离散型随机变量思维导图

这是一篇关于离散型随机变量思维导图，包含随机变量的概念、离散型随机变量的概率分布、离散型随机变量的数字特征、常用的概率分布等

离散型随机变量

• 4.1 随机变量的概念
  • 随机变量（random variable）：在样本空间上，将基本事件映射为一个实数，这样的映射称为随机变量。随机变量是样本空间到实数的映射
  • 随机变量X的定义域是样本空间，其值域是实数集合
  • 如果随机变量可能取的数值为有限个或可数个，则称其为离散型随机变量（discrete random variable），否则称为连续型随机变量
• 4.2 离散型随机变量的概率分布
  • 4.2.1 概率分布
    • 概率中通常用大写字母（如X）表示随机变量，小写字母（x）表示随机变量可能取到的具体数值，对每个可能值x，相应概率P（X=x）的表、图或公式称为随机变量的概率分布
    • 离散型随机变量X的概率分布（probability distribution）/分布列清楚地展示了X的取值与相应概率所具有的规律性联系，这些概率值组成一个概率分布，称概率质量函数
    • P(X=xk)=pk，0≤pk≤1，所有pk和为1。样本空间中的每个基本事件有且仅有一个X值与之对应，当X取遍所有可能的值时，可得到所有的基本事件，就是一个必然事件
  • 4.2.2 累积分布函数
    • 累积分布函数（culmulative distribution function，cdf）：设随机变量X，对任一值x，概率值P(X≤x)称为X的累积分布函数，常用F（x）表示
    • 累积分布函数的图形可以用来识别离散型随机变量与连续型随机变量：离散型-阶梯函数；连续型-光滑的曲线
  • 4.2.3 概率分布与频率分布的关系
    • 频率-经验分布/统计分布；概率-理论分布/总体分布
    • 检验一个模型（指概率分布）的适用性是通过比较有限观察样本的频率分布和概率分布间的差异来实现的→拟合优度检验
• 4.3 离散型随机变量的数字特征
  • 总体特征值（population characteristic）：描述概率分布特征的数字，包括数学期望（expectation，总体均数）、方差、标准差等
  • 数学期望：期望值E(X)是一种加权平均，可以作为描述这个随机变量平均水平的数字特征
  • 方差与标准差：方差表示随机变量取值的距总体期望的离散程度，其值越大说明取值越分散
• 4.4 常用的概率分布
  • 4.4.1 伯努利分布（Bernoulli distribution）
    • 定义：如果随机变量X的概率分布为P(X=1)=p，P(X=0)=q，（0<p<1，q=1-p），则称X服从伯努利分布
    • 条件：试验的结果只能是两个对立的结果之一，且不能同时发生；两个结果是完备的，p+q=1
    • 期望、方差、标准差
      • 期望μ=p
      • 方差
      • 标准差
  • 4.4.2 二项分布（binomial distribution）
    • 定义：X~B(n，p)。X表示n重伯努利试验中成功的次数
    • 性质
      • 0≤pk≤1
    • 适用条件
      • n次试验是在相同条件下进行的，并且观察结果是相互独立的
      • 每次试验只会发生两种对立的结果之一
      • 每次试验“成功”的概率p是相同的
    • 累积概率：计算任意点或任意区间上的概率
    • 二项分布图形
      • n不变，当p=0.5时的图形是对称的，p>0.5时图形呈左偏态，p<0.5时图形呈右偏态
      • p不变，n增大时，上述各种分布均趋近于对称分布
      • 二项分布的形态由参数n，p共同决定。np≥5且nq≥5时二项分布对正态分布有很好的近似
    • 期望、方差与标准差
      • 期望μ=np
      • 方差
      • 标准差
  • 4.4.3 多项概率分布（multinomial distribution）
    • 定义：X~M（n，p）
    • 期望、方差与标准差：类似二项分布，将结局事件A1，A2，...，Ak分成两组，假设感兴趣的一组为Ai组（i=1，2，...，k），该组只含一个基本事件，将剩余的k-1个事件合并，称为Bi组，因此Ai的期望、方差、标准差可由二项分布直接给出
  • 4.4.4 泊松分布（Poisson distribution）
    • 泊松分布与稀有事件相联系，为发生在时间、面积、体积等单位内稀有事件发生的个数提供了一个模型
    • 定义
    • 基本性质
    • 适用条件
      • 试验是在给定时间、面积或体积单位内发生某个事件的次数X
      • 稳定性：发生在给定时间、面积或体积单位内的概率对所有单位全都相同
      • 独立性：发生在一定时间、面积或体积单位内的事件数与发生在其他单位内的事件数是独立的
    • 泊松分布图形
      • 图形形态的变化随λ值变化而变化。λ值愈小，分布愈呈偏态；随着λ值的增大，分布逐渐趋向对称
      • λ≥10时，泊松分布就可按正态分布近似处理
    • 期望、方差和标准差
      • 期望
      • 方差
      • 标准差
      • 泊松分布中的参数λ既是期望，又是方差。如果一个离散型随机变量的期望和方差近似相等，则有理由相信这个样本数据近似服从泊松分布
    • 泊松分布与二项分布的近似
      • 泊松分布与二项分布的一个重要差别在于试验次数n的不同：二项分布中n有限，泊松分布n足够大，p很小，且np适中
      • 当n很大，p很小，np适中时，可以省去用二项分布计算过程的麻烦，用泊松分布近似二项分布。此时的二项分布能够很好地用参数为λ=np的泊松分布予以近似