微分方程

微积分（上册）第六章知识点、解题方法的详细总结。微方程定义是指：联系自变量，未知函数及其导数（或微分）的方程。

微分方程

• 一、基本概念
  • 定义：联系自变量，未知函数及其导数（或微分）的方程
  • 解：代入后满足恒等式的函数
  • 通解：解中含有相互独立的任意常数（常数彼此不能相互表示），个数等于方程阶数
  • 阶：未知函数导数的最高阶数
  • 特解：不含任意常数的解，图形是名为积分曲线的曲线
• 二、一阶微分方程
  • 可分离变量方程
    • 变形后两边积分得到 
  • 齐次微分方程
    • 令y=xu代入原方程，可以得到 
  • 可化为可分离变量形式
    • 形式：
    • 解法：求出的解(x0,y0) 令X=x-x0,Y=y-y0 则原方程可化为 再换元
  • 一阶线性微分方程
    • 形式：y'+P(x)y=Q(x)
    • 公式：
    • 推导(积分因子法）:原方程两边同时乘以e^∫P(x)dx 得到
• 三、可降阶的高阶微分方程
  • 不含y,y': 
    • 积分一次方程就降阶一次，逐次积分即可求出通解
  • 不含y: y''=f(x,y')
    • 令y'=p(x) 则 原方程化为 可以求出p,再得到y
  • 不含x: y''=f(y,y')
    • 令y'=p(y) 则 原方程化为 以y为自变量解出p=p(y) 再由y'=p(y)解可分离变量微分方程就可以求出y
• 五、常系数线性微分方程
  • 常系数线性齐次方程
    • 二阶形式：y''+py'+qy=0
    • 根据形式猜想方程的解为指数函数，令y=e^x代入方程
    • 特征方程：
    • 二阶线性齐次常系数微分方程通解：
    • n阶线性齐次常系数微分方程基本解组的组成函数： 
  • 常系数线性非齐次方程
    • 二阶形式：y''+py'+qy=f(x)
    • • 设特解
      • 其中k是λ作为特征方程的根的重数 （如果λ不是特征根，可认为是零重根）
    • 
      •  其中k是α+iβ作为特征方程r2+pr+q=0的根的重数（如果不是特征根，可认为是零重根
  • 欧拉方程
    • 二阶形式：
    • 解法：设x=e^t 则原方程化为
    • 引入微分算子
    • 得到[D(D-1)+pD+q]y=0
    • 由特征方程r(r-1)+pr+q=0算出微分方程通解 再将自变量换回x
• 四、线性微分方程解的结构
  • 线性微分方程：各项中关于未知函数及其导数均是一次的微分方程
  • 叠加原理
    • 若y1(x),y2(x)分别是两个方程，的解 则c1y1(x)+c2y2(x)是方程的解
  • 二阶线性齐次微分方程解的结构（n阶同理）
    • 标准形式（记为HL）：y''+p(x)y'+q(x)y=0
    • 解法：若y1(x),y2(x)是方程（HL）的两个线性无关的解（称它们为方程的基本解组），那么方程的通解是
  • 刘维尔（Liouville）公式
    • 设y1(x)是方程（HL）的非零解，则是（HL）的与y1(x)线性无关的解
    • 推导（常数变易法）：y1(x)的常数倍肯定也是方程（HL）的解，将常数易作待定函数c(x)，通过代入方程确定c(x)从而求出另一个与y1(x)无关的解
  • 二阶线性非齐次方程解的结构(n阶同理）
    • 标准形式（记为NHL）：y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
    • 解法：设y*(x)是NHL的解（特解），而y1(x),y2(x)是对应的HL的基本解组 那么NHL的通解为y=y*(x)+c1y1(x)+c2y2(x)
    • 特解求法：若y1(x),y2(x)是HL的基本解组 则y*=v1(x)y1+v2(x)y2是NHL的特解 其中 其中