人教版初中数学八年级下学期：第十八章 平行四边形

人教版初中数学八年级下学期第十八章《平行四边形》知识点梳理，包含1.平行四边形（①概念②性质③性质的应用④判定⑤三角形的中位线） 2.特殊的平行四边形（①矩形②菱形③正方形）。想要顺利拿下数学，备考复习期间的知识点需要重点把握。后续内容正在缓慢更新中。

平行四边形

• 平行四边形
  • 定义
    • 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形
    • 表示
      • 平行四边形用符号“▱”表示；平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
      • • 表示一定按顺时针或逆时针依次注明各顶点
    • 基本元素
      • 边
        • 对边
          • 2对
        • 邻边
          • 4对
      • 角
        • 对角
          • 2对
        • 邻角
          • 4对
      • 对角线
        • 2条
  • 性质
    • 边
      • 平行四边形两组对边分别平行且相等
    • 角
      • 平行四边形两组对角分别相等，邻角互补
    • 对角线
      • 平行四边形对角线互相平分
      • • 可以证明线段的相等关系或倍半关系
        • 利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决
    • 对称性
      • 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心
  • 判定
    • 边
      • 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
      • 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
      • 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
    • 角
      • 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
    • 对角线
      • 对角线互相平分的四边形是平行四边形
    • • 这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据
  • 三角形的中位线
    • 定义
      • 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线
    • 中位线与中线
      • 中线是顶点与对边中点的连线
      • 中位线是中点与中点的连线
    • 三角形中位线定理
      • 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
      • 
        • 三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系
        • 三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的1/2，每个小三角形的面积为原三角形面积的1/4
  • 平行四边形面积
    • 平行线间的距离
      • 定义
        • 两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线间的距离
        • 距离是指垂线段的长度，是正值
      • 性质
        • 平行线间的距离处处相等
        • • 任何两平行线间的距离都是存在的、唯一的
          • 都是夹在这两条平行线间最短的线段的长度
          • 两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的
    • 平行四边形面积
      • • 等底等高的平行四边形面积相等
      • 平行四边形对角线分得的四个三角形面积相等，如图
        • 
      • 平行四边形内任意一个分得的四个三角形，其中相对的两组三角形面积之和相等
        • 
• 特殊的平行四边形
  • 矩形
    • 定义
      • 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，矩形也叫长方形
      • • 两个要素
          • ①是平行四边形
          • ②有一个角是直角
        • 矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件
    • 性质
      • 具有平行四边形的一切性质
      • 特殊
        • 角
          • 矩形的四个角都是直角
        • 对角线
          • 矩形的对角线相等
      • 对称性
        • 既是轴对称图形
          • 两条对称轴
            • 每组对边中点的连线
          • 对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）
        • 也是中心对称图形
          • 过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分
      • 推论
        • 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
        • • 性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用
    • 判定
      • 角
        • 有一个角是直角的平行四边形是矩形
        • 三个角是直角的四边形是矩形
      • 对角线
        • 对角线相等的平行四边形是矩形
      • • 在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形
    • 面积
  • 菱形
    • 定义
      • 有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形
      • • 两个要素
          • ①是平行四边形
          • ②有一组邻边相等
        • 菱形是一个平行四边形，然后增加一组邻边相等这个特殊条件
    • 性质
      • 具有平行四边形的一切性质
      • 特殊
        • 边
          • 菱形的四条边都相等
        • 对角线
          • 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
      • 对称性
        • 既是轴对称图形
          • 两条对称轴
            • 对角线所在直线
        • 也是中心对称图形
          • 对称轴的交点就是对称中心
    • 判定
      • 边
        • 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
        • 四边相等的四边形是菱形
      • 对角线
        • 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
    • 面积
      • • 菱形的面积等于它的对角线之积的一半
          • 四个小直角三角形面积之和
          • 一个小直角三角形面积的4倍
        • 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半
  • 正方形
    • 定义
      • 四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形
        • 既是矩形，又是菱形
    • 性质
      • 正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是有一组邻边相等的特殊的矩形，也是有一个角是直角的特殊的菱形。它具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质
      • 边
        • 四边相等
        • 邻边垂直
        • 对边平行
      • 角
        • 四个角都是直角
      • 对角线
        • 相等
        • 互相垂直平分
        • 每条对角线平分一组对角
      • 对称性
        • 既是轴对称图形
          • 有4条对称轴
        • 也是中心对称图形
          • 两条对角线的交点是对称中心
    • 判定
      • 思路
        • 先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直（即菱形）
        • 先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等（即矩形）
      • 方法
        • 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫作正方形
        • 有一组邻边相等的矩形
        • 有一个角是直角的菱形
    • 面积
  • 关系
    • 
    • 
  • 顺次连接（特殊）平行四边形各边中点得到的四边形的形状
    • 顺次连接平行四边形各边中点得到的四边形是平行四边形
    • 顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
    • 顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形
    • 顺次连接正方形各边中点得到的四边形是正方形
    • • 新四边形由原四边形各边中点顺次连接而成
      • 若原四边形的对角线互相垂直，则新四边形是矩形
      • 若原四边形的对角线相等，则新四边形是菱形
      • 若原四边形的对角线垂直且相等，则新四边形是正方形