矩阵2思维导图

这是一篇关于矩阵2的思维导图，包含矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的分块法等，希望对你学习有所帮助！

矩阵

• 矩阵的初等变换
  • 三种变换形式
    • 对换变换
    • 数乘变换
    • 倍加变换
  • 等价矩阵
    • 若矩阵A经过有限次初等变换变成B，称A与B等价（符号很像全等符号）
    • 性质
      • 反身性
      • 对称性
      • 传递性
    • 满秩矩阵和降秩矩阵
      • 满秩矩阵
        • A等价于E
          • r(A)=n
      • 降秩矩阵
        • A不等价于E
  • 定理
    • 初等变换不改变矩阵的秩
  • 应用
    • 用初等变换求矩阵的秩
      • 行阶梯型矩阵
        • 主元：左数第一个非零元素
        • 求秩：把A化为阶梯型矩阵T，r(A)=T中非零行的行数
      • A的行最简形矩阵/A的简化的阶梯形矩阵
        • 主元全为1
      • 等价标准型
        • 左上角是单位矩阵
    • 用矩阵的秩判断齐次线性方程组是否有非零解
      • Ax=0有非零解的充要条件：系数矩阵A的秩<n（n是未知量的个数）
        • 推论：有非零解的另一充要条件是，|A|=0
      • 只有零解：r(A)=n
    • 利用初等变换求矩阵的逆
      • A与E写在一起，把A变成E，E就变成了A的逆
• 初等矩阵
  • 定义：由E经过一次初等变换得到的矩阵
  • 三种类型
    • Pij
      • 交换某两行（列）
        • 其逆为其本身
    • Dj(k)
      • 某一行乘k
        • 其逆把k变成k的倒数
    • Tij(k)
      • 第i行（列）k倍加到第j行（列）上去
        • 其逆把k变成-k
  • 定理
    • 左行右列
      • 对矩阵A（m*n)进行一次初等行变换，相当于在A左边乘上相应的m阶初等矩阵；进行一次列变换，相当于在A右侧乘上相应的n阶初等矩阵
    • 存在P、Q，使PAQ=左上角是单位矩阵的矩阵
    • 可逆矩阵A可以表示为有限个初等矩阵的乘积
      • 推论：A、B等价的充要条件是，存在P、Q，使PAQ=B
• 矩阵的分块法
  • 子块
    • 分块矩阵
      • 块行块列
      • 分块对角矩阵/准对角矩阵
  • 按行/列分块
    • 即行向量表示与列向量表示
      • 线性方程组的向量表示法
  • 运算
    • 加法
      • 前提：子块为同行矩阵
    • 数乘
    • 转置
      • 内外一起转
    • 乘法
      • 前提：左边矩阵A的列分快方式与右边矩阵B的行分块方式一致
      • 注意：矩阵的相对位置是什么，分块矩阵相乘时的相对位置就是什么
    • 求逆
      • 左上--右下对角矩阵的逆：各分块矩阵的逆，位置与原来分块矩阵对应
      • 左下--右上对角矩阵的逆：各分块矩阵的逆，但是要换位置（即由A11--Arr变成Arr的逆--A11的逆）
    • 行列式
      • 各分块矩阵行列式的乘积
• 满秩矩阵可逆，降秩矩阵不可逆
• 都是可逆变换，其逆是同一类型的初等变换