导图社区 高等数学
数学一，高等数学所有章节的思维导图。所有的知识点都给大家整理出来了，平时背诵、查看很方便。都是根据个人对教材的理解整理所得，大家可以根据自己的复习情况进行增减。希望能帮助大家理清知识脉络、提高学习效率，祝大家考试顺利~
数据结构与算法 数据结构是计算机中存储、组织数据的方式。 数据结构是一种具有一定逻辑关系,在计算机中应用某种存储结构,并且封装了相应操作的数据元素集合。
操作系统是管理计算机硬件与软件资源的计算机程序。操作系统需要处理如管理与配置内存、决定系统资源供需的优先次序、控制输入设备与输出设备、操作网络与管理文件系统等基本事务。
计算机网络是指将地理位置不同的具有独立功能的多台计算机及其外部设备，通过通信线路连接起来，在网络操作系统，网络管理软件及网络通信协议的管理和协调下，实现资源共享和信息传递的计算机系统。
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教育学考研：教育学原理第八章教学内容整理
高数
极限
基本概念
定义
数列趋于无穷
函数趋于正负无穷或某点
性质
唯一性
有界性
保号性
由极限推函数不带=
由函数推极限必带=
列与子列
由此性质可化数列为函数
极限的存在性质
夹逼定理
单调有界必有极限
四则运算
无穷小
两函数等价的充要条件
连续性
连续的充要条件
该点值等于函数趋近于该点的极限值
间断点分类
第一类
可去
两侧极限存在且相等
跳跃
两侧极限存在但不相等
第二类
无穷
振荡
两侧极限至少有一侧不存在
闭区间连续函数的性质
最值定理
在闭区间上绝对有最大最小值
有界定理
在闭区间上绝对有界
零点定理
闭区间两头函数值相乘小于0，该开区间绝对有等于0的点存在
介值定理
对于介于最大最小值之间的值，在该闭区间上绝对能取到
计算
定义法
极限四则运算
前提是两部分的极限都存在
泰勒公式法
等价无穷小法
乘除可以用，加减需验证
用等价无穷小论文的方法
用极限加减运算法则验证
几个常用的等价无穷小注意前提条件，x趋近于0，但是x不能等于0.
在做函数中包含三角函数时易挖坑
非零因子代入法
乘积
所取函数极限存在且不为0
洛必达
两个重要极限
用的时候也要注意运算法则，底数和指数的极限都存在才可用
小技巧
拉格朗日中值定理
双根号化分子为分母
幂指化
取倒数
三角函数把2nπ,2分之π等代入，以子列求极限
注意
没有指明从哪侧趋近的极限要考虑两侧，很可能不存在
证明
极限存在性问题
数列存在递推关系
证单调性、有界性
单调性证明方法
几个重要不等式
数学归纳法
判断第n项后前一项的大小关系
求导单调法
中值定理
数列无递推关系
中值
费马定理
罗尔定理
拉格朗日定理
引申公式
柯西定理
洛必达法则
用柯西证得
泰勒公式
使用条件
公式记牢
两种余项形式记住
和麦克劳林公式的区别
单调、凹凸性
函数在闭区间连续，开区间可导，导数大于等于0，且等于0在有限点成立，则在闭区间单调增加
闭区间连续，开区间有一阶、二阶导数，若二阶导大于0，则凹
在经过（x,f(x)）时，曲线凹凸性改变，就称（x,f(x)）为这曲线的拐点
如何求拐点
求二阶导
找出二阶导等于0的所有点和二阶导不存在的点
对各点两侧的二阶导进行判断，若符号相反，就是拐点
函数极大极小值
极大值定义
大于邻域内的任何一点
两侧的一阶导符号相反才能取得极大极小值
极值点是指x轴上的点
驻点 一阶导数为0的点
驻点不一定是极值点
求极值
求一阶导
求出所有驻点和不可导点
判断所有点两侧符号，符号相反就是极值点
曲率
曲率与曲率半径公式
导数微分
概念
导数定义
导数存在的判断
微分定义
微分和增量的关系
几何意义
运算
可导、连续、微分的关系
反函数求导
反函数二阶导
负的二阶导/一阶导的三次方
高阶导数
找规律
莱布尼兹公式
还没算过，抽时间算一算，掌握方法
隐函数求导
参数方程求导
多元微分
多元函数极限
偏导数
全微分
求导
多元复合函数
隐函数
求导公式
方程组情况下
雅克比式
几何应用
法向量的求法
方向导数和梯度
方向导数和梯度的关系
多元函数的极值及求法
无条件极值
求极值的方法
偏导数不存在的点也应当考虑
条件极值
拉格朗日乘数法
向量代数、空间几何
向量
点乘
叉乘
运算法则
右手规则
混合积
投影
空间几何
平面方程
一般式
点法式
直线方程
一般方程
对称式方程
参数方程
曲面方程
旋转
柱面
二次曲面
曲线方程
距离问题
点到点
点到面
点到线
线到面
面到面
夹角问题
线线
线面
面面
不定积分
连续函数一定有原函数
换元积分
第一类换元
第二类换元
分布积分
有理函数积分
通用方法
有理式除法化简
注意所给式子特点，可能正好能换元秒出结果
平方差公式
重要无比
根号情况
三角函数情况
化成平方常会有神奇事情发生
分部积分得到一个含有自身的式子
部分式子巧妙抵消化无
复杂式子相加 拆开分几部分分别求
先加后减在拆开分别求
倒代换
暴力法
分部积分直接上
三角函数
sin cos 几次方相乘
奇数次用换元积分
偶数次多用cos2x=...的公式变换
sin cos 里面相同 相乘 相加
万能公式（可用在很多地方）
和差化积 积化和差
sin cos 里面不同
积化和差 和差化积
sin cos 一次 二次混合相加
常半角公式化
分母有莫名有1 和sin cos 相加
常用倍角公式
分母莫名有根号二 且有sin cos 相加
常用和差化积积化和差
分子无式子
常用1的妙用
形式简单却求不出来
常用半角公式，在上下同乘同除，化出tan sec
e^x函数
常用此函数本身特点凑微分，再用各种积分公式
有理函数
有理式除法
tan的反三角函数巨常用
带根号函数
根式里有x^2
大部分用三角函数代换
少部分也可用有理式除法化简单
根式里不是x^2的
常把整个式子代换成一个变量
出现不同次的根式
用最小公倍数次的式子代换
平法差公式
定积分
若函数在闭区间上连续，则在闭区间上可积
若在闭区间上有界，且只有有限个间断点，则在闭区间上可积
定积分的近似计算
在极限、级数计算或证明中常用到
定积分范围表示
m(b-a)~M(b-a)
定积分中值定理
反常积分
无穷限
无穷界
很多概念都不懂，抽时间看
三角函数两个公式
区间在现公式
华里士公式
重积分
二重积分
直角坐标
极坐标
面积元素的转换
三重积分
球坐标
体积元素的转换
应用
曲面面积元素的转换
曲线长度元素的转换
物理应用
质心
转动惯量
引力
曲线曲面积分
弧长
格林公式
与全微分的关系
曲线的方向问题
曲面
高斯公式
面的方向问题
难点
斯克托斯公式
对各种积分元素的转换是重中之重，要搞清楚为什么积分元素是这样的
微分方程
一阶
可分离变量
齐次方程
可化为齐次的方程
化齐次方法
一阶线性微分方程
常数变易法
y'+P(x)y=Q(x)
伯努利方程
高阶线性微分方程
齐次和非齐次解的结构
高阶
可降价的高阶微分方程
yn=f(x)
y''=f(x,y')
y''=f(y,y')
常系数齐次线性微分方程
y''+py'+qy=0
特征方程求解
常系数非齐次线性微分方程
y''+py'+qy=f(x)
两种方程
根据特征方程设出解的形式，再代入原方程求特解，在加上齐次的同解，即为非齐次的统解
变系数线性微分方程
欧拉方程
可以把x消去变为常系数微分方程
级数
收敛 发散定义
部分和有极限收敛，否则，发散
收敛级数的性质
乘常数、相加、改删增有限项、加括号不改变敛散性
加括号后所成的级数发散，那么原来级数也发散
级数收敛的必要条件
若级数收敛，则一般项un趋于0
柯西审敛原理
从后边取n项和为0
常数项级数沈敛法
正项级数
充要：部分和有界
比较
与收敛或发散级数比较大小
推论
与收敛或发散级数的常数倍比较
比较法的极限形式
用级数与收敛或发散级数的第n项做比求极限，根据比值来判断
比值（达朗贝尔）
第n+1项与第n项做比，大于1发散，小于1收敛，=1不能判断
根植（柯西判别法）
第n项开n次方，小于1发散，大于1收敛，=1不能判断
极限审敛
第n项与n相乘等于常数或正无穷（不等于0），则发散
第n项与n的p次方相乘为常数，p>1，则收敛
跟比较极限审敛异曲同工
交错级数
莱布尼兹定理
交错、递减、第n项趋于0 则收敛
绝对收敛、条件收敛
若绝对收敛，必定收敛
收敛不一定绝对收敛
幂级数
傅里叶级数
薄弱项
高阶导数，最大最小值
反常积分及审敛方法
