导图社区初中数学北师大三年完整版

初中数学北师大三年完整版

齐全的初中数学（北师大版）的知识点，中考学生必备，查缺补漏。打好基础，成就自己梦想。

编辑于2021-01-31 13:12:33

苍云~

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初中数学

第一章，丰富图形世界（几何图形）

几何图形

立体图形

平面图形

立体图形

柱体

锥体

台体

球体

三视图

几何体三视图

立体图形展开图

圆柱展开图

侧面展开图

长方形

圆锥展开图

扇形

角度的概念

定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫角

平角

180°

周角

360°

方位角

方位角必须以正北和正南方向作为基准

不能说西偏南，东偏北，南北只能是在前面的

补角

两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角

∠a+∠b = 180°，∠a是∠b的补角

角的度量单位

度、分、秒

1°=60’=360‘’

度

1度的角，记作：1°

分

1度的角60等分，叫做1分，即 1‘

秒

1’‘

第二章（有理数及其运算）

1.1有理数

数

正负数

大于0，是正数

小于0，是负数

0不是正数，不是负数

0是最小自然数，最小整数，也是偶数

正负数，是具有相反意义的量

有理数的定义

整数和分数的集合

有理数

整数

正整数

负整数

分数

正分数

负分数

数轴

一条直线上的点表示数

在直线取一个点表示0，作为数轴原点

一般规定从左向右是正方向

数轴上的点，是关于跟原点间的距离的数据

相反数

a和-a是相反数，相加等于0

0的相反数是0

两个数互为相反数，它们和为0

在数轴上，互为相反数的点，到原点的距离相同

绝对值

意义：

一个正数绝对值是他本身，负数的绝对值，是它的相反数

几何意义，一个数的绝对值就是，表示这个数的点到原点的距离

所以是这么展示

绝对值是a（a>0）的数有两个，分别是|-a|和|a|

考逆向思维

绝对值相等的两个数相等，或者互为相反数。

若|a|=|b|，则，a=b，或者 a+b=0

有理数大小比较

正数

数越大，数值越大

例如：8>5

负数

数越大，数值越小

例如：-5>-8

理解，欠别人5元＞欠别人8元

细节注意点

0大于负数

有理数加法

同号相加，只加数值

例：8+5=13， —8+(—5)=—13

一个数同0相加，仍得这个数

例：0+5=5， —5+0=—5

绝对值不相等的异号相加，，取绝对值较大的加数符号

例: —8+5=—3 ，—5+8=3

有理数减法

定义:减去一个数，等于加这个数的相反数

例子：a-b=a+(-b), 例如： 5-2 =5+（-2）

减法法则：负负得正

例子: 6—（—2）=6+2=8

有理数的乘法

定义：两数相乘，同号得正，异号得负

同号得正

例：5×5=25，（-5）×（-5）=25

异号得负

例： 5×（—5）= —25

特定例子：任何数×0，都得0

乘法运算律

交换律

a×b=b×a

3×2=2×3

结合律

a×b×c=a×c×b

4×3×25=4×25×3

分配律

a×（b+c）=a×b+a×c

5×（4+6）=5×4+5×6

倒数

定义：乘积是1的两个数互为倒数

—2×—½ =1

例子： -2的倒数是-½ ， ½的倒数是2

倒数就是倒转的意思

0没有倒数

有理数的除法

定义：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

b≠0

法则：两数相除，同号得正，异号得负（跟乘法一样）

同号得正

4÷2=2

—4÷（—2）=2

异号得负

4÷（—2）= —2

﹣4 ÷ 2 = ﹣2

0除以任何数，都得0

做有理数除法的时候，最好先把除的换成倒数，然后相乘相约

有理数加减乘除混合运算

法则

1、先算括号里面的，再算括号外面的

2、先乘除后加减

乘方

定义：n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方结果叫做幂

例： 2×2=

2的平方

2×2×2=

2的立方

n是指数， a是底数

是幂

幂的注意点

任何数的零次幂（指数是0），都等于1，（除了0）

一个数的本身，就是这个数的1次方

当指数是﹣1时，就是这个数的倒数的意思

当指数是-2时，就是这个数的倒数的平方。负多少，按照多少来进行次方

负数的次方注意点

负数的奇次幂是负数，偶次幂是整数

奇次幂

偶次幂

正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0

0的任何次幂是0

正数的任何次幂，永远是正数

正指数

负指数

指数是0

科学记数法

定义:把一个大于10的数表示为a×10的n次方，a大于或等于1，小于10

例子

小于﹣10的数，也可以这样表示

近视数

例如圆周率π，π≈3.14

例子

体重约54kg， 54是近视数

π约3.14，3.14是近视数

第三章（整式及其加减）

整式的加减

1.1用含字母的式子代表数

用字母代表数时，可以用x代表

注意点

数字和字母相乘时，需要用 · 表示

数字和数字相乘，还是用“×”表示

最好就是让数字和字母粘在一块

字母和字母相乘，直接让他们黏在一块

a×b=ab

数字因数是1或者﹣1时，可以省略不写

若数字因数是带分数，要化成假分数

基础复习

真分数

分子≤分母的分数

假分数

分子≥分母的分数

带分数

若，字母÷字母，则写成分数形式

1.2单项式

单项式的定义

它们都是数或字母的积

例如：100t，0.8p，xy，x²，-n

形式有

数字×字母

100 x t

字母×字母

单字母

-x

单项式系数

单项式中的数字因数

100t的系数是 100， ﹣x的系数是 ﹣1， xy的系数是 1

单项式次数

一个单项式所有指数的和

数字×字母的

字母×字母的

单字母的

1.3多项式

定义：几个单项式的和

多项式的项

项

有字母或者字母和数字

常数项

纯数字

多项式的次数

次数最高的项的次数

这个也称为二次多项式

1.4整式

整式包括

多项式

单项式

相关结论

面积，周长相等

中线、高、角平分线相等

全等符号

≌

读作“全等于”

全等三角形

SSS

三边分别相等的两个三角形全等

写法

图形展示

SAS

两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等

图形展示

写法

ASA

两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等

图形展示

写法

AAS

两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等

图形展示

写法

只应用于直角三角形

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等

写法

图形展示

三角形全等的判断思路

已知两边

找夹角→SAS

找第三边→SSS

找直角→HL

已知一边一角

边为角的对边

找任一角→AAS

边为角的领边

找夹角的另一边→SAS

找夹边的另一角→ASA

找边的对角→AAS

已知两角

找夹边→ASA

找其中一个已知角的对边→AAS

第十章，轴对称图形

轴对称图形

对称轴

对称点

定义

一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够重合的，就是轴对称图形

画轴对称图形

做法：作对称点

用坐标表示

关于X轴对称

特点：

点（x，y）X轴对称点事，（x，-y）

X轴对称，y相反

关于Y轴对称

特点：

点（x，y）X轴对称点事，（-x，y）

Y轴对称，x相反

关于原点对称

原点对称，x和y相反

点（x，y）X轴对称点事，（-x，-y）

第十一章，概率初步

事件

确定性事件

必然事件

太阳从动边升起

绝对会发生的事件

不可能事件

不可能发生的事件

太阳从西边升起

随机事件

抛硬币

可能是两面，可能是中间

事件发生的可能性大小

必然事件

一定发生

随机事件

可能发生

求发生的概率的大小

不可能事件

不可能发生

概率

概率的意义

一件事请发生的可能性的大小就是概率

概率的求法

在一场试验中，总共有n种可能的结果（全部结果），而事件A的结果有m种

所以概率为

当事件A为必然事件

当事件A为不可能事件

用列举法求概率

用列举法求事件的概率

用列表法求事件的概率

用画树状图法求事件的概率

用频率估计概率

在大量的重复实验中，随着次数的增加，如果事件A发生的频率会稳定在于某个常数P，我们称事件A发生的概率为p

频率和概率的区别与关系

第十二章，勾股定理

勾股定理

已经知道三角形是直角三角形，根据勾股定理：

应用场景

1、知道这是直角三角形，直接用勾股定理，求出其中一条边的长度

2、或者求出这个三角形面积

勾股定理逆定理

通过知道三角形的各条边有这样的关系

从而推出这个三角形是直角三角形

应用场景

已经知道三角形的三条边的长度，然后通过勾股定理知道他们的关系

再去证明，这个三角形是直角三角形

然后再去算面积或者求全等什么的

勾股数，（必记）

3/4/5

7/24/25

1/1/√2

5/12/13

8/15/17

还有他们之间的倍数

例如3/4/5的两倍是6/8/10

多留意他们之间的倍数关系，训练自己数感

第十三章（实数）

平方根

定义

如果一个数的平方等于a，那么这个数，是a的平方根，或者二次方根

算数平方根

如果一个正数X的平方等于a，即x²=a，这个X叫做a的算数平方根

绝对是正数

0的算数平方根为0

a的算数平方根为

读作：根号a

a是被开方数

a不能是负数！

如果X²=a，x就是a的平方根

表达为

性质

正数有两个平方根

一正一负，互为相反数

0的平方根是0

负数没有平方根

开平方

求一个数a的平方根，就叫做开平方

16开平方为 ±4

完全平方数

36是6×6来的，就是6²， 16是4×4来的，4²，所以是完全平方数，可以开平方运算求平方根

36是完全平方数

不是完全平方数的，例如2，就不能获得正数，只能是它自己的根

必须a≥0 ，根号里面绝对不可以是负数

立方根

如果一个数x的立方是等于a，那这个数x就是a的立方根

求一个数的立方根的运算，叫做开立方

负数有立方根

立方根是唯一的

平方根和立方根估算

利用夹逼法，去估算平方根和立方根

实数

包括

有理数

正有理数

负有理数

有限小数或无限循环小数

无理数

正无理数

负无理数

无限不循环小数

和数轴关系

数轴上每一个点都有对应的一个实数表示

实数运算，

先加减后乘除

先算乘方，开方，再算乘除，最后加减，同级的需要从左到右的计算

根号计算

子主题 1

第十四章，平面直角坐标系

平面直角坐标系

点的坐标

在平面坐标系的位置表达

点A（a,b）到X轴的距离是|b|，到y轴距离是|a|

坐标平面内点的坐标特点

平面直角坐标系的模样

横轴是X轴

纵轴是Y轴

0是坐标系原点

特点

在同一平面内

两条数轴

互相垂直

有公共原点

特殊位置点的坐标特点

在象限的平分线上

一三象限的平分线

横坐标等于纵坐标。x=y

二四象限平分线

横坐标等于纵坐标的相反数。x = - y

点的平移

巧记法则

横坐标，左移减，右移加

纵坐标，上加下减

第十五章，一次函数

函数的有关概念

函数定义：

在一个变化过程中，如果有两个变量X与Y，并且对于X的每一个确定值，y都有唯一的值与其对应

各种量

常量

数值不变的量

一般是固定的数字

变量

自变量

一般指的是X

会自己变化的量，例如在路程问题中的“时间”

因变量

一般指的是Y

因为自变量，而改变的量，例如路程问题中的“路程”

函数自变量的取值范围

例子

取值范围是有意义的自变量的取值的全体

函数的解析式

例如：y=50-0.1x

能描述自变量和因变量关系的式子就叫解析式

函数的表示方法

列表法

解析式法

y=x

图像法

函数的图像

定义

自变量与函数的每对对应值作为点的横、纵坐标的点，点连线成的图形

用描点法画函数图像的步骤

1、列表

2、描点

3、连线

例题，画出Y=X的图像

函数图像上的点和函数解析式的关系

正比例函数

定义

y=kx，（k≠0）的函数， k是比例系数

图像

当K是正数的时候

直线经过第一、三象限；

特点：y随x的增大而增大

当K是负数的时候

直线经过第二、四象限；

特点：y随x的增大而减小

当|K|值越大，无论K是正数还是负数，直线会更加倾斜

例

图像特点总结：

正比例函数，直线必过原点（0，0）

k是正数过1/3象限，负数过2/4象限

|K| 绝对值K越大，直线越倾斜

一次函数

定义

y=kx+b,(k≠0)的函数，k，b都是常数。

y=kx+b，当b是0的时候，就是正比例函数

图像

性质

y=kx+b中，k是决定直线的倾斜程度， b是决定直线的上下移动

当b是正数的时候，直线垂直向上↑↑↑移动，

当b是负数的时候，直线垂直向下↓↓↓移动，

第十六章，二元一次方程组

二元一次方程

特点

方程中含有两个未知数

未知数的项数的次数是1

整式方程

定义

含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是1,

例子

x+y=22

二元一次方程组

有两个方程

有两个未知数，而且项数的次数是1

例子

二元一次方程的解

二元一次方程组的两个方程的公共解

注意（写解的时候，要用这个书写方式）

解决方法

消元法

代入法

第十七章，数据的分析

平均数

所有数据加起来，除以数量

加权平均数

首先，有一堆数据，每个数据都有自己出现的次数，出现次数越多的数字，权重（分量）越大

加权平均数主要就是拿来进行运算这堆数据的权重的

f是数据出现的次数

数据的波动程度

方差

方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小

主要是看数据的稳定性的

数据的集中趋势

平均数

中位数

这组数据是偶数，所以是（15+20） ÷2 =17.5

将一组数据按照由小到大的顺序排列，数据的个数是奇数，则称在中间位的数是中位数

如果是偶数，则是中间的两边偶数相加再÷2

众数

一组数据中出现次数最多的数据

这组数据的众数是20

第十八章，不等式与不等式组

基础概念

不等式

定义：用符号“＜"或者”＞“或者“≠”表示大小关系的式子，就是不等式

不等式的解

使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解

例子：0.5X＞5 ， X＞10是不等式的解

不等式的解集

一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个解集

解集的必要条件

解集每个数都要使不等式成立

用数轴表示不等式

解不等式

不等式性质

性质1

如果a＞b，那么a±c＞b±c

性质2

如果a＞b，c＞0，那么 ac＞bc（或a÷c＞b÷c）

性质3

如果a＜b，c＜0，那么ac＜bc（a÷c＜b÷c）

一元一次不等式

概念

含有一个未知数，未知数次数是1的不等式

一元一次不等式解法

去分母

去括号

移项

合并同类项

系数化为1

子主题 3

一元一次组不等式组

不等式组概念

解集

找出解集公共部分

第十九章，二次根式

二次根式概念

刑如

a≥0，叫二次根式

根号里面的数一定要≥0

不然的话，根号没有意义

代数式

用基本符号（加减乘除，开方，乘方）把数或者字母连接起来的式子，就是代数式

例子

x+y+3

二次根式的性质

下面两个有区别，区别在于，第三个a可以是负数，第二个a绝对是正数

二次根式的运算

根式乘法

逆运算

根式除法

逆运算

根式的加减法

二次根式加减时，1、先将所有二次根式化到最简，2，然后在进行各个相同的二次根式相加减

例题

混合运算

巧用平方差公式补齐

最简二次根式

被开方数不含分母

例子

被开方数中不含能开得尽方的因数或因式

第20章，图形的平移和旋转

图形的平移

例子

在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小.

图形旋转

在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转（rotation），这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角.旋转不改变图形的形状和大小.

例子

中心对称

如果把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做它们的对称中心，△ABC与△A1B'C成中心对称，点O是它们的对称中心.

例子

性质

对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分

中心对称的两个图形，是全等的

中心对称画图详解

第21章，分式

分式的概念

一般地，用A，B表示两个整式，A÷B可以表示

B不能为0，分式才有意义

分式的基本性质

分式的分子和分母同时乘/除一个不等于0的整式，分式不变

分式的通分和约分

约分

把一个分式的分子与分母的公因式约去

例子

最简分式

分子与分母没有公因式的分式叫最简分式

通分

把几个异分母的分式，变成同分母的分式，叫通分

例子

分式的计算

分式的乘法

分子乘分子，分母乘分母

分式的除法

一个数除另一个数，等于一个数乘另一个数的的倒数

分式的乘方

n为正整数

分式的加减

同分母分式相加减

异分母分式相加减

整数指数幂和科学记数法

正整数幂的运算性质

规定任何不等于0的数，它们的0次幂都是1

负整数指数幂

所以，只要有负号“—”的次幂，都是倒数后的次方

科学记数法

负次幂的科学计数法

例

基本定律

分式方程

分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫分式方程

增根

使最简公分母为0的根叫做分式方程的增根

解分式方程

去分母化为整式方程

解整式方程

检验

将整式的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则是原分式方程的解

列分式方程解决问题

流程：1.审 2设. 3.列 .4.解 5.验 6.答

第22章，平行四边形

平行四边形

定义与表示

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形

表示会用这个图形表示

基本元素

性质

平行四边形，对边相等

平行四边形，对角相等

平行四边形，对角线互相平分

判定

两组对边分别平行的四边形是平行四边形

两组对边分别相等的四边形是平行四边形

两组对角分别相等的四边形是平行四边形

对角线互相平分的四边形是平行四边形

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

特殊的平行四边形

矩形

定义

有一个角是直角的四边形

性质

矩形的四个角都是直角

矩形的对角线相等

判定方法

有一个角是直角的平行四边形

对角线相等的平行四边形

有三个角是直角的四边形

菱形

定义

有一组邻边相等的平行四边形

性质

菱形的四条边相等

菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

判定方法

有一组邻边相等的平行四边形

对角线互相垂直的平行四边形

四条边都相等的四边形是菱形

正方形

定义

一组邻边相等的矩形叫做正方形

性质

正方形的四条边都相等，四个角都是直角

正方形的对角线都相等，并且互相垂直平分

判定方法

有一组邻边相等的矩形是正方形

对角线互相垂直的矩形

有一个直角的菱形

对角线相等的菱形

第24章，一元二次方程

一元二次方程

定义

只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程

一般形式

二次项系数

一次项系数

常数项

求根就是

一元二次方程的根

定义

判断方法

一元二次方程的解法

直接开平方法

配方法

定义

配成完全平方公式来解一元二次方程

一般通过一个元二次方程转化为

当P＞0时，有两个实数根

当P=0时，有两个相同的实数根

当P＜0时，没有实数根

用配方法解一元二次方程的步骤

列式子

化二次项系数为1

移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项

配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程变为（x+m）2 =p

直接开方，算出方程的解

公式法

求根公式

因式分解法

定义

用因式分解法解一元二次方程的一般步骤

一元二次方程的判别式

有两个实数根

只有一个实数根

没有根

一元一次方程的根与系数的联系

第23章，三角形的线和角问题

中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

定理

多边形的内/外角和

内角和

三角形，（3-20）×180° =180°

外角和

第25章：相似图形

相似图形

形状相同的图形

线段成比例

四条线段，a.b.c.d，其中两条线段的比和另外两条的比相等

比例中项

相似多边形

定义

两个边数相同的多边形，对应角分别相等，边成比例

性质

对应角相等

对边成比例

相似三角形的定义

三个角分别相等

三条边成比例

相似三角形的实际应用

相似三角形的性质

相似三角形对应线段的比等于相似比

当相似比为K时，对应边之比，就是K

中线、高、角平分线的比，也是相似比

周长比，也是相似比

相似三角形面积的比等于相似比的平方

因为高比小高的值是K，大底边比小底边的比值也是K，所以面积比值是相似比平方

相似三角形的判定

定理1

平行与三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似

A型

X型

△ABC∽△A'B'C'

定理2

三边成比例的两个三角形相似

AB/A'B'=AC/A'C'=BC/B'C'

△ABC∽△A'B'C'

伪SSS

定理3

两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似

伪SAS

AB/A'B'=BC/B'C' ∠ACB=∠A'C'B'

△ABC∽△A'B'C'

定理4

两角相等的两个三角形相似

∠A=∠A' ∠B=∠B'

△ABC∽△A'B'C'

AA就完事了

第26章：投影

平行投影

投影

投影线

投影画

平行投影

定义：由平行光线形成的投影

例如：太阳光是平行光

同一时刻，不同物体的影子长度与它们的高度成比例

早上，太阳从东边升起，那我们的影子是：西 →西北→北→ 东北→东

中心投影

定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影

点光源、物体边缘的点以及它在影子上的对应点在同一条直线上

例子：手电筒，路灯，台灯

正投影

线段的正投影

平面图形的正投影

正方体的正投影

三视图及画法

视图的定义

三视图

主视图

从正前面看

俯视图

从上往下看

左视图

从左往右看

三视图画法的注意事项

三个视图的位置

轮廓线的虚实

看得到的是实线

看不到额用虚线

由三视图想象立体图形

常见几何体的三视图

三视图想象立体图形的思路

第27章：反比例函数

反比例函数的定义

反比例函数解析式的求法

1、待定系数法求解析式

例如：一个点的坐标在函数图像上，把点坐标带入函数式，求K，就能求出解析式

步骤

1、设方程为

2、代：将已知的X，Y，带入式子中，求得K

反比例函数的图像和性质

反比例函数k的几何意义

过双曲线任意一点做X轴、y轴的垂线，所得矩形的面积是|K|

实际问题与反比例函数

考点

行程类问题: 路程=时间X速度

工程类：工作量=工作时间×工作效率

等积问题：变形前后，体积质量不不变

图像题

跟一次函数有交点，求K值

跟二次函数有交点，求K值

K值的变化，会导致反比例函数图像怎么变换

K值变化，会导致Y和X，是增大还是减小

27章，锐角三角函数

基础解释

∠B的对边是b，∠A对边是a，谁的对边是谁的小写。

正弦、余弦、正切的定义

正弦

对边 ∶ 斜边

注意

用三个字母表示角的时候，要用角度符号∠。

正弦要用，sin表示

余弦

邻边：斜边

正切

对边 ∶ 邻边

特殊锐角三角函数值

函数值间的关系

cos45°=sin45°，是根号2/2

sin30°=cos60°

平方关系

商的关系

直角三角形的边角关系

如果∠A=30°，那么斜边是对边的两倍

如果∠A=45°，对边和邻边都相等。

解直角三角形

定义

由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程

解直角三角形的应用

仰角、俯角

方向角

先说“南或北”，再说“东或西”

例子

北偏西

南偏东

细节

北偏东45°，称为东北方向

只要偏45°的，都可以缩讲

28章，二次函数

二次函数的定义及各种式

定义

长下面这个样子的函数，就是二次函数

一般式

顶点式

h是正数时，顶点坐标为（h, k） h是负数时，顶点坐标为（-h, k）

各部分英文对应的操作意思

a决定开口上下

h是左右移动的位置

k是上下移动的位置

图像和函数的关系

左加右减原则

图像左移M个单位

图像右移M个单位

上加下减原则

图像上移M个单位

图像下移M个单位

交点式

二次函数的图像和性质

用待定系数法求二次函数的解析式

设一般式来求

一般是已知有三个点，然后带入获取函数解析式

设顶点式来求

知道函数顶点，或对称轴的方程，或最大最小值，反推解析式

设交点式来求

一般知道图像和X轴有两个交点，（a，0）（b，0）然后带入已知条件获得系数

二次函数与一元二次方程的关系

抛物线和x轴是否有交点

判别式

二次函数式：

关系表

实际问题与二次函数

求最大，最小的问题

求利润最大的问题

求图形面积最大的问题

一般系面积和线段的关系

29章圆

圆的有关概念、性质

圆的定义

线段OA，绕一个端点，旋转一周形成的图形

弧长、弦的概念

弦

定义：连接圆上任意两点的线，就是弦，最长的弦是直径（过圆心）

弧长

圆上任意两点间的部分叫做圆弧

符号用这个表示

AB圆弧就是

弧的分类

劣弧

小于半圆的弧长

半圆

等于半圆的弧长

优弧

大于半圆的弧长

基本性质

能够重合的圆，叫做等圆

能够重合的弧，叫做等弧

圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴

圆有无数条对称轴

不能说（圆的对称轴是直径），因为直径是线段，对称轴是直线。（考概念判断题）

圆的定理

垂径定理

定义：垂直于弦的直径平分弦，并且平分径所对的两条弧

推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

CE=BE， AC弧=AB弧

弦的直径，是BC

BC对的弧是 BC弧

圆心角及圆心角定理

圆心角定义：顶点在圆心的角

∠AOB是圆心角

圆心角定理

定义：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。

注意！：一定要是两个圆大小一样才能使用

∠AOB=∠COD

AB弧=CD弧

AB=CD

推论

等大的两个圆，圆心角一样，那么弧长也是相等，弦长相等

等大的两个圆，两条弦长度一样，那么弧长也是相等，圆心角相等

圆周角及圆周角定理

圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角

∠ACB就是圆周角

圆周角定理：

在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角一半

理解

如图

∠ACB是圆周角，∠AOB是圆心角，两个角对应的弧长是：AB弧

∠ACB是∠AOB的一半，即 ∠ACB×2=∠AOB

推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°圆周角对的弦是直径

点、直线、圆之间的位置关系

点和圆的位置关系

圆内

点到圆心的距离d小于半径r

d＜r

圆上

点到圆心的距离d等于半径r

d=r

圆外

点到圆心的距离d大于半径r

d＞r

直线和圆的位置关系

关系

相交

r是半径， d是圆心到直线的距离

r＞d

相切

r是半径， d是圆心到直线的距离

r=d

相离

r是半径， d是圆心到直线的距离

r＜d

切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线，就是圆的切线

证明表达

圆的切线的判定方法

已知：直线过圆上一点，那么连接这点和圆心，得到一条半径，证明半径⊥直线即可

已知：已经条件中，不知道直线和圆之间有公共点；办法：过圆心做直线的垂线，证明垂线长度等于半径

连半径，证垂直；作垂直，证半径

切线的性质定理

圆的切线垂直于切点的半径

切线于圆只有一个公共点

切线到圆心距离，是半径的长度

三角形的外接圆

定义：经过三角形三个顶点作一个圆，这个圆就是外接圆

外接圆的圆心是三角形的三条边的垂直平分线的交点

也是三角形的外心

外心

外心是一个数学名词。是指三角形三条边的垂直平分线也称中垂线的相交点。

三角形的内接圆

三角形三条内角平分线的交点叫三角形的内心。即内切圆的圆心。

圆和圆的位置关系（r1＜r2，两个大小不一样的圆）

外离

d是两个圆心间的距离，r1是○A的半径，r2是○B的半径

内含

d是两个圆心间的距离，r1是○A的半径，r2是○B的半径

外切

d是两个圆心间的距离，r1是○A的半径，r2是○B的半径

内切

d是两个圆心间的距离，r1是○A的半径，r2是○B的半径

相交

d是两个圆心间的距离，r1是○A的半径，r2是○B的半径

正多边形和圆

正多边形的有关概念

正多边形的外接圆的圆心叫做是这个正多边形的中心

正多边形的对称性

对角对称

中线对称

正多边形的有关计算

正多边形的画法

看书画法

弧长额扇形面积

弧长公式

n是度数，R是半径

扇形面积公式

n是度数，R是半径

圆锥的侧面积和全面积公式

侧面积

π×半径×母线长度

全面积

侧面积+底面积