数学九年级

本思维导图的主要内容是整理九年级数学的主要内容，以便同学们更清晰地掌握重点和更好地学习。思维导图的主要内容包括一元二次方程、二次函数、反比例函数、锐角三角函数、初步概率、旋转、圆、相似、投影与视图等章节的重点知识。希望有助于初三同学的复习与笔记整理。

九年级

一元二次方程

一元二次方程（只含有一个未知数，未知数的最高指数为2）

一般形式:ax²+bx+c（a,b,c为常数，a≠0）

根

意义:与X轴交点的个数

根的判别

判别公式:b²-4ac

有实根

b²-4ac＞0，方程有两个不相等的实数根，方程与x轴有两个交点

b²-4ac＝0，方程有两个相等的实数根，只有一个焦点

无实根

b²-4ac＜0，方程没有根

求根公式

求解方法

因式分解法

先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次

降次求解

十字相乘法

先分解a，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解c，分别写在十字交叉的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于b

直接开方

配方法

移项：使未知数项=c

系数化为1：使a=1

配方：等式两边同时+（b/2）的平方，方程左边成为完全平方式

方程两边同时开方

步骤

韦达定理

二次函数

定义

行如y＝ax²+bx+c（a,b,c为常数且a≠0）的函数，称为y是x的二次高数

分类

一般式:y＝ax²+bx+c（a,b,c为常数且a≠0），顶点（-b/2a,（4ac-b²）/4a）

顶点式:y＝a（x-h）²+k,（a,h,k为常数且a≠0），顶点（h,k）

交点式:y＝a（x-x1）（x-x2），（a,x1,x2为常数且a≠0），与x轴交点（x1,0）（x2,0）

图像性质

重点

a决定开口方向，a＞0，开口朝上，a＜0，开口朝下

a决定开口大小，丨a丨越大，开口越小，反之越大

图像画法

五点绘图法，将一般式转化为顶点式，确定开口方向，顶点，对称轴，x轴交点y轴交点5个点

图像移动

上下移动：y变化，上加下减

左右移动：x变化，左加右减

旋转

在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转

定点：旋转中心

旋转角度：旋转角

对应点：点A经过旋转成A‘

中心对称图形

旋转180°之后能重合

性质

对应点到旋转中心的距离相等

对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角度

旋转前后图形全等（大小、形状不变）

旋转中心是唯一不动的点

一组对应点的连线所在的直线所交的角等于旋转角度

圆

圆的认识

定义:在一个平面内，线段OA沿固定端点O旋转一周，另一端A所形成的图形

相关定义:弦、直径、半圆、弧、优弧、劣弧

垂径定理及其推论

定理:垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的弧

知二推三

过圆心

垂直于弦

平分弦

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理

圆周的角的定理及其推论

定理:一条弧所对的圆周角＝它所对圆心角的1/2

推论

同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等

半圆所对圆周角是直角；90º圆周角所对的弦是直角

圆的位置及相关定理

圆与点

位置关系:点在圆内（d＜r）、圆外（d＞r）、圆上（d＝r）

过三点的圆

不在一条直线上的三个点确定一个圆

三角形外圆，过三角形三个顶点作的原

三角形外心，三角形外接圆的圆心是三条边垂直平分线的交点，他叫三角形的外心

圆与直线

位置关系:相交（d＜r）；相切（d＝r）；相离（d＞r）

切线的判定与性质

判定定理:经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径

切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这点之间的连线平分两条切线的夹角

内切圆

三角形的内切圆:与三角形各边都相切的圆角叫三角形的内切圆

三角形内心:内切圆圆心是三角形内角平分线的交点，叫三角形的内心

圆与圆

位置关系

相切

内切（d＝R-r）

外切（d＝R+r）

相交（R-r＜d＜R+r）

相离

外离（d＞R+r）

内离（d＜R-r）

相切、相交的重要性质

若两圆相切，则切点必定在连心线上

他们是轴对称图形，对称轴是连心线

两个圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

与圆相关的计算

面积计算

弧长计算公式:l＝nπr/180

扇形面积:S＝nπr²/360或S＝0.5rl（l是弧长）

圆锥面积

侧面积:S＝πrl

全面积:S＝πr²+πrl

圆面积:πr²

圆方程

标准方程:（x-a）²+（y-b）²＝r²，（a,b）是圆心

一般方程:x²+y²+Dx+Ey+F＝0,D＝-2a,E＝-2b,F＝a²+b²

端点式:已知两点（a1,b1）（a2,b2），则以这两点为直径的圆的方程:（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）＝0

概率初步

概念

必然事件，记作P（必然事件）＝1

不可能事件，记作P（不可能事件）＝0

不确定事件A，记作0＜P（A）＜1

计算

古典概型

公式:P（A）＝事件A发生的结果数/所有事件发生的结果树

分析方法

列举法

列表法

树状图法

几何概型

P（A）＝事件A所占面积/总面积

P（A）＝事件A所占度数/360

应用

事件概率比较和总概率占比关系

反比例函数

定义

如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，即xy＝k，或者y＝k/x，其中k是小于零的常数

图像性质图像性质

K＜0，函数图像分两支，位于二、四象限，y随x的增大而增大

K＞0，函数图像分支位于一、三象限，y随x增大而减小

性质:反比例函数图像是轴对称和中心对称，图形对称轴和点分别为y=-x或y=x和（0，0）

几何意义:从图像任意一点为成的矩形面积等于丨k丨，三角形面积等于丨k丨/2

相似

相似多边形

对应角相等对应边成比例

周长等于相似比面积等于相似比的平方

性质

相似三角形具有传递性

形状相同

对应角相等

对边成比例

面积比是对应边比值的平方

周长比等于对应边之比

判定

普通三角形

两边对应成比例且夹角相等

三边应成比例

两角对应相等

直角三角形

具备普通三角形的判定方法

一条直角边与斜边对应成比例

相似三角形判定

三边成比例

两角对应相等

平行于第三边的直线与其他两边的延长线相交 所得到的三角形与原三角形相似

两边对应成比例且夹角相等

直角边与斜边对应成比例

锐角三角函数

函数图像及性质

正弦

余弦

正切

两角和差公式

sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

倍角公式

tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

sin2a＝2sinacosa

和差化积

sina+sinb=2sin(a+b/2)cos(a-b/2)

sina-sinb=2cos(a+b/2)sin(a-b/2)

cosa+cosb=2cos(a+b/2)cos(a-b/2)

cosa-cosb=2sin(a+b/2)sin(a-b/2)

tana+tanb=sin(a+b)/cosacosb

和差化积

cosacosb=1/2[sin(a+b)-sin(a-b)]

sinacosb=1/2[sin(a+b)]+sin(a-b)

cosacosb=1/2[cos(a+b)+cos(a-b)]

sinasinb=-1/2[cos(a+b)-cos(a-b)]

半角公式

sin²（a/2）＝（1-cosa）/2

cos²（a/2）＝（1+cosa）/2

tan²（a/2）＝（1-cosa）/（1+cosa）

tan（a/2）＝sina/（1+cosa）＝（1-cosa）/sina

万能公式

sina＝2tan（a/2）/［1+tan²（a/2）］

cosa＝［1-tan²（a/2）］/［1+tan²（a/2）］

tana＝2tsn（a/2）/［1-tan²（a/2）］

投影与视图

投影

定义

图形的影子投到一个平面或线上

分类

平行投影

中心投影

视图

三视图

主视图

侧视图

俯视图

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