导图社区 高等数学数三方法
一张思维导图为你讲述高等数学数三的所有方法，分别有极限、一元函数微积分学、多元函数微积分学（二元）、微分方程、差分方程、无穷级数。本图可分为工具、内容、应用这三个板块展开进行。
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高等数学-数三：方法论
工具
极限
定义及性质
函数极限
ε、σ语言（背！）
数列极限
唯一性
极限存在必唯一 （考点：极限存在→左右极限存在且相等）
极限不存在，主要有
绝对值函数
反三角函数
倒数指数函数
等等
局部有界性
极限有界，则函数（数列）在趋近极限的过程中有界（无法反推，反例：sinx）
局部保号性
脱帽法：极限脱掉帽子正负号不变（一定是在趋近极限的过程中）
计算
函数极限的计算
化简先行（此思想贯穿全题）
等价替换
等价无穷小替换（背）
attention：1.加减处不能等价无穷小替换， 乘除可以 2.无穷小时才能换，别瞎换！
倒带换：分式为正三角时使用
负代换：方便在根号内操作
三角带换：遇到平方和或平方时
恒等变形
加减乘除
分式拆分合并
分子分母同乘同除某一个式子
先计算出某部分
加的部分：计算出常数
乘的部分：计算出不为零的常数
常数项级数转化
极限下标为∞时，判断该项组成的无穷级数的敛散性，若收敛，则该极限为零
幂级数转化
某些前n项和的极限可以转化为幂级数在某一点处的极限值，并且对幂级数求和
an+b在分子
先积后导
an+b在分母
先导后积（背公式）
抓大头
分子分母不同阶：0或∞
分子分母同阶：极限等于“大头”前的系数之比
导数定义转化
转化为0到1的定积分（有时需要取对数，把n项积拆成n项和）
step1：提取1/n
step2：凑出i/n
step3：1/n看成dx，i/n看成x，积分上下限写为1，0
判别类型
0/0，∞/∞，0*∞
0/0，∞/∞：洛必达
remember:x→0时，幂函数趋于零的速度 大于对数函数趋于无穷的速度！
0*∞：下放原则：简单因式才下放
∞—∞
有分母：通分
无分母：创造分母再通分
1ºº，∞º，0º
幂指函数的变形
attention:这里经常用lnx～x—1的等价无穷小替换
使用工具
泰勒公式（背）
洛必达法则
attention:抽象函数没提到可导性时别乱用
数列极限的计算
归结原则：适用于通项已知且易于连续化
方法：将n改为x，求函数的极限
夹逼准则：通项已知且不易于连续化
attention:题目中一般有夹逼提示，仔细寻找
单调有界准则：通项由递推式给出
应用
函数有界性的判断
闭区间：连续即有界
开区间
函数在区间上连续，左端点的右极限，右端点的左极限存在
有界
极限不存在（极限不存在也可能有界，如sinx）
拆
有界±有界＝有界
有界×有界＝有界
连续与间断
无定义点：必间断，只需看类型
分段函数分段点：未必间断，看左右极限和函数值
内容
一元函数微积分学
定义
导数定义（增量式、差值式）
分段函数求导
分段点处：用定义
非分段点：用公式
某一点处的导数
多用定义法
求不可导点
令绝对值部分等于零，求出可能不可导点，再看左右极限是否相等
反函数求导法则
反函数比函数好导时用
连续性
除了连续与可导，其他都能互推
绝对值函数的可导性
｜x-a｜*g（x）在a处可导 ↹ g（a）=0
f（a）=0，导数在a点存在，则｜f（x）｜在a点可导 ↹ f（x）在a点导数为零
微分定义
背！微分定义！线性主部！误差！线性主部的推导！！！
不定积分
原函数存在性
连续：必有原函数（证）
含跳跃、可去、无穷间断点无原函数（证）
含无穷间断点：可能有，可能无
奇偶性
f(x)奇↹奇其任意原函数为偶函数
f(x)偶↹只有一个原函数为奇函数（下限为0），其他不知
定积分
比较定积分大小
先转化为相同上下限（奇偶性、换元等），再转化为比较函数值大小
attention:多用放缩法，别把选择题做成大题
算出积分值
连续性！！！
连续性与常数上下限定积分
闭区间上只有有限个间断点且有界↹可积
闭区间连续：可积
变上限积分的连续性
连续，变上限积分必可导
可积，变上限积分必连续（但原函数不一定存在）
周期性
原函数周期为T
导函数：周期为T
变上限积分：周期为T ↹ 一个周期内积分为0
有界性
某一区间上，导数有界，则函数有界（不能反推）
利用定积分的定义计算极限（背定义！！！）
先提出1/n
再凑出i/n
1/n读作dx，i/n读作x，积分上下限写成1，0
变限积分（背公式）
反常积分（分为两类，背）
敛散性判断
足够近则收敛，不够进近则发散（两个特殊积分，背！）
求导
复合函数求导、隐函数求导、参数方程求导、反函数求导、对数求导法、分段函数求导
高阶导数
泰勒公式
step1：先写抽象泰勒公式
step2：将非幂级数部分用泰勒展开
step3：展开式具有唯一性，解出n阶导
莱布尼兹法（背！）
凑微分法
对复杂部分求导，在把导出来结果相似的部分放进微分号
换元法
三角代换（三类，背！）
恒等变换后的三角代换
根式代换（两种，背！）
倒代换
正三角时用
万能代换
复杂三角函数积分中，将tan令为t，再利用万能公式
令复杂的一坨为t
分部积分法（简单形式下，有三种类型）
表格法
公式法
有理函数积分
先对分母分解，再拆
直接拆
待定系数法（四种，背！）
按照分母来凑微分，拆
参数方程积分
看
几何意义
拆（主要是为了利用上述性质）
拆函数
拆积分区域
换
换元（注意上下限也要换）
利用三角函数诱导公式代换（常用！）
不定积分的换元法（都可用）
换成二重积分，再换序计算更简便
算
利用不定积分的方法计算
几何应用
导数的几何应用
三点
极值点
判别法1
驻点的左右领域异号
判别法2
一阶导数为零，二阶导数不为零
最值点
找三类点
驻点（可疑点）
不可导点
端点
拐点
函数连续，二阶导数变号
二阶导为零，三阶导不为零
两性
单调性
一阶导正负
凹凸性
二阶导正负
一线
渐近线
step1.算铅垂渐近线：找无定义点&定义区间的端点
step2.算水平渐近线：看±∞处的极限是否为常数
step3.算斜渐近线（方法，背）
积分的几何应用（硬功夫，计算）
面积
（记住高斯曲线的面积）
体积
函数平均值
背！并且知道他与积分中值定理的联系
经济应用
边际量，平均量，弹性
逻辑证明
多元函数微积分学（二元）
多元函数微分学
概念
判断
题目一般是间断，取某一方向趋近于此极限（如y=kx）
偏微，偏导与连续
偏导连续→可微→函数连续且可偏导，其他的所有都不能推出！！！！！
导数定义
定义求导（要常用！！！）
方程确定的隐函数求导
方程两边同时导
负的，方程关于x(或y)的偏导除以方程关于z的偏导
方程组确定的两个隐函数求导
方程两边同时对x和y求偏导，解四元方程
求全微分（线性增量）
公式的三种形式，背！！！
链式求导
有几个中间变量就写几个大框框
已知偏导求函数
积分，注意关于x积分时，积出来的常数为c(y)！！！不是简单的常数！！！
无条件极值
step1.令x的偏导和y的偏导，令其为0，解出驻点
step2.A=该点的xx偏导，B=该点的xy偏导，C=该点的yy偏导，求△，小极大非，大小小大
条件极值
拉格朗日乘数法
先构造辅助函数（有几个约束条件就多几个变量）
关于每个变量求偏导，令其为零
思路一
消λ
思路二
求λ（线性代数）
求出所有可疑点，代入求最值
参数法
先求出限制方程的参数方程，再代入，转化为一元函数极值
闭区间极值
step1.求开区间的无条件极值
step2.求边界的条件极值
二重积分
概念与对称性
积分区域关于y轴对称
偶倍奇零
积分区域关于x轴对称
积分区域关于原点对称
“偶“倍“奇”零
积分区域关于某直线轴对称
函数拆成（构造出）广义的奇偶函数
积分区域关于某点对称
函数拆成（构造）广义的“奇”“偶”函数
利用几何意义
球顶柱体体积
直角坐标
后积先定限
限内画条线
先交写下限
后交写上限
极坐标
选取原则：被积函数含有X方加Y方
attention：1.一般先积r 2.别忘了加r
微分方程
一阶方程
可分离变量
齐次型（背）
一阶线性（背）
可降阶（擦边球）
缺y→换元，换y的一阶导
缺x→换元，换y的一阶导
高阶方程
齐次
非齐次
非齐的解=齐的解+特解
特解设法
一型
一看二算三比较
二型（巨难）
差分方程（简单，略）
无穷级数
常数项级数
正项级数判敛
抽象级数
判敛原则：级数收敛↹前n项和有上界
比较判别法（题目很难！）
比较判别
大小小大，收收发发
比较判别法的极限形式
大小小大，收收发发，同阶同性
比值判别法
根值判别法
交错级数
莱布尼兹判别法
任意项级数
先加绝对值，再当做正项级数判
绝对收敛→收敛
加绝对值后发散
绝对值打开，拆成正项级数＋交错级数
收敛→条件收敛
发散→发散
通项在＋∞极限不为零，直接证明其发散
常用级数
等比级数（背）
｜q｜＜1 → 收敛于 ： 首项 /（1—公比）
｜q｜≥ 1 → 发散
p—级数（背）
p＞1 → 收敛
p≤1 → 发散
广义p—级数（背）
交错p—级数（背）
幂级数
求收敛半径和收敛域
step1.加绝对值
step2.比值判别法或根值判别法求收敛区间（此为收敛区间！！注意与收敛域相区别！！）
step3.单独看端点的敛散性
展开
直接用
先积后导，再展开
求和
先导后积
分子含有n的平方项
配方后先积后导
分母含有n的平方项
配方后裂项，再先导后积
