导图社区 2021考研数学一元函数积分学
2021考研数学一元函数积分学知识点汇总!包含不定积分、定积分、定积分应用、反常积分、题型例题等五大知识点,内容详细,条理清晰,帮助你梳理记忆考研数学知识点。适用于考研复习!欢迎采纳!
高数之一元函数积分学的概念与计算,一张图带你了解一元函数积分学的有关知识,包含概念与性质、不定积分的计算、定积分的计算三大知识点,内容详细,公式齐全,欢迎采纳!
思修思修考前背一背知识梳理。适用于期末考试,能帮同学们不挂科!
社区模板帮助中心,点此进入>>
安全教育的重要性
个人日常活动安排思维导图
西游记主要人物性格分析
17种头脑风暴法
马克思主义原理
如何令自己更快乐
头脑风暴法四个原则
思维导图
考研数学重点考点知识总结归纳!
数据结构
一元函数积分学
不定积分
两个基本概念
原函数
p
原函数的存在性
如果f(x)连续,则一定存在原函数,反之不对
如果f(x)不连续,有第一类可去、跳跃间断点或第二类无穷间断点,那么包含此间断点的区间内,一定不存在原函数
如果f(x)不连续,有第二类振荡间断点,那么包含此间断点的区间内,原函数可能存在,也可能不存在
不定积分的基本性质
积分与微分的关系--->互逆运算
积分完记得加常数C-->+C
基本积分公式(22个)
幂函数积分(2个)
指数函数积分(2个)
三角函数积分(10个)
平方和平方差积分(8个)
三种主要积分法
第一类换元法(凑微分法)
常见的凑微分(16个)
第二类换元法(换变量)
无理函数转有理函数
平方和平方差--->三角代换
倒数变换x=1/t
情况
分母最高次-分子最高次>1可以倒代换
分母最高次-分子最高次<=1不可以倒代换
分部积分法
两类不同函数相乘 反对幂三指---谁后就d谁
∫ v du = uv - ∫ u dv
幂函数x指数函数
指数函数为V(x)
幂函数x对数函数
幂函数为V(x)
幂函数x三角函数
三角函数为V(x)
幂函数x反三角函数
指数函数x三角函数
sec csc的奇次方
见例题
三类常见可积函数积分
有理函数积分
一般方法
部分分式法
多项式除法
按手指
特殊方法
分子加项减项拆项
原则:凑分母里面的因式
凑微分降幂
类型及方法
一般类型-->按手指拆
分母次数>分子次数
分母可因式分解
按手指拆
分子加项减项拆
适用情况:分母有两个因式
分母不可因式分解(2次)
拆-->分母配方
分子次数>=分母次数
多项式除法--->按手指拆
三角有理式积分
万能替换
sinx,cosx方次较低,最好为1
重要的三角积分
三角变形
换元
分部
简单无理式积分
将含根号部分整体=t
定积分
概念
定积分表示的是一个数,不定积分表示的是一个函数集合
定积分的值仅由被积函数和积分区间决定
几何意义
规定与使用前提:上限大下限小!
几何意义推论
可积性
必要条件
充分条件
可积但原函数不一定存在,原函数存在不一定可积,二者没有必然关系
性质
一般性质
不等式
积分中值定理
定积分计算
牛顿莱布尼茨公式
换元积分法
奇偶性周期性
特别注意对称区间
公式法
由区间不动变量代换推导出来
几何意义法
区间不动作变量代换法
适用情况:被积函数原函数不好找
积分基本定理
若f(x)有原函数,则构造原函数的最好的方法:积分上限函数
求导
类型
换元法变量代换
方法
换元法
乘积拆分法
连续性
可导性
奇偶性
对于1)积分下限可以是a,对于2)积分下限必须是0
定积分应用
几何应用
平面图形的面积
利用二重积分比利用一元定积分的元素法更方便,求平面域D的面积直接用二重积分计算,根据积分域选择二重积分的方法
直角坐标下
极坐标下
空间体的体积
旋转体的体积
所围绕的直线不穿过平面域
基本方法
特例
已知截面面积的体积
曲线弧长
直角坐标
参数方程
极坐标
旋转体侧面积
这两个首先只能ds,前两个dx,根据精度要求
物理应用
变力沿直线所做的功
液体的压力
引力
反常积分
正常积分与反常积分
正常积分积分区间有限,被积函数有界,反常积分积分区间无穷区间或被积函数是无界函数;存在--->收敛,不存在---->发散
连续函数在无穷区间上的反常积分
[a,+∞]区间
变上限定积分取极限定义
[-∞,b]区间
[-∞,+∞]区间
两个都收敛才收敛, 只要有一个发散就发散
常用结论
无界函数的反常积分
a为f(x)的瑕点(a,b]
b为f(x)的瑕点[a,b)
c为f(x)的瑕点[a,b]除点c
相关知识点
反常积分想利用定积分奇偶性首先该反常积分必须收敛
求反常积分可用等价无穷小
题型例题
不定积分做题思路
不含根号
1.凑分
2.分部积分
3.常见的可积函数(有理函数)
含根号
简单的无理函数
复杂的无理函数
三角代换
倒代换
基本概念与性质
有理函数不定积分
三角有理函数不定积分
分段函数不定积分
求完不定积分后判断分界点是否连续--->得C的关系
选择题中出现分段函数求不定积分,先对原函数求导,再判断连续性
综合型不定积分
用定积分定义求极限
n项和的极限
变量出现在上下限,相减为定值用积分中值定理
定积分几何意义
变积分限的函数及其应用
f(x)分段函数,求变限积分函数
画草图
f(x)分段函数,求变限积分函数在分段点处连续性、可导性
变限积分的上下限以及被积函数可以等价无穷小代换 可用来判断无穷小的阶
常规积分
分段函数求定积分
变换保持区间计算定积分
分部积分求定积分
定积分证明
积分不等式
敛散性
计算
先求函数表达式画草图