图解线性代数第三章：行列式的几何意义（上）

线性代数是大学生工科必修科目，以后在社会上应用到的可能性更是很多，无论是算法还是制图或者考研，都用的到，这份思维导图写了如果从几何来理解线性代数的本质。

第三章——行列式的几何意义（上）

• 行列式和矩阵的区别
  • 行列式是由一些数据排列成的方阵经过规定的计算方法而得到的一个数
  • 矩阵只是一个数表
• 行列式的计算公式
  • |a|=a
  • 一阶行列式就等于a本身，可正可负
  • 划去a对应行和对应列，乘以二阶行列式的结果 其中需要注意的是奇数行为正，偶数行为负
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  • 关于高阶行列式，强烈建议降阶计算比较合适 将n阶行列式化为n个n-1阶行列式的和，以此递推
• 行列式的几何意义
  • 行列式就是行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积 体的有向面积或有由体积;
  • 是矩阵 A的行列式 detA 就是线性变换 A下的图形面积或体积的伸缩因子 或体积的仰缩因子
  • detA的大小就是有向面积或者体积变化的大小
  • 基本概念
  • 二阶行列式
    • 二姐行列式的几何意义就是由行列式的向量所张成的平行四边形的面积
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    • 二阶行列式的几何意义
    • 齐次性的几何解释
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    • 可加性的几何解释
      • 一个行列式可以通过拆分某 一行向量而得到两个行列式之和
    • detA的几何解释
      • 两行对应元素成比例，则行列式为零。 如果把成比列的两个向量的始端都移动到原点，则两向量会在同一条直线上，，显然围成的四边形的面积为0 如果两个向量相同，行列式的值也为0
    • 行列式的换号
      • 交换行列式的两行则行列式换号。这个性质由行列式的叉积特性得到。
      • 交换行列式的两行，就是改变了向量a 和向量b 的叉积顺序，根据 x b = - b x a 因此行列式换号。由此我们得到一个印象 就是 个给定的行列式，它的行向量顺序也给定了，不能随意改变其顺序。
    • 行列式的行加倍
      • 把行列式的一 行的 K倍加到另一行，则行列式的值不变，
      • 进行切变是不会改变底和高的，因此行列式的值不变
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• xinghen