函数

初三一轮复习函数知识点汇总。下列思维导图分支内容包含：直角坐标系、一次函数、反比例函数和二次函数基本知识点。

函数

• 平面直角坐标系
  • 1. 物体位置的确定
    • 用经度和纬度确定物体位置
    • 用方位角和距离表示物体位置
      • 方位角:从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的夹角
      • 距离
  • 2. 平面直角坐标系
    • 有序实数对
      • 有顺序的两个数组成的数对，叫做有序实数对
        • 由两个数组成
        • （a,b）和（b，a）顺序不同，意义不同
    • 平面直角坐标系
      • 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系
        • 水平数轴称为X轴或横轴，向右为正方向
        • 铅直方向的数轴称为y轴或纵轴，向上为正方向
        • 两轴的交点O是原点
        • 横轴和纵轴的单位长度不一定相等
    • 象限
      • x轴和y轴把平面分成四个部分，称为四个象限，按逆时针顺序依次叫第一象限、第二象限、第三象限、第四象限
        • 第一象限
          • （+，+）
        • 第二象限
          • （-，+）
        • 第三象限
          • （-，-）
        • 第四象限
          • （+，-）
      • 特殊
        • 坐标轴上的点不属于任何象限
          • x轴
            • 在正半轴上
              • （+，0）
            • 在负半轴上
              • （-，0）
          • y轴
            • 在正半轴上
              • （0，+）
            • 在负半轴上
              • （0，-）
        • 原点
          • （0,0）
    • 点的位置与点的坐标
      • 点的位置
        • 用有序实数对（a,b）描述一个点的位置
        • 确定点P（a,b）位置
          • 对于坐标平面内任意一点P，过点P分别向x轴上表示a的点画x轴的垂线，过y轴上表示实数b的点画y轴的垂线，这两条垂线的交点即为点P
      • 点的坐标
        • 任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示，这样的有序实数对叫作点的坐标
        • 点P（a,b），过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a，b分别叫做点P的横坐标和纵坐标。
          • 其中a称为点P的横坐标，b称为点P的纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面
        • 点的坐标通常与表示该点的大写字母写在一起，如P（a,b）,Q(m,n)
        • 书写时，先横后纵再括号，中间隔开用逗号
      • 坐标平面内坐标特点
        • 与x轴平行的直线上所有点的纵坐标相同
        • 与y轴平行的直线上所有点的横坐标相同
        • 第一、三象限两坐标轴夹角平分线上的点横坐标相等
        • 第二、四象限两坐标轴夹角平分线上的点横纵坐标互为相反数
      • 点的距离
        • 点P（a,b）
          • 到x轴的距离是
            • lbl
          • 到y轴的距离是
            • lal
          • 到原点的距离是
        • 两点间的距离
        • 坐标平面内的点与有序实数对是意义对应的
      • 点关于坐标轴对称
        • 点（x,y）
          • 关于x轴对称
            • （x,-y）
          • 关于y轴对称
            • （-x,y）
          • 关于原点对称
            • -x,-y
          • 关于第一，三象限角平分线(x=y)对称
            • （y,x）
          • 关于第二，四象限角平分线(x=-y)对称
            • （-y,-x）
          • 关于直线y=c（c为常数）对称
            • （x,2ly-cl-y）
          • 关于直线x=c（c为常数）对称
            • （2lx-cl-x,y）
          • 关于点（m,n）对称
            • （2m-x,2n-y）
      • 用坐标表示点的平移
        • 点（x,y）
          • 向右平移a个单位长度
            • （x+a,y）
          • 向左平移a个单位长度
            • （x-a,y）
          • 向上平移b个单位长度
            • （x,y+b）
          • 向下平移b个单位长度
            • （x,y-b）
      • 图形的平移
        • 图形上各个点的平移
• 一次函数
  • 1. 函数
    • 常量与变量
      • 常量
        • 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫作常量
          • 只能取同一数值
      • 变量
        • 在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫作变量
          • 变量是指变化的数量本身，不包括相应固定的指数。如圆的面积公式S=πR²，其中R，S是变量
      • 常量与变量在特定的关系中有特定的意义
      • 常量是相对于某一变化过程或另一个变量而言的，绝对的常量是不存在的
    • 函数
      • 一般地，在一个变化过程中的两个变量x与y,如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么称x是自变量，y是因变量。y是x的函数。
        • 有两个变量
        • 一个变量的值随着另一个变量的值的变化而变化
        • 自变量每确定一个值，函数都有一个而且只有一个值与之对应
      • 自变量的取值范围
        • 使函数有意义的自变量的取值的全体
          • 使含自变量的代数式有意义
          • 结合实际意义，使函数在实际情况下有意义
        • 拓展
          • 定义域
            • 一般地，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域
            • 确定函数定义域的方法
              • 1.关系式为整式时，函数定义域为全体实数
              • 2.关系式含有分式时，分式的分母不等于零
              • 3.关系式含有二次根式时，被开方数大于等于零
              • 4.关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零
              • 5.实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义
          • 值域
            • 一般地，一个函数的因变量所得的值的范围，叫做这个函数的值域
      • 判断A是否是B的函数
        • 只要看B取值确定的时候，A是否有唯一确定的值与之对应
    • 函数值
      • 对于函数y=x,如果当x=a时y=b，那么b叫作当自变量x=a时的函数值
    • 函数的表示方法
      • 列表法
        • 用表格列出自变量与函数的对应值，表示两个变量之间的函数关系
      • 图像法
        • 用图像表示两个变量之间的函数关系
      • 解析式法
        • 函数解析式
          • 用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式
        • 两个变量之间的关系有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示出来，这种表示的方法叫做解析式法
          • 函数解析式是等式，书写是有顺序的，通常等式的左边是函数，等式的右边是用自变量表示函数的代数式
    • 函数图像
      • 在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标、对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫作这个函数的图像
      • 判断点P（x,y）是否在函数图像上的方法
        • 带入
      • 画函数图像的一般步骤
        • 1.列表
          • 表中给出一些自变量的值及其对应的函数值
        • 2.描点
          • 在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点
        • 3.连线
          • 按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来
    • 点的坐标与图像的关系
      • 图像上任意一点P（x,y）中的x,y是解析式方程中的一个解；反之，以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在图像上
      • 两个函数图像的交点，就是这两个函数解析式所组成的方程组的解，即求交点坐标，就是解方程组
      • 判定点是否在函数图像上的方法是将这个点的坐标代入函数解析式，如果满足函数解析式，这个点就在函数图像上，反之亦然
  • 2. 一次函数
    • 定义
      • 形如y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的函数叫作一次函数
        • x是自变量
        • y是x的函数
      • 特别：当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫作x的正比例函数
    • 用待定系数法求一次函数表达式
      • 1.设函数表达式为y=kx+b
      • 2.根据已知条件列出关于k和b的方程
      • 3.解方程
      • 4.把求出的k和b的值代入到函数表达式中即可
  • 3. 一次函数的图像
    • 图像及性质
      • k＞0
        • b＞0
          • 经过一、二、三象限
        • b＝0
          • 一、二
        • b＜0
          • 一、三、四
        • y随x的增大而增大
      • k＜0
        • b＞0
          • 一、二、四
        • b＝0
          • 二、四
        • b＜0
          • 二、三、四
        • y随x的增大而减小
      • 直线y=kx+b（k≠0）
        • 与y轴交于点（0，b）
        • 与x轴交于点
        • 截点（与b有关）：直线与y轴的交点，该点到原点的距离叫做截距
          • b＞0
            • 直线与y轴交于原点上方（即y轴的正半轴）
          • b＜0
            • 直线与y轴交于原点下方（即y轴的负半轴）
        • k的正负决定函数增减
        • b决定于y轴的交点
      • 倾斜度
        • 只与K有关
          • lKl越大，图像越接近于y轴；lKl越小，图像越接近于x轴
    • 一次函数的图像与画法
      • 由函数解析式y=kx+b选取满足条件的两点（x1,y1），（x2,y2），过着两点画直线
      • 一次函数y=kx+b（k,b为常数，且k≠0）的图像也称为直线y=kx+b
      • 画一次函数的图像时，一般选取两个特殊点
        • 与x轴的交点
        • 与y轴的交点（0，b）
      • 正比例函数y=kx
        • 点（0,0），（1，k）
    • 正比例函数的图像与性质
      • 正比例函数的图像是一条经过原点的直线，称它为直线y=kx
    • 一次函数图像的平移
      • 上加下减（对应b）
      • 左加右减（对应自变量x，注意在括号内加减）
    • 两条直线的位置关系
      • k相同，b不相同时
        • 两直线平行
      • k相同，b相同时
        • 两直线重合
      • K不相同时
        • 两直线相交
          • 将两直线方程联立成一个方程组
            • • 解得结果，即为交点
          • 时
            • 两直线垂直
  • 4. 用一次函数解决问题
    • 根据题意列出一次函数
    • 根据实际问题的需要确定自变量的取值范围
    • 画函数图像时，x轴与y轴的单位长度可以不同
    • 实际问题中的一次函数和正比例函数图像，大多为线段或射线。因为在实际问题中，自变量的取值范围是有一定限制的，即自变量的取值范围必须使实际问题有意义。
  • 5. 一次函数与二元一次方程
    • 关系
      • 二元一次方程与一次函数是“数”与“形”的关系，方程的解与函数图像上的点一一对应
      • 一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解
      • 一般地，如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解
    • 图像解法
      • 图像平行，原方程组无解
      • 图像重合，原方程组有无数组解
      • 图像只有一个交点，原方程组有唯一的一组解。交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解
  • 6. 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
    • 一次函数与一元一次方程
      • 解一元一次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时，求自变量x的值
    • 一次函数与一元一次不等式
      • 从图像上看，kx+b＞0的解集是直线y=kx+b位于x轴上方部分相应x的取值范围
      • 从图像上看，kx+b＜0的解集是直线y=kx+b位于x轴下方部分相应x的取值范围
    • 一元一次不等式、一元一次方程与一次函数之间的关系
      • 当一次函数中一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值
      • 当一次函数中一个变量的取值范围确定时，可以用一元一次不等式（组）确定另一个变量的取值范围
• 反比例函数
  • 1. 定义
    • 一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫作反比例函数
      • k叫做比例系数，x是自变量，y是x的函数
    • 注意
      • 1.k为常数，k≠0
      • 2.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数
      • 3.y的取值范围是y≠0的一切实数
  • 2. 表达形式
    • 反比例函数的一般形式是y=k/x（k为常数，k≠0），也可以写成或xy=k
  • 3. 用待定系数法求函数解析式
  • 4. 画法
    • 1.列表
    • 2.描点
    • 3.连线
  • 5. 图像与性质
    • 图像
      • 图像是双曲线，每条曲线随着的不断增大(或减小)越来越接近坐标轴
        • 图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来
    • 性质
      • k
        • k＞0
          • 双曲线的两支分别在第一、三象限
          • 在每一个象限内，y随x的增大而减小
        • k＜0
          • 双曲线的两支分别在第二、四象限
          • 在每一个象限内，y随x的增大而增大
        • lkl
          • lkl越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直
          • lkl越小，图象的弯曲度越大
      • 对称
        • 原点
          • 图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上
        • 直线
          • 图象关于直线y=±x对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（b，a）和（-b，-a）在双曲线的另一支上
  • 6. 几何意义
    • 过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得的矩形面积为lkl
    • 过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为
  • 7. 正比例函数和反比例函数交点问题
    • • 两函数无交点
    • • 两函数图像有两交点
        • 关于原点对称
• 二次函数
  • 1. 二次函数
    • 概念
      • 一般地，形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的函数叫作二次函数
        • x是自变量，y是x的函数
        • a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项
    • 注意
      • 等号的右边是一个整式——不是分式
      • 最高次项的次数是二次的，并且保证二次项系数永远不为0
    • 二次函数解析式
      • 一般式
        • y=ax²+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）
      • 顶点式
        • y=a（x-h）²+k（a,h,k为常数，a≠0）
          • （h,k）是抛物线的顶点
      • 两点式
        • 
          • ，是二次函数与x轴交点的横坐标，a≠0
  • 2. 待定系数法
    • 一般式
      • 已知抛物线上任意三点坐标
    • 顶点式
      • 已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值
    • 交点式（两点式）
      • 已知抛物线与x轴的两交点坐标时
  • 3. 图像与性质
    • 
      • 增减性
        • a＞0
          • • y随x的增大而增大
          • • y随x的增大而减小
        • a＜0
          • • y随x的增大而减小
          • • y随x的增大而增大
    • a,b,c的作用
      • a
        • a的符号决定抛物线的开口方向
          • a>0时，抛物线开口向上
          • a<0时，抛物线开口向下
        • a的绝对值决定抛物线的开口大小
          • |a|越大，抛物线开口越小
      • b
        • b=0
          • 对称轴为y轴
        • ab＞0
          • 对称轴在y轴左侧
        • ab＜0
          • 对称轴在y轴右侧
      • c
        • c=0
          • 图像过原点
        • c＞0
          • 与y轴的正半轴相交
        • c＜0
          • 与y轴的负半轴相交
      • b²-4ac
        • b²-4ac=0
          • 与x轴有唯一交点（顶点）
        • b²-4ac＞0
          • 与x轴有两个不同的交点
        • b²-4ac＜0
          • 与x轴无交点
  • 4. 二次函数的图像变换
    • 平移
      • 上加下减（括号外）
      • 左加右减（括号内）
      • 解析式化为顶点式
    • 对称
      • 关于x轴对称
        • y=ax²+bx+c关于x轴对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx-c
        • y=a（x-h）²+k关于x轴对称后，得到的解析式是y=-a（x-h）²-k
      • 关于y轴对称
        • y=ax²+bx+c关于y轴对称后，得到的解析式是y=ax²-bx+c
        • y=a（x-h）²+k关于y轴对称后，得到的解析式是y=a（x+h）²+k
    • 旋转
      • 绕原点旋转180°（即关于原点中心对称）
        • y=ax²+bx+c关于原点对称后，得到的解析式是y=-ax²+bx-c
        • y=a（x-h）²+k关于原点对称后，得到的解析式是y=-a（x+h）²-k
      • 绕顶点旋转180°（即关于顶点中心对称）
        • y=ax²+bx+c关于顶点对称后，得到的解析式是y=-ax²-bx+c-
        • y=a（x-h）²+k关于顶点对称后，得到的解析式是y=-a（x-h）²+k
  • 5. 求抛物线的顶点、对称轴的方法
    • 公式法
      • y=ax²+bx+c=
        • 顶点坐标：
        • 对称轴是直线
    • 配方法
      • 运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y=a（x-h）²+k的形式
        • 顶点坐标（h,k）
        • 对称轴是直线x=h
    • 运用抛物线的对称性
      • 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以关于对称轴对称的两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点
  • 6. 二次函数与一元二次方程
    • 关系
      • 对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0） ，当y取定值d时，函数转化为一元二次方程ax²+bx+c=d.
      • 二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴的交点的横坐标为，当x=时，函数值为0，因此，x=就是一元二次方程的一个解
    • 利用函数图像求一元二次方程根的近似值
      • 步骤
        • 作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数
        • 由图象与y=h的交点位置确定交点横坐标的范围
        • 观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）
      • 方法
        • 直接做出函数y=ax²+bx+c的图象，则图象与x轴交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根．
        • 先将方程变为ax²+bx=-c，再在同一坐标系中画出抛物线y=ax²+bx和直线y=-c，图象交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根
        • 先将方程变为ax²=-bx-c，再分别做出抛物线y=ax²和直线y=-bx-c ，则两图象交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根
  • 7. 用二次函数解决问题
    • 基本思路
      • 理解问题
      • 分析问题中的变量和常量，以及它们之间的关系
      • 用函数关系式表示它们之间的关系
      • 用数学方法求解
      • 检验结果的合理性
    • 注意
      • 善于将实际问题转化为数学问题，再转化为函数问题
      • 注意自变量的取值范围，不仅保证函数解析式有意义，还要保证符合实际意义
    • 具体步骤
      • 1.自变量
      • 2.建立函数解析式
      • 3.建立自变量取值范围
      • 4.根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值或其他
      • 5.验证，写答
• 锐角三角函数