大学物理力学

是否还在为大学物理期末考试发愁？是否还在为公式记不住而苦恼？这里有大学物理力学部分的所有公式定理。

第一部分 力学

• 第一章 质点运动学
  • 关键词：质点 位移 速度 加速度 切向加速度 法向加速度 伽利略变换（重点）
  • 切向加速度和法向加速度
    • v = ds/dt•et = v•et
      • a = dv/dt = dv/dt•et (切向加速度）+ v•det/dt（法向加速度）
      • a = dv/dt•et (切向加速度）+ v²/p•en（法向加速度）(p为曲率半径）
  • 伽利略变换 （R′ = R - vt, v是S′系相对于S系的速度）
    • 绝对时空理论：伽利略变换下的“同时”是绝对的，与观测者无关。
    • u′ = u - vi(经典速度变换公式或伽利略变换公式）
    • a′ = a
  • 加速度
    • 瞬时加速度（速度）：v = dr/dt
    • 速率：v = |v| = |∆r|/dt ,∆t→0,|∆r|→∆s ,v = ds/dt
  • 总结
    • 注意区分平均速度、平均速率、瞬时速度（速度）、速率。
    • 伽利略变换和牛顿运动定律是建立在绝对时空基础上的。
• 第二章 牛顿运动定律
  • 关键词：牛顿三定律 惯性质量 引力质量 惯性系 非惯性系 惯性力（重点） 四种基本相互作用
  • 牛顿第一定律：任何物体都有保持静止或匀速直线运动的状态，除非有其他物体的作用力迫使它改变这种状态。
    • 惯性系：物体在其中遵循牛顿第一定律的参考系
    • 非惯性系;在这类参考系中，牛顿第一定律不成立。
  • 牛顿第二定律：物体动量对时间的变化率，与所施加的外力成正比，并发生在外力的方向上
    • 注意
      • 牛顿第二定律式（2.1.2）是矢量方程，Fi = dpi/dt,力沿某个方向的分量，只决定沿这个方向的加速度
      • 牛顿第二定律中的质量是惯性质量，惯性质量的本质是物体惯性大小的量度
      • 牛顿第二定律式（2.1.2）是瞬时关系，加速度与力具有同时性
      • 力的叠加原理：F = ∑Fi
    • 牛顿力学中（2.1.1）与（2.1.2）是等价的，但（2.1.1）更基本、更普遍的形式。
    • 牛顿认为物体质量是与它的速度无关的常量，则：F = m•dv/dt
    • F = dp/dt (2.1.1)
  • 牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）：作用力与反作用力大小相等，方向相反，作用在同一条直线上。
    • Fab = -Fba
    • 注意
      • 如果一个物体同时受到的两个力的作用，这个物体的加速度为零，称这两个力为一对平衡力。作用力与反作用力不可能为一对平衡力。
      • 作用力和反作用力同时存在，同时消失。
      • 作用力与反作用力必是同种性质的力。
  • 力学中常见相互作用
    • 弹性力
      • 弹性张力
        • 绳子在竖直方向上有加速度a时，∆T = T(l+∆l) - T(l) = λ∆l(g∓a) (a向上取加号，向下取减号）
        • 悬挂静止时，∆T = T(l+∆l) - T(l) = λ∆lg
        • ∆T = T(l+∆l) - T(l) = λ∆la
      • 弹簧弹力
        • 胡克定律：在不超过一定弹性限度时，F= -k∆x
      • 正压力
    • 四种基本相互作用
      • 弱相互作用
      • 强相互作用
      • 万有引力
      • 电磁力
    • 万有引力
      • F = -Gm₁m₂r/r³
      • m₁、m₂称为质点的引力质量，引力质量是物体产生和感受引力这一属性的量度，而惯性质量是物体惯性大小的量度
    • 摩檫力
      • 静摩擦力：fs ≤μsN，μs称为静摩擦系数
      • 滑动摩擦力：fk = μkN，μk称为滑动摩擦系数，一般来说，μk≤μs
    • 重力
      • W = Fe(1-cos²t/289) (Fe = -GMmR/R³)
      • g = g₀(1-cos²t/191) (g₀为地球两极的重力加速度）
    • 流体阻力
      • f = -γv，γ为阻力系数，v超过一定限度时，f正比于v²
    • 力学相对性原理（非惯性系和惯性力）
      • 伽利略相对性原理（力学相对性原理）：一切惯性系在力学规律上都是等价的，不存在用力学实验可定义的，特殊的，绝对的惯性系。
      • 平移非惯性系中的惯性力
        • 在S中，F = ma，S'相对于S加速度为a₀，惯性力Fi = -ma₀
      • 转动非惯性系中的惯性力
        • 惯性离心力：F = -ma = -mrω²er
        • 科里奥利力：Fc = 2mv×ω
  • 总结
    • 牛顿第二定律的现代物理描述是从动量的角度进行描述的
    • 在非惯性参考中，要考虑惯性力的影响，特别是科里奥利力这一比较陌生难懂的惯性力
• 第三章 质点（系）动力学
  • 关键词：质点系 动量 动量定理 动量守恒定律 角动量 质心参考系 动能 动能守恒定律 保守力 碰撞
  • 动量
    • 动量：质点的质量与速度的乘积（p = mv)
    • 冲量：dI = Fdt = dp
    • 动量定理：物体动量在dt时间内的增加量，等于作用在物体上的外力在这段时间的冲量。
      • 注意
        • 动量定理是矢量关系，任意方向投影仍成立
        • 牛顿第二定律表示的是瞬时关系，动量定理表示一段时间的累积效果
        • 若动量发生了可观的变化，而dt很小，这种力就叫做冲击力。
      • 质点系的动量定理：质点系的总动量随时间的变化率，等于作用到质点系各质点外力之和（dp/dt = F)
    • 动量守恒定律：若在某一过程中，质点所受合力的冲量为零，则在该过程中质点的动量守恒，即p = C（常矢量）
      • 推广到质点系，若质点系所受合外力为零，质点系的总动量不变
  • 火箭飞行器原理 变质量物体的运动方程
    • 火箭推力：F = udm/dt(u为气体相对箭体喷出的速度）
    • 火箭推进速度公式：v= uln(M₀/M)(M是速度为v时箭体剩下的质量）
    • 多级火箭：v = uln(N₁N₂…Nn)
  • 变质量物体运动方程
    • Mdv/dt = F + (v’-v)dm/dt(v是主体相对实验室的速度，v'是dm相对实验室的速度）
    • d(Mv)/dt = F + v'dm/dt
  • 角动量
    • L = r×p = r×mv
    • 角动量定理：质点相对某参考点的角动量对时间的变化率，等于质点所受合力对同一参考点的力矩。（dL/dt = M)
    • 质点角动量守恒定律：如果对于某一参考点，质点所受的合力矩为零，则质点相对该点的角动量不变。
    • 质点系的角动量定理：质点系相对惯性系中某给定参考点的角动量的时间变化率，等于作用在该质点系上所有外力对同一参考点的合外力矩。
    • 质点系的角动量守恒定律：当质点系相对于某一参考点所受的合外力矩为零时，质点系相对于该参考点的总角动量不变。
    • 注意
      • 同一问题角动量，须相对同一参考点计算
      • 对某一特殊参考点，合外力矩M = 0，系统只相对于这一特殊点角动量守恒，相对于其他参考点不一定守恒。
      • 条件∑Fi=0与∑(rixFi)=0，两者彼此独立。而当合外力等于零时合外力矩与参考点无关
      • 都是矢量式，任意方向上分量仍成立
  • 质心
    • 质心可以看作质点系整体运动的代表点
    • 质心:Rc = ∑miRi/∑mi = ∑miRi/M，若质量连续分布，则Rc = ∫Rdm/∫dm = ∫Rρ(R)dV/∫ρ(R)dV
    • 质点系的总动量：Mvc = ∑mivi = P
    • 质心运动定理：dP/dt = Mdvc/dt = Mac = F，表明质点系的运动如同一个点的运动，该质的质量等于整个质点系的质量，受到的力为质点系受到的所有外力的矢量和。
    • 质心参考系：取质心为坐标原点建立起来的参考系，称为质心参考系，简称质心系
      • 质点系中的每一质点相对实验室参考系（惯性系）的运动可以分解为随质心的运动和相对于质心的运动两个部分
      • 相对于质心系，质心速度vc = 0，此时P= 0，因此质心系又叫零动量参考系。不论质点系是否受外部作用，任何质点系相对于它的质心动量守恒。
      • 质心系可能是惯性系，也可能是非惯性系。视其所受外力是否为零而定
      • 质心系的角动量定理(与质心系是否为惯性系无关）：质点系对某参考点O的总动量，等于质点系相对于质心系的角动量（称为固有角动量）加上质心相对于O点的角动量（称为轨道角动量）。（L = Lc + mrc × vc)
    • 两体问题：Lc = μr₁₂ × u（μ = m₁m₂/(m₁+m₂)，是两质点的约化质量）
  • 动能、势能和机械能
    • 功：dW (元功）= F ∙ dr
    • 功率：P = dW/dt = dF/dt ∙ dr + Fdr/dt = F∙ v
    • 动能 动能定理
      • 动能：Ek = mv²/2
      • 动能定理：Wab = Ekb - Eka = ΔE，合力对质点所做的功，等于质点动能的增加量。
      • 动能是状态的函数，功是过程的函数
    • 保守力 势能
    • 机械能 机械能守恒
      • 非保守力：沿任一闭合路径做功不为零的力
      • 耗散力：沿闭合路径做功小于零的力
      • Wn （非保守力做功）= ΔEk + ΔEp = Δ(Ek + Ep) ，定义质点的动能与势能之和为机械能。功能原理：非保守力做功等于质点机械能的增加量
      • 机械能守恒定律：质点在某一过程中，没有非保守力做功，则该过程中质点的机械能守恒。
      • 注意：Wn = 0是相对于某惯性系而言的，对于非惯性系，即使满足上述条件，但由于惯性力可能做功，所以机械能也不一定守恒。由于做功数值与参考系有关，不能保证在另一惯性参考系中之质点机械能守恒。
  • 质点系的动能、势能和机械能
    • 动能：质点系的总动能Ek为质点系各质点的动能之和，Ek = ∑mivi²/2
    • 质点系的动能定理：质点系的总动能的增加量，等于质点系所受外力与内力所做元功之和
    • 柯尼希定理：Ek = Ec + Ekc 质点系的总动能，等于各质点随质心运动的动能Ec与质点相对于质心运动的动能Eck之和。
    • 内力所做的功可以改变系统的总动能
    • 内力的功
      • 内力做功不会改变质点系质心运动的动能，但可以改变质点系相对于质心系的动能
      • dW = fij ∙ drij(rij = Ri-Rj)，相互作用的一对内力的元功之和等于其中一质点所受内力与它相对另一个质点的位移的点积，内力做功与参考系无关。
  • 质点系的功能原理和质点系的机械能守恒定律
    • 质点系的机械能定理（质点系的功能关系）：W(e) + Wn(i) = Δ(Ek + Ep)，质点系在运动过程中，外力和非保守内力做功总和等于系统机械能的增量。
    • 质点系的机械能守恒定律：在只有保守内力做功的情况下，质点系的机械能保持不变。
    • 注意
      • 应用功能原理时，必须将保守力做的功除外
      • 系统机械能守恒的条件是W(e) = 0和Wn(i) = 0，这是对某一惯性系而言，不能保证在另一惯性参考系中也守恒（因为W(e)可能不为零)
  • 两体碰撞
    • 对心碰撞（正碰）：两个球体碰撞前后的速度矢量均沿着两球的连心线
    • 碰撞前后质心动能不变，改变的是两物体相对动能E =μu²/2，u₀ = v₁₀-v₂₀，u = v₁ - v₂
    • 恢复系数：e = ∣u₀/u∣
      • e = 1，完全弹性碰撞：v₁ = [(m₁ - m₂)v₁₀ + 2m₂v₂₀]/(m₁+m₂)，v₂ = [(m₂- m₁)v₂₀+ 2m₁v₁₀ ]/(m₁+m₂)
      • 0 < e <1，非完全弹性碰撞
      • e =0，完全非弹性碰撞
    • 质心参考系中，碰撞损失的动能为ΔEk' = (1-e²)μu₀²/2
  • 总结
    • 动能、动量、各种守恒等在质点运动过程中满足的规律，在质点系中都有相应的推广，但又有所区别
    • 由于质点系中的各质点相对于实验室的运动可以成是质点相对于质心的运动和质心相对于实验室的运动的叠加，因此质心系的引入能大大降低对质点系运动描述的难度，运用柯尼希定理可以将能量用类似的方法计算
    • 内力不影响质点系的总动量，但是可以影响总动能。
• 第四章 刚体力学
  • 关键词：刚体 自由度 平动 平面运动 定轴转动 转动惯量 转动定理 角动量定理 角动量守恒
  • 刚体：在受力、运动情况下其形状和大小都不发生变化的物体
  • 自由度
    • 自由质点有3个自由度，包含N个自由质点的质点系自由度为3N
    • 自由运动的刚体有6个自由度：3个平动自由度，3个转动自由度
  • 刚体平动：刚体在运动过程中任意两质元的连线，在前后时刻的取向平行
  • 刚体转动
    • 定点转动
    • 定轴转动
      • 转动中心
      • 转动平面
      • 角速度：ω = dφ/dt，矢量表示vp = ω × rp = ω × Rp
      • 角加速度：α = dω/dt
  • 平面运动
    • R = Rc + r
    • v = vc + ω × r
    • 瞬心：如果在讨论问题的瞬时，刚体上某点B的速度为零，可选B点为基点，则上式可写为 vp = vb + ω × rpb = ω × rpb，B点称为刚体的瞬时转动中心，简称瞬心，瞬心的位置Rb取决于方程 vb = vc + ω × Rb = 0
  • 刚体定轴转动的角动量和转动惯量
    • 刚体的角动量：刚体相对转轴上一点的角动量沿转轴的分量 Lz = ω · Σmiri²，其中ri = √(xi² + yi²）
    • 转动惯量：I = Σmiri²，因此Lz = Iω
      • 常见转动惯量：
      • 转动惯量平行轴定理：设刚体绕质心轴的转动惯量为Ic，刚体相对与质心轴平行，到质心轴距离为d的转轴的转动惯量I，则 I = Ic + md²
  • 刚体定轴转动的角动量定理和转动定理
    • 外力相对于转轴的合力矩，为外力相对转轴上某一参考点的合力矩平行于转轴的分量
    • 刚体转动的角动量定理：Mz = dLz/dt，刚体相对转轴的角动量对时间的变化率，等于作用在刚体上的外力相对转轴的力矩
    • 刚体定轴转动定理：Mz = Idω/dt = Iα，刚体对转轴的转动惯量与它的角加速度的乘积等于刚体受到的相对此转轴的外力矩
    • 刚体定轴转动的冲量定理：∫Mzdt（冲量矩） = Iω - Iω₀
    • 定轴转动的角动量守恒定律：若Mz = 0，则Lz = Iω = 常量
    • 刚体转动的功能原理
      • 力矩的功：dW = F · dr = M · dθ
      • 刚体转动动能：Ek = Iω²/2
      • 刚体定轴转动的动能定理：W = ∫Mdθ = Iω₂²/2 - Iω₁²/2，刚体绕定轴转动时，合外力所做的功等于刚体转动动能的增加量。
  • 刚体的重力势能：刚体的重力势能和它的质量全部集中在质心时所具有的势能一样
  • 总结
    • 刚体定轴转动中的规律与质点系的平动规律有很好的对称性，因此可类比平动运动中的各定理、守恒规律来理解刚体定轴转动中的规律
    • 力矩的功本质上仍是力做的功