极限题型总结思维导图

这是一篇关于极限题型总结思维导图，包含中值定理求极限问题、讨论函数的连续性与间断点类型等知识点总结。

极限题型总结

题型总结

极限的概念与性质

证明函数f(x)的极限不存在常用方法

左右极限不相等，则函数极限不存在

两个子列极限存在但不相等

例子参考

利用结论

常用技巧

洛必达法则

泰勒公式

变量替换

等价无穷小因子替换

转换为

上下同除以公因式

洛必达法则

分子极限不为无穷也可用

有分母就通分

无分母，分子有理化

提取x，化成0/0型

配合洛必达法则、泰勒公式

恒等变形

求含变限积分的未定式的极限

洛必达

恒等变换

无穷小量替换

0/0型时，也能对被积函数使用等价无穷小

由极限值确定函数式中的参数

极限四则运算法则

等价无穷小

洛必达法则

泰勒公式

若极限存在且上极限为0或无穷，则下极限一定是与其对应的

n项和数列求极限

方法

先计算和或积，在计算极限

夹逼定理(后)

恒等变换

适当放大缩小

放老大不放老二

对分母动手脚

放大

缩小

定积分定义(先)

带有积分

根据积分上下限找不等式代入

先分部积分求出再放缩

放大可通过去掉<1的项（配合积分上下限判断）

加绝对值，算右边极限为0

n项积数列求极限

常用ln转化为n项和，然后使用n项和数列求极限方法

已知通项求数列极限

单调有界数列收敛定理

直接计算

等价无穷小

重要极限

海涅定理(数列极限转函数极限)

夹逼准则

放老大不放老二

对分母动手脚

不动高阶无穷大这些老大，动1,2,3..k这些老二

放大

缩小

已知递推关系证明数列极限存在并求之

单调有界数列

单调有界数列收敛法

计算由递推关系给出的数列极限步骤

根据递推关系证明数列极限存在

证明单调和证明有界的方法（见上）

对递推关系两边去极限，得A=f(A)，解出A即为所求

先猜后证（先斩后奏，赖皮方法）

先偷偷对递推关系求极限，解出A，看看极限是多少

能算出来前几个数列的值，算出来看看增减趋向，心里更有底

压缩映射法（常用于不单调数列）

定理

使用要点

往往处理不单调数列的收敛判定，因为单调常用单调有界

定理中的a，需要用到耍赖法去极限得到

本质是夹逼准则，涉及不等式，压缩常数r的确定，往往需要用放缩法，需要储备常见的不等式

实例

中值定理求极限问题

判别：性质完全一样的函数相减

常用拉格朗日来求解

无穷小的比较与阶确定

无穷小阶的比较

常用洛必达或泰勒公式求解

确定无穷小阶的方法

利用等价无穷小

待定阶数法（除以x^k），算出个常数就说明阶数是k

泰勒公式

利用无穷小阶的运算性质

n阶无穷小乘以常数，仍然为n阶无穷小

n阶无穷小乘以m阶无穷小，为m+n阶无穷小

两个无穷小的和为小阶所决定（取决于小阶的那个）

而无穷大则取决于大阶的那个

两个同阶无穷小的和是高于或等于n阶的（有些被省略了，泰勒公式）

将多个无穷小量按阶排序

两两相除

先观察哪个是中间的，一边做分母，一边做分子

利用函数极限求数列极限

常用洛必达完成后面的计算

讨论函数的连续性与间断点类型

先找出间断点

带有绝对值

分段函数

分母不能为0

讨论间断点的极限值

若能够约分，则不用计算两边极限

若是分段函数或不能约分(如e)，则分左右极限计算

若计算完一边是无穷，则不用算另一边，直接判断该点为无穷间断点

分段函数，注意表达式中有隐藏的间断点

注意tanx，sinx做分母的时候

tanx的情况

若分子带有x

x=0要单独讨论

sinx的情况

若分子带有x

x=0要单独讨论

有关连续函数性质的命题

主要思想为

趋近于无穷的函数值不能直接用，要用极限的不等式性质或极限的局部有界定理进行加工后在使用

无穷时使用极限不等式性质语言

无穷时使用局部有界定理语言

已知极限存在，证明有界

数列极限

函数极限

这种证明方法比较好

看熟

题意条件联系

题意没有给出函数可不可导的定义

决不能对f(x)使用洛必达变成f'(x)

没有关于导数的信息在里面，作用只能是在所求式子洛必达的时候，把f(x)换掉（可能因为f(x)不可导）

当x趋近于无穷

证明题中带有 1/n

注意想办法拆成n项

e一定大于0，所以a的取值范围为大于或等于0

外面如果还有一层x，那就是错的，不满足极限运算法则

遇到ln(x的多项式)的题目（1800 36题）

要想到提出x的多项式(极为f)出来，再用被提多项式除以f，剩下分数就是所求极限

递推函数求极限中，若左边的系数等于右边的分母幂指数

则要联想到算术平均数不小于几何平均数

x趋向于无穷时，要想使用保号性

得使用极限定义来说明

分段函数还要注意表达式里面隐藏的间断点

注意tanx，sinx做分母的时候

tanx的情况

sinx的情况

ln(n+1)

注意分成多项，单项考虑

分子分母都有绝对值符号，分子且为变限积分

可利用分子，把分母绝对值去掉（通常为除）

然后分子利用变限积分性质，去掉分子绝对值

就可以不用分两边算极限

分子分母都带有f(x)，明确是要用导数定义求极限

分子分母同除x^n

注意泰勒公式展开到几阶

注意留意x的趋向，不要用错无穷小

题意求arctan(复杂项)

只考虑复杂项极限为无穷

看到向上或向下取整，联系到夹逼

压缩映射法的例子

单调有界数列收敛定理

证明单调的常用方法

做差与0比较

如已经得到了Xn的界

如不知道Xn的界或是已知通项

如证明出同号，则只能说明单调，后续可以证明上下界同时存在

异号不单调，同号单调，但不知道是递增还是递减

可以设函数，求导做，然后利用单调性进行判断

如果Xn>0, 也可以做商与1比较

递推函数法（秒杀）

若{Xn}通项已知，设f(n)为f(x)，若f'(x)>=0

若a1>a2，数列单调递减

若a1<a2，数列单调递增

没有给出明确的a1，可能不是很好做

但如果没有也可以证明上下界同时存在

最好先判断数列的界（判断正负）

数学归纳法

中值定理法

递推式出现g(A)-g(B)时，可以用拉格朗日中值定理处理

证明数列有界的方法（先）

利用不等式

其它不等式

算术平均数不小于几何平均数

数学归纳法（主要）

直接看出