第一章 信号与系统

课本：《信号与线性系统分析》第五版吴大正，整理第一章信号与系统知识点，信号是消息的表现形式或传送载体。

第一章 信号与系统

• 一、信号
  • 定义
    • 消息的表现形式或传送载体
  • 表示
    • 数学表达式（函数）
    • 波形图
  • 分类
    • 确定信号&随机信号
      • 本书只讨论确定信号
      • 确定信号
        • 信号在定义域的每一点都有确定的值（可以用一个确定的时间函数或序列表示）
        • 在连续时间范围内（-∞<t<+∞)有定义的信号称为连续时间信号。
          • “连续”：函数的定义域——时间（或其他量）是连续的。值域可以连续，也可以不连续。
      • 随机信号
        • “不确定性”，“不可预知性”
    • 连续信号&离散信号
      • 连续信号（连续时间信号）
      • 离散信号（离散时间信号）
        • 本书只讨论Tk等于常数的情况
        • 仅在一些离散的瞬间才有定义的信号称为离散时间信号。
          • “离散”：函数的定义域——时间（或其他量）是离散的，他只取某些规定的值。
    • 周期信号&非周期信号
      • 周期信号
        • 定义在（-∞，+∞）区间，每隔一定时间T（或整数N），按相同规律重复变化的信号。
      • 非周期信号
        • 不具有周期性的信号称为非周期信号。
      • 公式
        • 连续周期信号
          • f(t)=f(t+mT),m=0,±1,±2,···
        • 离散周期信号
          • f(k)=f(k+mN),m=0,±1,±2,···
      • 结论
        • ①连续正弦信号一定是周期信号，而正弦序列不一定是周期序列。
        • ②两连续周期信号之和不一定是周期信号，而两周期序列值和一定是周期序列。
    • 能量信号&功率信号
      • 能量信号
        • 若信号f(t)的能量有界（即0<E<∞,这时P=0），则称其为能量有限信号
          • 时限信号：仅在有限时间区间不为零的信号 E：归一化能量 P：归一化功率
      • 功率信号
        • 若信号f(t)的能量有界（即0<P<∞,这时E=∞），则称其为功率有限信号
      • 公式
      • 结论
        • ①周期信号属于功率信号
        • ②非周期信号可能是功率信号，也可能是能量信号
        • ③有些信号既不是能量信号，也不是功率信号，如f(t)=e^t
    • 其他
      • 实信号与复信号
      • 因果信号与非因果信号
      • 一维信号与多维信号
• 二、信号的基本运算
  • 加法和乘法
    • 离散序列相加（或相乘）可采用对应样点的值分别相加（或相乘）的方法来计算
  • 反转和平移
    • 反转——将f(t)→f(–t)或f(k)→f(–k)称为对信号f(·)的反转或反折，从图形上看是将f (·)以纵坐标为轴反转180°。
    • 平移——将f(t)→f(t +t₀ )称为对信号f(·)的平移或移位,若t )称为对信号f(·)的平移或移位,若t₀ < 0，则将f(·)右移,否则左移。
  • 尺度变换（横坐标展缩）
    • 将f(t)→f(at)，称为对信号f(t)的尺度变换。若a>1，则f(at)将f(t)的波形沿时间轴压缩至原来的1/a；若0<a<1，则f(at)将f(t)的波形沿时间轴扩展为原来的a倍。
• 三、阶跃函数与冲激函数
  • 阶跃函数和冲激函数
    • 单位阶跃函数， 通常在t=0处的值不予定义
    • 单位冲激函数，是奇异函数，它是对强度极大，作用时间 极短的物理量的理想化模型(狄拉克提出)。 理解: 高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。
  • 冲激函数的广义函数定义
    • 选择一类性能良好的函数φ(t),称为检验函数（它相当于定义域），一个广义函数g(t)是对检验函数空间中每个函数φ(t)赋予一个数值N的映射，该数与广义函数g(t)和检验函数φ(t)有关，记作N[g(t)，φ(t)]。通常广义函数g(t)可写为∫g(t)φ(t)dt=N[g(t),φ(t)]
  • 冲击函数的导数和积分
  • 冲激函数的性质
    • 奇偶性
    • 与普通函数相乘
    • 采样性质
    • 尺度变换
    • 应用取样特性时，三步走
      • 1.看冲激发生在哪一时刻t₀； 2.看t₀是否包含在积分限内； 3.将t₀代入。
• 四、系统
  • 描述
    • 数学模型
      • 如果系统在任意时刻的响应（输出信号）仅取决于该时刻的激励（输入信号），而与它过去的状况无关，就称其为即时系统（或无记忆系统）。 如果系统在任意时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的状况有关，就称之为动态系统（或记忆系统）。
        • 本书主要讨论动态系统
      • 当系统的激励是连续信号时，若其响应也是连续信号，则称其为连续系统，描述连续系统的数学模型是微分方程。 当系统的激励是离散信号时，若其响应也是离散信号，则称其为离散系统，描述离散系统的数学模型是差分方程。
    • 系统框图表示
      • 常用基本单元：积分器（用于连续系统）或迟延单元（用于离散系统），加法器和数乘器（标量乘法器）
  • 特性
    • 线性
      • y(·)=T[f(·)]
      • 齐次性
        • 设α为任意常数，若系统的激励f(·)增大α倍时，其响应y(·)也增大α倍，即T[αf(·)]=αT[f(·)]，则称该系统是齐次的或均匀的。
      • 可加性
        • 若系统对于激励f₁(·)与f₂(·)之和的响应等于各个激励所引起的响应之和， 即T[f₁(·)+f₂(·)]=T[f₁(·)]+T[f₂(·)],则称该系统是可加的。
      • 性质
        • 分解特性
        • 零状态线性
          • 当所有初始状态均为零时，系统的零状态响应对于各输入信号应呈现线性（包括齐次性和可加性），这可称为零状态线性。
        • 零输入线性
          • 当所有输入信号为零时，系统的零输入响应对于各初始状态应呈现线性，者可成为零输入特性。
    • 时不变性
      • 如果激励f(·)作用于系统所引起的响应为yzs(·)，那么，当激励延迟一定时间td(或kd)接入时，它所引起的零状态响应也延迟相同的时间，
      • 若f(·)前出现变系数，或有反转，展缩变换，则该系统为时变系统。
    • 因果性
      • 对于任意时刻t₀或k₀（一般可选t₀=0或k₀=0）和任意输入f(·)，如果f(·)=0，t<t₀(k<k₀)若其零状态响应yzs(·)=T[{0},f(·)]=0,t<t₀(k<k₀)，就称该系统为因果系统，否则称其为非因果系统。
    • 稳定性
      • 对有界的激励f(·)，系统的零状态响应yzs(·)也是有界的，这常称为有界输入有界输出稳定，简称为稳定。
    • 本书主要讨论线性时不变系统（LTI）