小学数学-第二十四章圆

这是一篇关于第二十四章圆的思维导图，包含圆的有关性质、点和圆、直线和圆的位置关系等。

第24章圆

• 1.圆的有 关性质
  • 1.圆上各点到定点（圆心 O）的距离都等于定长（半径 r）。 2.到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上
  • 1.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径，直径是最长的弦。
  • （1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 （2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （3）小于半圆的弧叫做劣弧；大于半圆的弧叫做优弧。
  • 同圆或等圆：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。等弧是全等的，不仅仅是弧的长度相等。
  • 垂径定理及其推论： （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
  • 弧、弦、圆心角之间的关系： （1）定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）重要结论：①在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。②在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。
  • 圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 （2）推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等。 ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
• 2.点和圆、 直线和圆 的位置关系
  • 点和圆的位置关系（d：点到圆心的距离；r：半径） 1.点在圆外：点到圆心的距离大于半径：d＞r。 2.点在圆上：点到圆心的距离等于半径：d=r。 3.点在圆内:点到圆心的距离小于半径：d＜r
  • 直线与圆的位置关系（d：圆心到直线的距离；r：半径） 1.直线与圆相交（直线叫做割线）：直线和圆有两个公共点（交点），d＜r； 2.直线与圆相切（直线叫做切线）（1）直线和圆只有一个公共点（切点），d=r； （2）切线的判定定理和性质定理：①判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。②性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。 切线的性质：①圆的切线垂直于经过切点的半径． ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 切线的性质如下：如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直． ③切线的性质定理的推论:a.经过圆心且垂直于切线的直线必过切点； b.经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。 ④判断一条直线是一个圆的切线有三个方法:a.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。b.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，即 d=r。 c.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （3）切线长及切线长定理①切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间线段的长，叫做这点到圆的切线长。 ②切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。