复变函数与积分变换

有利于大家期中、期末考试复习，还有工学的同志们考研用来简单过一遍，希望可以帮助到你！

复变函数与积分变换

• 第七章 傅里叶变换
  • 7.1 傅氏积分公式
    • 傅氏级数（简称：傅氏级数）
      • 定义
      • 三角形式
      • 电路中的虚数单位
        • j
    • 复数形式
      • 欧拉公式
      • 公式
    • 积分公式
      • 公式
      • 定理1
      • 积分公式的三角形式
        • 公式
        • 说明
          • 余弦傅氏公式
            • f(t)为偶函数时
          • 正弦傅氏公式
            • f(t)为奇函数时
  • 7.2 傅里叶变换
    • 定义1
      • • 此为傅里叶变换
    • 傅氏像函数
    • 傅氏逆变换
    • 在频谱分析中，傅氏变换F()又称f(t)的频谱函数，它的膜称为f(t)的振幅频谱
    • 定义2
      • f(t)为偶函数时
      • f(t)为奇函数时
    • 指数衰减函数
  • 7.3 傅氏变换的性质
  • 7.4 傅氏变换的应用
• 第三章 复变函数的积分
  • 3.1 复积分的概念
    • 复积分
      • 定义
        • 有向线段
        • 把C任意分割成n个小弧段，在一个小弧段上做和式
        • f(z)沿曲线C的积分，记做：
      • 说明
        • 1. 沿C的正向（从A到B）的积分记做等式左边
        • 2. 积分存在定理
          • A. 光滑=可导
          • B. f(z)在C处连续
      • 计算
        • 1. 由曲线积分计算
          • I. 定理
            • i.
            • ii.
            • iii.
          • II. 说明
            • 积分与路径无关
          • III. 计算
            • 再运用定理里面第三条，代入求解
        • 2. 由参数方程给出
          • 定理
            • A.
            • B.
              • 可以直接利用这个公式
                • 标注
          • 性质
            • 
  • 3.2 柯西定理
    • 柯西定理
      • 也称：柯西-古萨定理
      • 1. 定理
        • C是单连通区域D内任一闭曲线
        • 在D内处处解析
          • 解析的含义：在整个复平面上处处存在导数
      • 2. 定理
        • 闭曲线C是区域D的边界
        • f(z)在D内解析
        • 在C上连续
  • 3.3 复合闭路定理
  • 3.4 柯西积分公式
  • 3.5 解析函数的高阶导数
  • 3.6 解析函数与调和函数
  • 3.7 复积分函数的应用
• 第二章 解析函数
  • 2.1 复变函数
    • 复变函数
      • 定义
        • 1. 概念
          • • w是z在函数f下的像
            • z是自变量，w是因变量，点集D是定义域，由w构成的f(z)是值域
        • 2. 函数的分类
          • z的一个值对应w的一个值，则为单值函数
          • z的一个值对应w的两个或两个以上的值，则为多值函数
        • 3. 反函数
          • 说明
            • 1.
            • 2. 相反，若有两个实变量函数u(x,y),v(x,y)
            • 3. 计算
              • 代入公式求即可
          • 映射
  • 2.2 解析函数
  • 2,3 几个概念之间的关系
  • 2,4 初等函数
  • 2,5 与实变量函数的相异点
• 第一章 复数
  • 1.1 复数的表示方法
    • I. 定义
      • 1.
      • 2.
        • x为实部 y是虚部
      • 3. 两个复数，x1=x2，y1=y2时，则两个复数相等
        • 复数无法比较大小
      • 4. 共轭复数
    • II. z平面
      • i. 代数表示法
        • 
      • ii. 几何表示法
        • 
        • 实则是一个坐标，在给定的直角坐标系上，复数的全体与该平面上的点的全体一一对应
      • iii. 复数的平面称为z平面
      • iv. y是虚轴，x是实轴
    • III. 复数的向量表示
      • 1. EG：一复数的起点为原点，终点为P（x，y）
      • 2. 向量的模：|z|
      • 3. 辐角
        • 
        • 定义
          • 当z≠0，向量OP与x轴正向间的夹角称为复数z的 辐角，记做：Arg z
            • 也就是x轴的正向到向量z（z≠0）之间的夹角
        • 说明
          • 1.
          • 2.
          • 3. 共轭复数的膜=复数的膜
            • 图像
              • 
      • 4. 主值
        • 关系
          • 特殊
            • z=0时，|z|=0,没有辐角，辐角任意
          • • z在正y轴
            • y>0
          • • z在负y轴
          • 0
            • z在正实轴
          • π
            • z在负实轴
          • • z在第一，四象限
          • • z在第二象限
          • • z在第三象限
    • IV. 复数的三角表示法与指数表示法
      • 三角表示法
      • 指数表示法
  • 1.2 复数的运算与几何意义
    • 复数的运算
      • 加减法
        • 
      • 乘除法
        • 
      • 满足分配律和结合律
      • 定理
        • 两个复数乘积的膜=其膜的乘积，两个复数乘积的辐角=其辐角的和
      • 乘幂
        • 棣莫弗公式：
      • 方根
    • 共轭复数与运算
      • 几个概念
      • 性质
        • 
    • 曲线的复数方程
  • 1.3 点集与区域
    • 区域
      • 领域
        • 去心领域
        • 内点
        • 外点
        • 边界点
        • 有界点集，无界点集
      • 开集
      • 连通集
      • 闭域，开域