第一章 多项式

大学高等代数的思维导图，仅供参考，有什么问题可以私信我。

第一章 多项式

• 1. 数域
  • 定义：设P是由一些复数组成的集合 ，其中包括0与1，如果P中任意两个数(这两个数也可以相同)的和、差、积、商(除数不为0)仍然是p中的数，那么P就称为一个数域
  • 性质：Œ对加、减、乘、除封闭所有的数域都包含有理数域作为它的一部分
• 2. 一元多项式
  • 定义：设n是一非负整数，形式表达式  其中 全属于数域P，称为系数在数域P中的一个多项式，或者简称为数域P上的一元多项式
  • 零多项式:系数全为零的多项式，记为0[任一个多项式f（x）都能整除零多项式0，因为0=0*f(x)]【区别零次多项式：也就是非零常数，能整除任一个多项式】
  • 所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P【X】，P称为P【x】的系数域
• 3. 整除的概念
  • 带除余法：对于P【X】中任意两个多项式f【x】与g【x】，其中g【x】¹0，一定有P【x】中的多项式q【x】，r【x】存在，使f【x】=q【x】g【x】+r【x】成立，其中¶（r【x】）<（g【x】）或者r【x】=0，并且这样的q【x】，r【x】是唯一决定的
  • 整除的定义
    • 称数域P上的多项式g(x)整除f(x),如果有数域P上的多项式h(x)使等式 f(x)=g(x)h(x)成立.
    • 我们用“g(x)|f(x)”表示g(x)整除f(x）用"g(x) r(x)"表示g(x)不能整除f(x).
  • 性质
    • Œ整除的传递性
    • f(x)|g(x),g(x)|f(x),那么f(x)=cg(x),其中c为非零常数
    • Ž如果 ，i=1,2，...,r,那么其中是数域P上任意的多项式
    • 两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变
• 4. 最大公因式
  • 定义
    • • 设f(x),g(x)是P[x]中两个多项式P[x]中多项式d(x3)称为f(x),g(x)的一个最大公因式如果它满足下面两个条件:
      • 1) d(x)是f(x),g(x)的公因式;
      • 2) f(x),g(x)的公因式全是d(x)的因式
  • 定理
    • • 对于P[x]中任意两个多项式f(x),g(x),在P[x]中存在一个最大公因式d(x),且d(x)可以表成f(x),g(x)的一个组合，即有P[x]中多项式u(x),v(x)使
    • • d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)
  • 辗转消除法
    • 求最大公因式的方法
    • （f(x），g(x))表示首项系数是1的那个最大公因式
    • Œ高数¸低数除数¸余数Ž最后一个的除数是最大公因式
  • 互素
    • • 定义 P[x]中两个多项式f(x),g(x)称为互素(也称互质）的，如果(f(x)，g(x)）=1.
      • 定理
        • P[x]中两个多项式f(x),g(x)互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u(x),v(x)使
        • u(x)f(x)+v( x)g(x)= 1.
  • 重要结论
    • Œ如果(f(x），g(x))=|.且f(x)|g(x)，Þ f(x)|h(x)
    • 如果(f(x)，g(x))=1,(f(x)，h(x))＝1,Þ (f(x)，g(x)h(x))＝1
    • Ž如果(f(x)，g(x)）＝1，Þ(f(x)g(x)，f(x)＋g(x)）＝1
    • 如果f(x),g(x)不全为零 ,且u(x)f(x）+v(x)g(x)=(f(x),g(x)),那么(u(x),v(x))= 1.
    • (f(x)h(x),g(x)h(x))=(f(x),g(x))h(x)(h(x)的首项系数为 1).
    • ‘如果f(x),g(x)不全为零，Þ（f(x)/(f(x),g(x),g(x)/(f(x),g(x)))=1
    • ’
    • “（f(x),g(x))=(f(x)±h(x)g(x),g(x))
• 5. 因式分解定理
  • 不可约多项式
    • 定义：数域 P 上次数≥1 的多项式P( x）称为域P上的不可约多项式,如果它不能表成数域P上的两个次数比p(x)的次数低的多项式的乘积
    • 性质：如果 p(x)是一个不可约多项式 那么对于任意的两个多项式f(x), g(x),由p(x)|f(x)g(x)一定推出p(x)|f(x)或者p(x)|g(x).
  • 因式分解及唯一性定理
  • 标准分解式
• 6. 重因式
  • 定义
    • • 如果 k=0,那么p(x)根本不是p(x)的因式;如果 k=1.那么p(x)称为f(x)的单因式:如果k>1,那么 p(x)称为p(x)的重因式
  • 定理
    • 如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k/1),那么它是微商的k-1重因式
  • 推论
    • Œ多项式f(x)没有重因式的充分必要条件是f(x)与互素
    • 不可约多项式p(x)是f(x)的重因式的充分必要条件为p(x)是f(x)与的公因式
    • • 如果不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式(k/1),那么p(x)是的因式，但不是的因式
• 7. 多项式函数
  • 余数定理
    • 定义：用一次多项式x-a去除多项式f(x),所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f(a)
    • 如果f(x)在x=a时函数值f(a)=0,那么a就称为f(x)的一个根或零点
    • 推论：a是f(x)根的充分必要条件是(x-a)|f(x)
  • 定理
    • • P[x]中n次多项式(n≥0)在数域 P中的根不可能多于n个，重根按重数计算（用数学归纳法证明）
• 8. 复系数与实系数多项式的因式分解
  • 代数基本定理
    • 每个次数³1的复系数多项式在复数域中有一根
  • • 复系数多项式的因式分解
      • 每个次数≥1 的复系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积
  • • 实系数多项式的因式分解
      • 每个次数≥1 的实系数多项式在复数域上都可以唯一地分解成一次因式的乘积
• 9. 有理系数多项式
  • 本原多项式
    • 如果一个非零的整系数多项式的系数没有异于±1的公因子，也就是说，它们是互素的，它们称为一个本原多项式
  • 高斯引理
    • 两个本原多项式的乘积还是本原多项式(反证法）
  • 艾森斯坦判别法（反证法）
    • 设是一个整系数多项式，如果有一个素数p，使得
    • Œ
    • 
    • Ž
  • 定理
    • • 如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积,那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积
• 理解定理的证明过程