高数级数思维导图

高等数学章节思维导图级数部分。无穷级数是研究有次序的可数或者无穷个数函数的和的收敛性及和的数值的方法，理论以数项级数为基础，数项级数有发散性和收敛性的区别。只有无穷级数收敛时有一个和，发散的无穷级数没有和。

无穷级数

• 常数项级数
  • 概念
    • Un求和
    • 收敛 or 发散可判定
  • 性质
    • ku与u 同敛散
    • u和v 都收敛，则u+v 必收敛 （一收一发是发散，两发无法判断敛散性）
    • 级数中加减有限项，不会改变级数敛散性
    • 若U1+U2+U3+U4 收敛，则（U1+U2）+（U3+U4) 仍收敛且其和不变
    • 级数收敛必要条件：Un收敛，则 limUn=0 (若limUn≠0，则Un 发散）
  • 正项级数
    • 定义
      • Un求和且Un≥0，则Un为正项级数
    • 收敛的充要条件
      • Un收敛则部分Sn有上界（反之也可）
    • 正项级数敛散性判别法
      • 比较判别法
        • “大收则小收，小发则大发”
        • limUn/Vn=L
          • 0＜L＜+∞ ，u与v同敛散
          • L=0，v收敛则u收敛
          • L=+∞，v发散则u发散
        • p级数的三点
      • 比值审敛法 （连乘，既含n！又含n的n用他）
        • Un求和满足lim Un+1/Un=L
          • 0≤ L＜1 ，Un收敛
          • 1＜L ≤+∞， Un发散
          • L=1，无法判断敛散性
      • 根值审敛法
        • Un求和满足lim (n次根号下Un）=L
          • 0≤ L＜1，Un收敛
          • 1＜L≤+∞，Un发散
          • L=1，无法判定敛散性
  • 交错级数
    • 定义
      • Un＞0，求和（-1）n次方Un 或 求和（-1）n-1次方Un为交错级数
    • 莱布尼兹判别法 （是一个充分不必要条件）
      • 交错级数满足条件：Un＞Un+1（单减）且 limUn=0，则交错级数收敛
  • 任意项级数
    • 若求和 l Un l 收敛，就称绝对值Un绝对收敛 （如果级数 ΣUn绝对收敛，则级数求和Un必定收敛）
    • 若ΣUn收敛，但求和 l Un l 发散，就称ΣUn条件收敛
    • 若级数Un绝对收敛，则（Un+ |Un| )/2与（Un- |Un|）/2 都收敛 若级数Un条件收敛，则（Un+ |Un| )/2与（Un- |Un|）/2 都发散
• 函数项级数
  • 定义
    • Un(x)在I上有定义，称U1(x)+U2(x)+....为定义在I上的一个函数项级数，Un(x)为通项，Sn(x)=ΣUk(x)称为部分和函数； 若数项级数ΣUn(xo)收敛，则称xo是ΣUn(x)的一个收敛点，所有收敛点构成的集合称为级数的收敛域 I
  • 和函数
    • ΣUn(x)=S(x)成立，ΣUn(x)为和函数，Sn(x)=ΣUk(x)为部分和函数
  • 幂级数
    • 定义
      • an为无穷数列，形如Σan(x-xo)n次方的和函数称为xo处的幂级数，其中常数a0,a1...称为幂级数的系数
    • 敛散性及收敛半径
      • Abel定理
        • 幂级数在x=xo收敛，当|x|＜|xo|，幂级数绝对收敛；（x=0处收敛） 幂级数在x=xo发散，当|x|＜|xo|，幂级数发散
        • （-R,R）为幂级数收敛区间
          • 当|x|＜R，幂级数绝对收敛 当|x|＞R，幂级数发散 当x=R 或x=-R 幂级数可能收敛也可能发散
          • 若幂级数在(-∞，+∞)上每一点都收敛，就规定R=+∞ 若幂级数仅在x=0处收敛，就规定R=0
        • 收敛半径求解方法
          • lim | an/an+1 |=R
          • 幂级数通项看成Un，当lim |Un+1(x)/Un(x)| ＞1，幂级数发散 当lim |Un+1(x)/Un(x)| ＜1，幂级数收敛 【收敛为闭区间】
    • 性质
      • 幂级数an的n次收敛半径为Ra，bn的次收敛半径为Rb，则Σan+bn=Σ（an+bn)x的n次 （收敛半径为R=min（Ra,Rb），其中Ra≠Rb
      • 幂级数的和函数S(x)在收敛域I上连续
      • 幂级数在收敛区间内可逐项求导【（Σ）’=Σ（）' 】 （原先收敛求导后可能发散，原先发散求导后可能还发散）
      • 幂级数在收敛区间内可逐项积分
    • 幂级数求和函数
      • 利用幂级数展开式求和
      • Σx的n次 结合模型用微积分工具求和函数（三种）
    • 函数的幂级数展开式 （看例题即可,只可意会惹)
      • 直接展开法
      • 间接展开法