第二章：行列式

大学高等代数的思维导图，仅供参考，有什么问题可以私信我。行列式是由1,2,...,n组成的一个有序数组称为一个n阶排列，n阶排列的总数为n！

第二章 行列式

• 1. 排列
  • 定义
    • 由1,2,...,n组成的一个有序数组称为一个n阶排列
    • n阶排列的总数为n！
  • 逆序数
    • 一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数
      • 逆序：大小顺序相反（前大于后）
  • 奇偶排列
    • 逆序数为偶数的排列称为偶排列
  • 对换
    • 对换改变排列的奇偶性
  • 推论
    • 在全部n阶排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n！/2个
  • 定理
    • 任意一个n阶排列与排列12...n都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性
• 2. n阶行列式
  • n阶行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积的代数和，这里是1,2，... ,n的一个排列，当是偶排列，带有正号，当是奇排列，带负号
  • 对角形行列式：主对角线以外的元素全为零的行列式（结果等于对角线乘积）
• 3. n阶行列式的性质
  • 行列互换，行列式不变
    • 转置行列式
  • 一行的公因子可以提出来
    • 令K=0,就有，如果行列式中一行为0，那么行列式为0
  • 如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和
  • 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零
  • 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零
  • 把一行的倍数加到另一行，行列式不变
  • 对换行列式组两行的位置，行列式反号
• 4. 行列式的计算
  • s´n矩阵
    • 由sn个数排成的s行(横的)n列(纵)的表称为s´n矩阵
      • n´n矩阵称为n阶方阵
  • 初等行(列)变换
    • 一个非零的数乘矩阵的某一行(列)
    • 把矩阵的某一行(列)的c倍加到另一行(列)
    • 互换矩阵中两行(列)的位置
    • A®B
      • 任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵
  • 计算行列式一般用打洞的方法的计算
• 5. 行列式按一行(列)展开
  • 余子式
    • 在行列式中划去元素所在的第i行与第j列，剩下的个元素按原来的排法构成一个n-1阶行列式，称为元素的余子式，记为
  • 代数余子式
    • 
  • 定理
    • 设，表示元素的代数余子式，则下列公式成立：
    • 
    • 
  • 范得蒙得行列式
    • • • 
      • • 范得蒙得行列式为零的充分必要条件是这n个数中至少有两个相等
      • 用数学归纳法证明
• 6. 克拉默法则
  • 定义
    • 如果线性方程组的系数矩阵的行列式，即系数行列式，那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为
    • 其中是把矩阵A中第j列换成方程组的常数项所成的矩阵的行列式
  • 齐次线性方程组
    • 定义：常数项全为零的线性方程组
    • 定理
      • ，只有零解
      • ，有非零解
        • 第三章s<n也有非零解
• 7. 拉普拉斯定理*行列式的乘法规则
• 8. 其他
  • 会计算n阶行列式
  • 会证明定理