随机过程

通信原理第三章随机过程思维导图，随机过程是所有样本函数的集合，随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量集合。

随机过程

• 基本概念
  • • 均值（数学期望）
      • 是时间的确定函数a（t）
      • 表示随机过程的n个样本函数曲线的摆动中心
    • 方差
      • 均方值与均值平方之差
      • 表示随机过程在时刻t相对于均值a（t）的偏离程度
    • 相关函数R(t1,t2)或协方差函数B(t1,t2)
      • 由于R(t1，t2)是衡量同一过程的相关程度的，所以称它为自相关函数
      • B(t1，t2)=R（t1，t2）-a（t1）a（t2
      • 衡量两个过程的相关程度，称为互相关函数
• 平稳随机过程
  • 定义
    • 若一个随机过程的统计特性与时间起点无关，即时间平移不影响其任何统计特性，则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称严平稳随机过程（严平稳随机过程必定是广义平稳的，反之不一定成立）
    • 广义平稳随机过程
      • 均值与t无关，为常数a
      • 自相关函数只与时间间隔有关
    • 一维概率密度函数与时间无关，二维分布函数只与时间间隔有关
  • 各态历经性
    • 随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的所有可能状态 具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定成立
    • 具有各态历经性的过程，其数字特征完全可有随机过程中的任一实现的时间平均值来代替
    • 平稳过程的统计平均值等于它的任一次实现的时间平均值，则称该平稳过程具有各态历经性
  • 自相关函数
    • R（τ）=E[ε（t）ε（t+τ）]
    • 性质
      • R(0)=E[ε²（t）]，表示ε（t）的平均功率
      • R(τ)=R(-τ)，表示τ的偶函数
      • |R()τ|≤R（0），表示R(τ)的上界
      • R(∞)=E²[ε（t）]=a²，表示ε（t）的直流功率
      • R(0)-R(∞)=σ²，σ²是方差，表示平稳过程的交流功率
  • 功率谱密度
    • Px（f）=lim（T→∞）|XT（f）|²/T
    • 各态历经过程的任一样本函数的功率谱密度等于过程的功率谱密度
    • 功率谱密度具有非负性和实偶性
    • 平稳过程的功率谱密度吧与其自相关函数是一对傅里叶变换关系
• 高斯随机过程
  • 定义
    • 如果随机过程的任意n维分布均服从正态分布，则称它为正态过程或高斯过程
  • 重要性质
    • 高斯过程的n维分布只依赖各个随机变量的均值，方差和归一化协方差。因此，对于高斯过程，只需要研究它的数字特征就可以了
    • 广义平稳的高斯过程也是严平稳的。因为，若高斯过程是广义平稳的，即q其均值与时间无关，协方差函数只与时间间隔有关，而与时间起点无关，则它的n维分布也与时间起点无关，故它也是严平稳的。所以，高斯过程若是广义平稳的，则也是严平稳。
    • 如果高斯过程在不同时刻的取值是不相关的，那么它们也是统计独立的。
    • 高斯过程经过线性变换后生成的过程仍是高斯过程。
  • 高斯随机变量
    • 高斯过程在任一时刻上的取值是一个正态分布的随机变量，也称高斯随机变量
    • 一维概率密度函数：f（x）=1/√2π·σ·exp（-（x-a）²/2σ²）
• 平稳随机过程通过线性系统
  • 输出过程的均值
    • 均值是一个常数
  • 输出过程的自相关函数
    • 输出过程的自相关函数仅仅是时间间隔的函数
    • 若线性系统的输入系统过程平稳的，那么输出过程是平稳的
  • 输出过程的功率谱密度
    • 输出过程的功率谱密度是输入过程的功率谱密度乘以系统频率响应模值的平方
  • 输出过程的概率分布
    • 如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的
• 窄带随机过程
  • 大多数通信系统都是窄带带通型
  • 通过窄带系统的信号或者噪声必然是窄带随机过程
  • 窄带过程的表达式
    • 包络相位
    • 同相相位
• 正弦波加窄带高斯噪声
  • 包络的概率密度函数为广义瑞利分布，又称莱斯分布
  • 当信号很小，即由莱斯分布退化为瑞利分布
  • 当信噪比很大时，即由莱斯分布近似为高斯分布
• 高斯白噪声和带限白噪声
  • 白噪声
    • 如果噪声的功率谱密度在所有频率上均为一常数，则称该噪声为白噪声，用n（t）表示
    • 由于白噪声的带宽无限，其平均功率为无穷大
    • 如果白噪声取值的概率分布服从高斯分布，则称为高斯白噪声
  • 低通白噪声
    • 如果白噪声通过理想矩形的低通滤波器或理想低通信道，则输出的噪声称为低通白噪声
  • 带通白噪声
    • 如果白噪声通过理想矩形的带通滤波器或理想带通信道，则输出的噪声称为带同白噪声