必修一第二章基本初等函数

高中数学复习必备知识提纲！指数与指数函数、对数函数、幂函数的相关知识点全部囊括在一张思维导图之中，并且下图还附有对数函数和幂函数的图像，更加便于同学们理解与学习。关注我，能够持续获得优质导图哦！

基本初等函数

• 指数与指数函数
  • 次方根
    • 若x的n次方＝a，则x叫做a的n次方根
  • 根式
    • 式子nÖa为根式，n为根指数，a为被开方数
  • 有理数指数幂
    • • 3.补充：0的正分数指数幂等于0
    • 运算性质
      • 同底数幂相乘，底数不变指数相加
      • 幂的乘方底数不变，幂指数与乘方次数相乘
      • 积的乘方各因式分别乘方再相乘
      • 分式乘方，分子乘方所得的幂做分子，分母乘方所得的幂做分母
  • 指数函数
    • 图像与性质
      • y＝a的x次方，x是自变量，函数定义域是R，值域为（0，+∞）
      • 当0<a<1时，在R上为减函数 当a>1时，在R上为增函数
      • 图像：必过（0，1），必在y ＝0之上
      • 因为单调性由a决定，所以解题需要经常对a进行分类讨论
      • 画指数函数y＝a的x次方的图像，抓住三个关键点（1，a）（0，1）（-1，1/a）
    • 图像间的关系
      • 底数互为倒数，图像y轴对称
      • a>1时，底数越大，图像越靠近y轴
      • 0<a<1时，底数越小，图像越靠近x轴
• 对数函数
  • x叫做以a为底N的对数
    • 记作
    • 其中a叫做对数的底数，N叫做真数
  • 性质
    • ①负数与0没有对数
    • ②loga1＝0
    • ③logaa＝1
  • 恒等式
  • 运算法则（若a>0且a≠1，M,N＞0）
    • 积的对数
      • loga（M*N）＝logaM+logaN
    • 商的对数
      • logaM/N＝logaM-logaN
    • 幂的对数
      • logaM的n次方＝nlogaM
  • 自然对数和常用对数
    • 常用对数log10N＝lgN
    • 自然对数logeN＝lnN
      • e＝2.71828...的无理数
  • 换底公式及推论（a,b<0 a,b≠1，m＞0）
    • m可换任意＞0的数
    • 推论
      • ①logab*logba＝1
      • ②底数的指数与真数的指数相同时，可约去
      • ③对数相乘，真数可互换
      • ④a的logcb次方＝b的logca次方（c＞0且c≠1）
  • 图像与性质
    • 对数函数定义
      • 其中x是自变量，函数定义域为(0,+∞)
    • 图像
      • 定义域：（0，+∞）
      • 值域为R
      • 性质：必过定点（1，0）
        • 当0<a<1时，在（0，+∞）为减函数
        • 当a＞1时，在（0，+∞）为增函数
  • 图像间的关系
    • 底数互为倒数，图像x轴对称
    • a>1时，底数越大，图像越靠近x轴
    • 0<a<1时，底数越小，图像越靠近x轴
  • 反函数
    • 一一映射
    • y＝f（x）的反函数为y＝f－1次方（x）
    • ①指数函数y＝a的x次方与对数函数y＝logaX互为反函数
    • ②互为反函数的两个函数图像关于直线y＝x对称
    • ③y＝f（x）定义域和值域分别是y＝f-1次方（x）的值域和定义域
• 幂函数
  • 定义：y＝x的a次方叫做幂函数，x为自变量，a是常数
  • 特征
    • ①系数为1
    • ②底数为自变量x，指数为常数a
    • ③项数只有一项
  • 与指数函数的区别
    • 指数函数自变量在指数位置，底数为常数且为正值
    • 幂函数自变量在底数位置，指数为常数可正可负
  • 图像
    • 在第一象限特征
      • a>1，图像过（0，0）（1，1），单调递增
      • 0<a<1，图像过（0，0）（1，1）单调递增
      • a<0，图像过（1，1）单调递减，且以两坐标轴为渐近线
  • 常见幂函数性质
  • 性质
    • ①所有幂函数在（0，+∞）都有定义域
    • ②若a＞0，则幂函数过点（0，0）（1，1）在（0，+∞）上是增函数 若a＜0，则幂函数过点（1，1），在（0，+∞）上是减函数