极限与连续

这是一篇关于极限与连续思维导图，包含无穷小的比较、连续函数的运算与初等函数的连续性等。

极限与连续

• 1.6极限存在准则 两个重要极限
  • 夹逼准则
  • 单调有界准则
    • 定义
    • 准则
      • 单调有界数列必有极限
      • 数列单调递减有下界则有极限
      • 数列单调递增有上界则有极限
  • 两个重要极限
• 1.7无穷小的比较
  • 无穷小的等价关系的性质
    • 自反性
    • 对称性
    • 传递性
  • 常见的等价无穷小
  • 等价无穷小替换定理
• 1.8函数的连续性与间断点
  • 函数的连续性
    • 定义
    • 极限值等于函数值则为连续
  • 函数的间断点
    • 定义
    • 第一类间断点
      • 可去间断点
      • 跳跃间断点
    • 第二类间断点
      • 无穷间断点
      • 振荡间断点
• 1.9连续函数的运算与初等函数的连续性
  • 连续函数的四则运算
  • 复合函数的连续性
    • 原函数连续单调，则函数的反函数也连续单调
    • 连续函数的复合函数是连续的
  • 初等函数的连续性
    • 基本初等函数在其定义域内连续
    • 一切初等函数在其定义区间内都是连续的
• 1.10闭区间上连续函数的性质
  • 有界性与最大值最小值定理
    • 最大值最小值定理
    • 有界性定理
  • 零点定理与介值定理
• 1.5极限运算法则
  • 定理1
    • 推论1
    • 推论2
  • 定理2
• 1.4无穷小与无穷大
  • 无穷小
    • 定义
    • 定理
  • 无穷小的运算性质
    • 有限个无穷小的代数和仍是无穷小
    • 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小
    • 常数与无穷小的乘积是无穷小
    • 无限个无穷小之和不一定是无穷小
    • 有限个无穷小的乘积是无穷小
  • 无穷大
    • 定义
  • 无穷大与无穷小的关系
• 1.3函数的极限
  • 自变量趋于无穷大时函数的极限
    • 定义
    • 定理
  • 自变量趋于有限值函数的极限
    • 定义
    • 定理
  • 函数极限的性质
    • 唯一性
    • 局部有界性
    • 局部保号性
    • 函数极限与数列极限的关系
• 1.2数列的极限
  • 收敛数列性质
    • 唯一性
    • 有界性
    • 保号性
    • 收敛数列的任一子数列收敛与同一数列
  • 数列的概念
  • 数列的定义
  • 数列的极限
• 1.1函数
  • 定义
    • 定义域，值域，对应法则
  • 函数的运算
    • 四则运算
    • 反函数
    • 反函数存在定理
  • 函数的性质
    • 有界性
    • 单调性
    • 奇偶性
    • 周期性
      • 周期函数不一定存在最小正周期
  • 初等函数
    • 非初等函数一定是分段函数，但分段函数不一定是非初等函数
  • 映射与满射
• 复合函数的极限运算法则
• 左右极限至少有一个不存在
• 左右极限都存在