导图社区 人教版初中数学八年级下册:第十六章 二次根式
人教版初中数学八年级下册第十六章《二次根式》知识点梳理,包含①二次根式②二次根式的乘除③二次根式的加减。想要顺利拿下数学,备考复习期间的知识点需要重点把握。后续内容正在缓慢更新中。
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二次根式
概念
一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式
“ ”:二次根号
a:被开方数
①根指数为2
②被开方数为非负数
二次根式有意义的条件
性质
1.当a≥0时,≥0(非负性)
2.当a≥0时,()²=a
3.√a²=lal=
a(a≥0)
-a(a<0)
二次根式 (a≥0)的值是非负数
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式,即
式子√a²与(√a)²的异同点
联系
a≥0时
==a
不同点
意义不同
a的取值范围不同
中a≥0
中a为任意值
运算结果不同
代数式
用基本的运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式
如:2,a,p-q,mn, ,x³,√a 这些式子
①等式、不等式都不是代数式(代数式中不含有“=”、“≠”“>”“<”等)
②单独一个数或一个字母也是代数式(a、-2等)
③代数式中可以有数、字母、基本的运算符号,还可以有括号()
二次根式的乘除
乘法法则
两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变
(a≥0,b≥0)
积的算术平方根
积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积
除法法则
两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变
商的算术平方根的性质
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根
二次根式的分母有理化
在二次根式的运算中,最后结果一般要求分母中不含二次根式。把分母中的根号化去的过程称为分母有理化
方法
分子分母同时乘以有理化因式
有理化因式是指相乘之后使分母变为有理数的因式
单项根式的分母有理化,同乘以分母本身

两项根式的分母有理化,同乘以使分母构成平方差公式的因式
最简二次根式
1.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
2.被开方数中不含字母
3.分母中不含有根号
二次根式的加减
同类二次根式
定义
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式,叫作同类二次根式
先将二次根式化成最简二次根式,再看被开方数是否相同;相同就是二次根式
几个二次根式是否是同类二次根式,只与被开方数及根指数有关,不受其他因素影响判断
合并同类二次根式
合并同类二次根式,只把系数相加减,根指数和被开方数不变
合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似
根号外面的因式就是这个根式的系数
二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式
二次根式的加减实质就是合并同类二次根式
先把各个二次根式化成最简二次根式,再把其中的同类二次根式进行合并
对于没有合并的二次根式,仍要写到结果中
整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用
步骤
①化简
将每个二次根式都化简成为最简二次根式
②判定
判断哪些二次根式是同类二次根式
③合并
同类二次根式系数相加减
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用
①二次根式的混合运算顺序与有理式的运算顺序一样
先乘方,后乘除,最后算加减,有括号要先算括号里面的
②有理式中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用
③二次根式混合运算的结果要写成最简形式
乘法公式的推广
①
②
③