导图社区 高数-线性代数思维导图
基于天津大学数学学院线性代数教材，包括线性方程组、行列式、矩阵、向量空间、线性空间、特征值、二次型的概念与例题。
此篇导图是一篇关于医学上随机过程的思维导图，其内容主要包括随机信号通过线性时不变系统，随机信号的联合特征等内容
总结自雅思名师刘洪波、何琼、杜仕明、杨帅视频课程。
整理自b站雅思备考视频，克隆后点击超链接可跳转。
社区模板帮助中心，点此进入>>
英语词性
安全教育的重要性
法理
刑法总则
【华政插班生】文学常识-先秦
【华政插班生】文学常识-秦汉
文学常识：魏晋南北朝
【华政插班生】文学常识-隋唐五代
【华政插班生】文学常识-两宋
民法分论
行列式
线性方程组
同解
2线性方程组有相同个数未知量
解集合相同
二元关系
反身性
自身同解
对称性
相互同解
传递性
A同B，B同C→A同C
秩判断解数
无解
唯一解
无穷多解
m×n齐次线性组
线性方程组求解
增广矩阵
行简化判断
有解，写同解方程组
通解
分类讨论
排列
奇偶排列各半
一次对换改变奇偶性
任一n阶排列可与自然排列对换互变
次数与该排列有相同奇偶性
三角行列式
某行写成2项和，行列式写成2行列式和
范德蒙德行列式
n×n组系数阵A
行列式未知数化简
行列式带未知数多项式
未知数值
代数余子式
克拉默法则
三阶
矩阵吧
方程
上Δ×上Δ=上Δ
矩阵多项式
A和f(A)、f(A)g(A)乘法可交换
拆分
结合律
A低次方是否特殊
矩阵方程
AX=C
左×A逆
XB=C
右×B逆
AXB=C
Y=XB
AY=C
对称
AB同阶实对称阵
AB实对称<=>AB=BA
任意A
实对称
任一n阶方阵可表示为 实对称阵+反对称阵
可逆
AB=BA=E
初等阵
求逆
初等变换
因式分解、等式变换
伴随阵
伴随
取行列式求A行列式
B
二阶
相抵(等价)
m×n
A有限次初等变换成B
反身对称传递
PQ可逆
相抵标准型
矩阵秩
非0子式最高阶
不改变
m阶可逆P,n阶可逆Q
r(PAQ)=r(PA)=r(AQ)=r(A)
分块
转置
转为初等阵左右×
对角分块
A可逆，Ai都可逆
矩阵周边
奇数阶反对称阵行列式0
等式分解
迹
四
相关
列组相关=>列不满秩
等价
两个向量组相互线性表示
无关，则向量数同
极大无关组
无关
可线性表示其他部分组
等价向量组本身
个数=向量组秩
r
任意r个无关向量
初等行变换有相同线性相关性
秩
组1(无关）被组2表示，r(1)≤r(2)
n元向量空间
加法交换、结合、0元、-元、×自元、线性
线性子空间
+法封闭
数×封闭
只有{0}
平凡子空间
欧氏空间
内积
(α,β)=(β,α)
(α+β,γ)=(α,γ)+（β,γ）
(kα,β)=k(α,β)
线性性
(α,α)≥0
(α,α)=0 <=> α=0
正定性
施密特正交化
正交阵
基
维数
dimW=r
基秩
可取任一极大无关组
0空间没
标准基
扩充为高维组的基
引入某ε
行列式≠0
线性无关，dimR4=4
得基
解结构
齐次AX=0
仍为齐次组AX=0解
两解和
解常数倍
基础解系η1~ηt
线性无关
每个解由其表示
mn齐次组系数阵A
r(A)<n
基础解系向量数n-r(A)
非齐次AX=β
β=0
任意2解X1、X2
X1-X2是AX=0解
任意解X0，AX=0解η
X0+η是AX=β
求通解
一个特解
一个基础解系
特征值&特征向量
特征值
特征子空间
特征值 特征向量
特征方程|λEn-A|=0根是特征值
代入(λEn-A)X =0求解空间N(λEn-A)
全部非0向量是特征向量
0是A一个特征值 <=> |A|=0 奇异
特征向量都线性无关
变换
A+B特征值一般不是AB特征值和
有公共特征向量则是
相似
若可逆
相同的秩、迹、行列式、特征值
特征向量一般不同
代数重数
特征方程k重根
几何重数
特征子空间维数
不超过代重
相似对角化
A相似于对角阵
换序相似，不计顺序唯一
相似标准型
n阶方阵A
有n个互异特征值(特征方程无重根) => 可对角化
秩1阵必可对角化
实对称阵 <=> 可正交对角化
正交相似
必可对角化
一定正交相似于实对角
特征值全实数
异特征值对应特征向量正交
实对称阵 正交对角化
实λ及其重数
每个λ基础解系
施密特、单位化
作Q，对角阵对角元排序同特征向量
AB正交相似 <=> AB特征值同
线性变换
线性拆分
投影变换
某维度=0
0变换
单位变换
0得0
数乘变换
-号内外
相关性传递
矩阵
坐标变换
Y=AX
同一线性变换在不同基下矩阵相似，相似矩阵表示同一线性变换
基变换
S:旧基α→新基β过渡阵
唯一
S:1→2, S逆:2→1
S1:1→2, S2:2→3, S1S2:1→3
S:γ在旧基{α}→新基{β}过渡阵
同构
坐标映射
保持线性
保持坐标
保持相关性
秩相同
线性空间
+法交换、结合、0元、-元 ×法1元 线性
0唯一，-唯一
常用基
七
二次型
矩阵秩=二次型秩
X=SY
S满秩
满秩线性替换
Y=S逆X还原
f、g等价
S正交
正交线性替换
合同
可逆对称阵
<=>相抵
秩相等
任一对称阵合同于一对角阵
同阶实对称阵合同 <=> 等秩、正惯性指数 <=> 非0特征值数同、符号同
标准型
一个二次型能否化为标准型<=>对称阵A能否与对角阵合同
X=QY
主轴定理
正交阵Q列向量是相应正交单位向量
主轴
正交单位化得Q
特征值写2次型
子主题
配方法 满秩线性替换
x1的项配方
x2的
没平方构造
规范型
惯性定律
非0项数同、系数正项数同
任一实二次型满秩线性替换为唯一规范型
2个n元实二次型等价 <=> 等秩、正惯性指数
正平方项数p、负平方项数r-p唯一确定
正惯性指数、负惯性指数
二次型等价 <=> 相同
实对称AB合同 <=> 秩相同&相同
实对称A/二次型f正惯性指数 = f规范型系数1平方项数 = f任一标准型正系数方项数 = A正特征值数
符号差2p-r
正定
＜负定
≤半负定
不定
满秩替换不改正定性
与正定阵合同的实对称阵正定
n元二次型正定 <=> 正惯性指数n
特征值＞0
存在可逆S，A=STS
所有顺序主子式＞0
实对称阵A正定 <=>
主对角元＞0
实对称阵
可逆且|A|＞0
实对称阵A正定 =>
