高数积分部分思维导图

这是一篇关于高数积分部分思维导图，包含梯度、散度、旋度、曲面积分、三重积分(物体的质量:体密度*体积)等。

高数积分部分

• 二重积分（曲顶柱体体积）
  • 重要性质
    • 可加性
    • 可积性：积分区域为矩形，则二重积分转换为定积分相乘
    • 对称性：偶倍奇零
    • 证明题
  • 计算
    • XY型
    • 极坐标系
      • 适用：x/y y/x 圆域
    • 换元法
      • 条件：雅可比行列式不为0
• 三重积分（物体的质量：体密度*体积）
  • 计算
    • 投影法
    • 截面法
    • 三次积分法
    • 对称法：区域关于xoy面对称，f(x,y,z)对z有奇偶性，其他同理
  • 坐标系
    • 直角坐标
    • 柱面坐标系：x=ρcosθ,y=ρsinθ,dV=ρdρdθdz
    • 球面坐标系（球面、锥面）：x=ρsinψcosθ,y=ρcosψsinθ,z=ρcosψ,dV=ρ²sinψdρdθdψ
• 曲线积分（定积分）
  • 第一类对弧长的曲线积分：求一小段弧长的质量
    • 计算：参数方程 ds=√ψ（t）²+ω（t）²+φ（t）² dt
  • 第二类对坐标的曲线积分：力做的功（有方向）
    • 计算
      • 参数方程（起点→终点）
      • 斯托克斯方程（分段光滑的有向闭曲线）
      • 平面曲线积分与路径无关
        • 方便路径
        • 格林公式（闭区域分段光滑曲线）
        • 条件：
  • 二者联系
• 曲面积分
  • 第一类：求曲面质量ds
    • 计算：一投二代三换
  • 第二类：求流体流量dxdy
    • 根据侧有方向
    • 计算：为第一类的相同或相反数
  • 计算技巧
    • 对称（填空题）
      • 关于坐标面对称得轮换对称性
      • 质心公式
      • 高斯公式：注意方向、添加辅助线成闭合区域
        • 作辅助面，构造闭合曲面
        • 借高斯公式转化为三重积分
        • 三重积分→二重积分，注意负号
      • 两类曲面积分的转换
• 梯度、散度、旋度
  • 梯度
  • 散度
  • 梯度
• 重积分应用
  • 曲顶柱体体积
  • 物体质心
    • 求质心坐标
      • 平面：x0=∫∫Dx dxdy/A
      • 体：对应份量的三重积分/体积
    • 已知质心坐标，求二重三重积分