+X₂，Y）=Cov（X₁，Y）+Cov（X₂，Y） D（X±Y）=DX+DY±2Cov（X，Y）