2021考研数学一元函数积分学

2021考研数学一元函数积分学知识点汇总！包含不定积分、定积分、定积分应用、反常积分、题型例题等五大知识点，内容详细，条理清晰，帮助你梳理记忆考研数学知识点。适用于考研复习！欢迎采纳！

一元函数积分学

• 不定积分
  • 两个基本概念
    • 原函数
      • p
    • 不定积分
      • p
  • 原函数的存在性
    • 如果f(x)连续，则一定存在原函数，反之不对
    • 如果f(x)不连续，有第一类可去、跳跃间断点或第二类无穷间断点，那么包含此间断点的区间内，一定不存在原函数
    • 如果f(x)不连续，有第二类振荡间断点，那么包含此间断点的区间内，原函数可能存在，也可能不存在
  • 不定积分的基本性质
    • 积分与微分的关系--->互逆运算
      • 积分完记得加常数C-->+C
    • p
    • p
    • p
    • p
  • 基本积分公式（22个）
    • 幂函数积分(2个)
    • 指数函数积分(2个)
    • 三角函数积分(10个)
    • 平方和平方差积分(8个)
  • 三种主要积分法
    • 第一类换元法(凑微分法)
      • 常见的凑微分(16个)
    • 第二类换元法（换变量）
      • 无理函数转有理函数
      • 平方和平方差--->三角代换
        • p
        • p
      • 倒数变换x=1/t
        • 情况
          • 分母最高次-分子最高次>1可以倒代换
          • 分母最高次-分子最高次<=1不可以倒代换
    • 分部积分法
      • 两类不同函数相乘 反对幂三指---谁后就d谁
      • ∫ v du = uv - ∫ u dv
        • 幂函数x指数函数
          • 指数函数为V(x)
        • 幂函数x对数函数
          • 幂函数为V(x)
        • 幂函数x三角函数
          • 三角函数为V(x)
        • 幂函数x反三角函数
          • 幂函数为V(x)
        • 指数函数x三角函数
          • 指数函数为V(x)
        • sec csc的奇次方
          • 见例题
  • 三类常见可积函数积分
    • 有理函数积分
      • 一般方法
        • 部分分式法
          • 多项式除法
          • 按手指
      • 特殊方法
        • 分子加项减项拆项
          • 原则：凑分母里面的因式
        • 凑微分降幂
      • 类型及方法
        • 一般类型-->按手指拆
          • p
          • p
          • p
        • 分母次数>分子次数
          • 分母可因式分解
            • 按手指拆
            • 分子加项减项拆
              • 适用情况：分母有两个因式
            • 凑微分降幂
            • p
            • p
            • p
          • 分母不可因式分解（2次）
            • 拆-->分母配方
        • 分子次数>=分母次数
          • 多项式除法--->按手指拆
    • 三角有理式积分
      • 一般方法
        • 万能替换
          • sinx，cosx方次较低，最好为1
      • 重要的三角积分
        • p
        • p
        • p
        • p
        • p
      • 特殊方法
        • 三角变形
        • 换元
          • p
        • 分部
    • 简单无理式积分
      • 将含根号部分整体=t
        • p
• 定积分
  • 概念
    • p
    • 定积分表示的是一个数，不定积分表示的是一个函数集合
    • 定积分的值仅由被积函数和积分区间决定
  • 几何意义
    • 规定与使用前提：上限大下限小！
    • p
    • p
    • p
    • 几何意义推论
      • p
  • 可积性
    • 必要条件
      • p
    • 充分条件
      • p
    • 可积但原函数不一定存在，原函数存在不一定可积，二者没有必然关系
    • p
    • p
  • 性质
    • 一般性质
      • p
      • p
      • p
      • p
    • 不等式
      • p
      • p
      • p
      • p
    • 积分中值定理
      • p
      • p
  • 定积分计算
    • 牛顿莱布尼茨公式
      • p
    • 换元积分法
      • p
    • 分部积分法
      • p
    • 奇偶性周期性
      • 特别注意对称区间
      • p
      • p
    • 公式法
      • p
        • p
        • p
        • p
      • p
      • p
        • 由区间不动变量代换推导出来
    • 几何意义法
      • p
      • p
    • 区间不动作变量代换法
      • 适用情况：被积函数原函数不好找
      • p
        • p
  • p
    • 积分基本定理
      • p
      • 若f（x）有原函数，则构造原函数的最好的方法：积分上限函数
    • 求导
      • 类型
        • p
        • p
          • 换元法变量代换
        • p
          • 换元法变量代换
      • 方法
        • 换元法
        • 乘积拆分法
          • p
    • 性质
      • 连续性
        • p
      • 可导性
        • p
      • 奇偶性
        • p
        • 对于1）积分下限可以是a，对于2）积分下限必须是0
• 定积分应用
  • 几何应用
    • 平面图形的面积
      • 利用二重积分比利用一元定积分的元素法更方便，求平面域D的面积直接用二重积分计算，根据积分域选择二重积分的方法
        • p
      • 直角坐标下
        • p
          • p
      • 极坐标下
        • p
          • p
    • 空间体的体积
      • 旋转体的体积
        • 所围绕的直线不穿过平面域
        • 基本方法
          • p
            • p
        • 特例
          • p
          • p
          • p
      • 已知截面面积的体积
        • p
          • p
    • 曲线弧长
      • 直角坐标
        • p
      • 参数方程
        • p
      • 极坐标
        • p
    • 旋转体侧面积
      • p
    • 这两个首先只能ds，前两个dx，根据精度要求
  • 物理应用
    • 变力沿直线所做的功
    • 液体的压力
    • 引力
• 反常积分
  • 正常积分与反常积分
    • 正常积分积分区间有限，被积函数有界，反常积分积分区间无穷区间或被积函数是无界函数；存在--->收敛，不存在---->发散
  • 连续函数在无穷区间上的反常积分
    • [a,+∞]区间
      • p
        • 变上限定积分取极限定义
    • [-∞,b]区间
      • p
    • [-∞,+∞]区间
      • p
        • 两个都收敛才收敛， 只要有一个发散就发散
    • 常用结论
      • p
  • 无界函数的反常积分
    • a为f（x）的瑕点(a,b]
      • p
        • 变上限定积分取极限定义
    • b为f（x）的瑕点[a,b)
      • p
    • c为f（x）的瑕点[a,b]除点c
      • p
    • 常用结论
      • p
      • p
  • 相关知识点
    • 反常积分想利用定积分奇偶性首先该反常积分必须收敛
    • 求反常积分可用等价无穷小
• 题型例题
  • 不定积分做题思路
    • 不含根号
      • 1.凑分
        • 2.分部积分
          • 3.常见的可积函数（有理函数）
    • 含根号
      • 简单的无理函数
        • p
      • 复杂的无理函数
        • 三角代换
          • p
        • 倒代换
          • 情况
            • 分母最高次-分子最高次>1可以倒代换
            • 分母最高次-分子最高次<=1不可以倒代换
  • 不定积分
    • 基本概念与性质
    • 换元积分法
    • 分部积分法
    • 有理函数不定积分
    • 三角有理函数不定积分
    • 分段函数不定积分
      • 求完不定积分后判断分界点是否连续--->得C的关系
      • 选择题中出现分段函数求不定积分，先对原函数求导，再判断连续性
    • 综合型不定积分
  • 定积分
    • 基本概念与性质
      • 用定积分定义求极限
        • n项和的极限
          • p
        • 变量出现在上下限，相减为定值用积分中值定理
    • 定积分几何意义
    • 变积分限的函数及其应用
      • f（x）分段函数，求变限积分函数
        • 画草图
      • f（x）分段函数，求变限积分函数在分段点处连续性、可导性
        • p
      • 求导
        • 变限积分的上下限以及被积函数可以等价无穷小代换 可用来判断无穷小的阶
    • 定积分计算
      • 常规积分
      • 分段函数求定积分
      • 变换保持区间计算定积分
      • 分部积分求定积分
    • 定积分证明
    • 积分不等式
    • 反常积分
      • 概念
      • 敛散性
      • 计算
    • 定积分应用
      • 几何应用
        • 先求函数表达式画草图
      • 物理应用