心理统计

同等学力考试心理综合之心理统计大纲，知识点包括：描述统计、相关系数、分布及估计、假设检验、方差分析、一元线性回归。

心理统计

• 描述统计
  • 数据分类
    • 
    • 称名数据：男女
    • 顺序数据：名次、年级
    • 等距数据：温度、成绩
    • 比率数据：身高、体重、反应时
  • 集中量数
    • 算术平均数
      • 简称平均数，是反映一组数据分布集中趋势的量数。它等于所有数据之和除以数据的个数。
      • 算术平均数的特点
        • ①反应灵敏、计算严密、简单明了 ②要求相同测量工具所获得的数据 ③在数据相对集中，离散程度不是很大时，对数据总体一般水平的代表性较好 ④较少受抽样变动的影响
      • 算术平均数的条件要求
        • ①数据必须是同质的，即用同一种测量工具测量某一特质所得的数据 ②数据取值必须明确 ③数据离散程度不能太大
      • 缺点：易受极值影响、有模糊数据无法计算
    • 中数
      • 将一组数据按取值大小排序，位于序列中间者即为中数。当数据个数为偶数时，中数等于位于序列中间位置的两个数的平均数。
      • 适用于偏态分布
    • 众数
      • 适用于称名数据
    • 三者关系
      • 在一个正态分布中，三者相等 在正偏态分布中，Mo < Md < M  在负偏态分布中，M < Md < Mo 
    • 几何平均数
      • 适用于轻微偏态分布
  • 差异量数
    • 方差
      • 是反映一组数据离散趋势的量数，等于一组数据离差平方和的平均数。 
    • 标准差
      • 是反映一组数据离散趋势的量数，等于一组数据方差的算术平方根。
      • 标准差的意义
        • ①若一个班的分数标准差大，说明该班学习成绩不齐，好的好，差的差。此时标准差小说明成绩整齐。 ②若一个老师所出的试卷学生考完后标准差大，说明试卷出的好，把不同学生的水平区分开了 ③对同一个体进行多次测量，若标准差大，说明测量误差较大。
    • 变异系数
      • 原始数据标准差与原始数据平均数的比 
  • 计算性质
    • 算数平均数：x+C→X+C; x·C→CX
    • 标准差：x+C→s不变; x·C→s·C
    • 方差：x+C→σ²不变 x·C→σ²·C²
    • 标准分数Z：无论原始数据怎么变，平均数=0，标准差=1
  • 次数分布表的制作步骤
    • 测量数据分类是将连续数据整理成次数分布表，主要是依数值大小将数据排序，并列成次数分布表，标出相应的次数。 ①求全距：找出最大数与最小数，求其差数，成为全距。 ②确定组距：组数（K）一般为10-20组，常取12-16组。 ③求组距：组距（i）是任意一组的起点和终点之间的距离。组距（i）=全距/组数（K），取近似整数值。 ④确定分组的精确上下限：表述组下限数字的精确值为分组的精确下限，而精确下限加上组距即为分组的精确上限。 ⑤登记次数：按精确上下限之规定划分、登记，将数据归到相应的组内。 ⑥标出组中值：该组精确上限与精确下限之和的一半，或等于该组精确下限。
• 相关系数
  • 表示两列变量相关程度的数量指标
  • 积差相关：正态x正态
    • 适用于两列变量均为正态分布，且是线性关系的资料
    • 重测信度、复本信度、评分者信度（评分数）、问答题区分度
  • 斯皮尔曼相关：等级x等级
    • 适用于两列变量均为等级变量，且是线性关系的资料
  • 肯德尔和谐系数：评分者信度
    • 适用于k个评价者，评价n个事物的等级变量资料，多用于评分者心度分析
    • 评分者信度（评等级）
  • 点二列相关：正态x真正二分
    • 适用于一列为正态分布连续数据，另一列为真正二分变量的资料，如男女，是否
    • 选择题、是非题区分度
      • 在测量中的应用
  • 二列相关：正态x人为二分
    • 适用于两列变量都为正态变量，但一列被人为分成两类，如及格、不及格
    • 问答题区分度
  • 多系列相关：正态等距x正态等距（人为多项分类）
    • 适用于两列变量都是正态等距变量，但其中一列被人为划分为多项分类变量，如优良中差
• 分布及估计
  • 正态分布
    • 正态分布的曲线和特点
      • 正态分布是连续型概率分布。服从于正态分布的x变量的正态曲线位于横轴上方。该曲线是以x=μ为对称轴的对称曲线。曲线在x=μ处有最高点，在x=μ±δ处有两个拐点。 正态分布是一族分布，均值大右移，均值小左移，标准差越大越低阔，标准差越小越高狭。
    • 标准正态分布
      • 均值μ=0，方差δ²=1的正态分布叫标准正态分布。
    • 标准分数Z
      • 以标准差为单位表示一个原始分数在团体中所处位置的相对位置量数。即表示原始分数在平均数以上或以下几个标准差的位置。  Z分数性质：均值为0，标准差为1  
  • 抽样分布
    • 样本统计量的概率分布。
  • 样本平均数的分布
    • 从正态分布的总体中可无限抽取大小为n的样本，所计算的这无限多个平均数的分布，称为样本平均数的分布。
    • 总体方差已知：正态分布
      •  SE=σ/√n
    • 总体方差未知：t分布
      • 以平均值=0左右对称，峰态高狭，形状随n-1变化的一族分布 *t分布的极限是标准正态分布  SE=S/√(n-1)
  • 标准误
    • 样本平均数分布的标准差称为标准误。 总体方差已知：  总体方差未知： SE=S/√(n-1)
  • 区间估计
    • 指用数轴上的一段距离表示未知参数可能落入的范围。不能指出总体参数具体等于什么，但可以指出总体参数落入某区间的可能性有多大。
    • 置信区间
      • 在某一置信度时总体参数可能落入的区间。
    • 置信度
      • 1-α，指所有估计的总体参数落入置信区间的可靠程度。
    • 总体方差区间估计：卡方
    • 方差之间差异：F分布
  • 点估计
    • 当总体参数不清楚时，用一个特定值（样本统计量）对其估计，就称为点估计。一般用样本平均数估计总体参数μ，用样本标准差Sn-1估计总体标准差δ。
    • 点估计的条件
      • 点估计应满足无偏性、一致性、有效性、充分性四个条件。 ①无偏性：用作估计值的统计量可能会大于或小于参数的真值，但要求所有可能的统计量与参数真值偏差的平均值为0。 ②一致性：当样本容量无限增大时，估计值趋近于总体参数。 ③有效性：当存在不止一个无偏估计量时，方差越小有效性越高。 ④充分性：用作估计值的统计量能够反映总体信息。
• 一元线性回归
  • 线性回归
    • 回归分析是用变量的观察数据拟合一个因变量与一个或几个自变量之间的关系，检验自变量影响的显著程度，比较各自变量作用的大小，进而用自变量的变化去解释和预测另一个变量的变化。
  • 回归常数与回归系数
    • 回归常数a是回归直线在y轴上的截距。 回归系数b是回归直线的斜率，它表示自变量x变化一个单位时，y的平均变化。 
  • 确定系数（测定系数）
    • 指回归方程中，y变量的变异由x变量决定的比率。是回归方程解释力的指标，即回归平方和在总平方和中所占比率，确定系数越大说明回归效果越好。
  • 共变数分析（协方差）
    • 又称协方差分析，是利用线性回归的方法排除共变因素对因变量的影响后进行的方差分析。所使用的材料为：所研究的问题中除了有因变量、自变量外，还存在一个足以影响因变量却不是研究者感兴趣的变量，如前测、智力、年龄等。
• 方差分析
  • 方差分析步骤
    • ①求平方和，包括总平方和、组内平方和、组间平方和 ②计算自由度，包括总自由度、组内自由度、组间自由度 ③计算均方，包括组内均方、组间均方 ④计算F值，查F表进行F检验并作出决断 ⑤陈列方差分析表  组间变异反应处理因素的作用 组内变异反应随机误差 方差分析就是检验组间变异在统计上是否显著大于组内变异
• 假设检验
  • 通过样本对总体的某些特征（如平均数、方差等）进行判断，或从样本的差异推论总体差异的过程。
  • 基本概念
    • 虚无假设
      • 也叫原假设、零假设、无差假设，是与研究假设相反的假设，根据检验结果予以拒绝或接受的假设，以H0表示。它一般都假设两个总体之间没有差异。
    • 备择假设
      • 与虚无假设对立的假设，又称科学假设、对立假设，以H1表示。它一般假设两个总体参数之间有差异，不相等。
    • 两类错误
      • ①α错误（I型错误）：指虚无假设为真时，拒绝虚无假设。（弃真错误） ②β错误（II型错误）：指虚无假设为假时，接受虚无假设。（取伪错误） ③关系：α增大，β就减小；α减小，β增大。我们希望α与β尽量小些，对于固定的α，主要通过增加样本容量来减小β。 接受H0 拒绝H0，接受H1 H0为真 1－α (正确决策) α (弃真错误) H0为伪 β (取伪错误) 1- β (正确决策)
    • 显著性水平
      • 显著性水平是一种检验标准，以α表示，概率不超过α的事件视为小概率事件。显著性水平是对拒绝虚无假设所犯错误所给定的标准，通常α=0.05或0.01。
    • 单侧检验
      • 查统计表时，按分布的一侧计算显著性水平概率的检验称作单侧检验。适用于检验大于小于，高于低于等有确定性大小关系的假设。单侧检验的备择假设是H1: μ1>μ2或μ1<μ2。
    • 双侧检验
      • 查统计表时，按分布两端计算显著性水平概率的检验称作双侧检验。适用于理论上不能确定两个总体一个一定比另一个大或小，只强调差异不强调方向性的检验。双侧检验的备择假设是H1: μ1≠μ2。
  • 假设检验的基本步骤
    • 假设检验的基本思想是带有概率性质的反证法。 ①根据问题要求，提出虚无假设。在承认虚无假设的前提下，推导样本统计量是如何分布的。 ②根据样本数据计算出统计量。 ③看其与虚无假设推导出的结果是否符合，用计算出的统计量的具体值与临界值相比较，做出接受或拒绝虚无假设的决策。
  • 卡方检验的应用
    • X²检验是一种非参数检验，对数据的分布形态不作要求，适用于计数数据的检验。按X²检验处理问题的性质，可以分为配合度检验，独立性检验，同质性检验。
  • 秩和检验的研究思路和使用条件
    • 秩和检验法：将两样本数据混合起来统一排序，排除等级（秩次），在分别计算两个样本秩次之和。如果两个总体的均值相等，则两样本的秩和应当大体相等。如果两样本的秩和相差过大，则两总体均值可能存在真实差异。 对于小样本：将n比较少的样本数据所得等级相加求和为T，直接查秩和检验表。 对于大样本：通过公式确定z值，查正态表，确定差异是否显著
  • 检验方法选择
    • 平均数显著性
      • 方差已知-Z检验
      • 方差未知-t检验
    • 平均数差异显著性
      • 方差已知-Z检验
      • 方差未知-t检验
        • 独立样本df=n1+n2-2
        • 相关样本df=n-1
    • 总体非正态
      • 独立样本-秩和检验、中数检验
      • 相关样本-符号检验、符号秩次检验
    • 多个平均数差异显著性
      • 方差分析
    • 计数数据检验
      • 卡方
        • 配合度检验df=R-1
        • 独立性检验df=(R-1)(C-1)
        • 同质性检验
• 极端值影响
  • 受影响
    • 算术平均数
    • 全距
    • 方差
    • 标准差
  • 不受影响
    • 中数
    • 众数
    • 四分位数
    • 百分等级