三、离散傅里叶变换及其快速计算方法

数字信号处理第三章的内容，讲述了离散傅里叶的快速计算等内容。

离散傅里叶变换及其快速计算方法

• DFS及其性质
  • DFS的定义
    •  
  • DFS的性质
    • 线性
      • 
    • 周期位移
      • 
    • 共轭对称
      • 复序列
        • 
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        • 
      • 实序列
        • 
        • 
        • Re[X(k)]为偶函数
        • Im[X(k)]为奇函数
        • arg[X(k)]为奇函数
    • 周期卷积
      •  ---------------------------- 
  • 几点说明
    • 在什么条件下不产生混迭失真
      • 
      • 必须是时间限制（有限时宽）
      • 取样频率间隔小于 2Π/N
    • 频率分量
      • w=TΩ w:数字角频率 T:采样间隔 Ω:周期角频率
      • 
      • 频率成份
        • 直流分量
          • k=0时，此时得到的傅里叶级数的系数 称为信号的直流分量 X(0)/N是信号的平均值
        • 交流分量
          • 其它频率（k>0）称为周期信号的谐波，此时的傅里叶级数系数称为信号的交流分量。 k=1 时的频率为信号的一次谐波，或基频，频率大小为 fs /N，时间为 NT1 ，等于完成一个周期所需要的时间。其它谐波为基频的整数倍。
• DFT及其性质
  • DFT的定义
    • 
  • DFT同Z变换和DTFT间的关系
    • 取样Z变换
      • X(k)=X(z)|z=（WN^-k) z=e^jw
    • 变换域内插
      •  
  • DFT的性质
    • 线性
      • 
    • 反转定理
      • DFT[x((-n))N]=X((-k))N
    • 序列的循环位移
      •  
    • 对称性
      • 
      • 
      • 
      • 
    • 循环卷积
      • N-1 y(n)=Σx(m)h((n-m))N=x和h的循环卷积 m=0 时域卷积对应频域乘积
    • 帕塞瓦尔定理
      • |x(n)|^2求和 等于 |X(k)|^2在0-(N-1)上求和再乘1/T
• DFT变换的应用
  • 线性卷积求解
    •  循环卷积的点数如果小于线性卷积的长度，则循环卷积的错误数为长度之差。
    • 计算次数
      • 循环卷积
        • 
      • 线性卷积
        • 
  • 线性卷积的逐段计算方法
    • 重叠相加法
      • 每一段序列x1(n)的长度为N，h(n)的长度为M，所以重叠长度为M-1<使用线性卷积>
    • 重叠保留法
      • 将序列x(n)分段(在前面补上M-1个0)，相邻两段存在M-1点重叠，算出后将前面M-1个点去掉相加<注意：使用的是N点循环卷积>
  • 信号的频谱分析
• 提高效率
  • 实数序列的FFT
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  • 用 N 点变换计算 2N 点实序列的变换
    •  实序列h(n),g(n)的DFT H(k),G(k)可利用前面所说的 方法作一次N点复序列的FFT同时得到，然后再按上 式组合便得到了2N点实序列x(n)的DFT。
• IFFT
  • DIT-IFFT
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  • DIF-IFFT
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• FFT
  • 时间抽选法 DIT
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  • 频率抽选法 DIF
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• 问题的提出
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  • 如果以hz为单位，则公式为fs/N
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