导图社区 运筹学
运筹学的基本知识点由线性规划、整数线性规划、非线性规划、动态规划、图与网络分析、网络计划技术、排队论、决策分析和对策论等几个知识点构成。
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运筹学
第一章：线性规划基础
1.1 线性规划及其数学模型
1.1.1 数学模型的事理含义
（1）数学模型的三要素
①有一组待确定的决策变量
②有一个明确目标要求（Max或Min）
③存在一组约束要求
（2）数学模型中系数的含义
①目标函数中决策变量的系数Cj，称为价值系数
②约束条件左边决策变量前的系数aij，称为约束条件系数
③约束条件右边常数bi，称为限制常数
示例
1.1.2 数学模型解的名称
（1）可行解：凡满足所有约束条件的所有解。
（2）可行解域：所有可行解的集合，上图阴影部分。
（3）最优解：满足目标函数的可行解。
（4）基本解：所有约束条件直线的交点对应的解，即上图所有的实心点和空心点对应的解。
（5）基本可行解：位于可行解域边界上约束条件直线的交点对应的解，即上图所有的实心点对应的解，它满足两个条件：
① 它是约束条件直线的交点对应的解。
② 它是可行解，即满足所有的约束条件，在可行解域内。
1.1.3 数学模型的一般形式
1.1.4 线性规划问题求解过程
第一步：【建模】将实际问题转化为数学模型
第二步：【求解】
① 图解法
② 单纯形法
第三步：【转换】将数学模型的最优解转化为原问题的最优方案
1.2 线性规划问题建模
1.2.1 资源合理利用问题
1.2.2 合理下料问题
1.2.3 运输问题
1.2.4 人员分派问题
1.2.5 投资方案选择问题
1.3 线性规划图解法及其几何意义
1.3.1 求解步骤
1.3.2 几何意义
1.闭合的可行解域是凸多边形（凸集）
2.可行解域有有限个顶点：对应的解为基本可行解
3.最优点若唯一存在，则必在其可行解域的某一顶点上得到
1.3.3 特殊的几何模型
1.有无穷多个最优解（或称多重解）的数学模型
2.解无界：可行解域无界，目标值无限增大
3.无可行解域：约束条件相互矛盾
1.4 线性规划单纯形法
1.4.1 单纯形法基本原理
从可行解域的一个初始顶点（初始基本可行解）出发，沿可行解域的边缘逐个验算遇到的顶点（基本可行解），直到找到最优点（最优解）为止。
1.4.2 线性规划数学模型的标准型
①【具有等式约束方程组】
一般引入松弛变量将不等式化为等式约束
②【约束方程右边常数非负】
否则可在两边同时出乘以（-1）使得约束条件方程右边常数变为非负
③【变量非负】
若Xk为无约束变量（即可正可负），则令Xk=Xk'-Xk''，其中Xk'，Xk''≥0
④【目标函数为Max型】
对于Min型，化为Max型
1.4.3 线性规划数学模型的规范形
①【具有标准型】
②【约束方程组系数矩阵中含有至少一个单位 子矩阵(对应的变量叫基变量)】
③【目标函数中不含基变量】
1.4.4 最优解寻求步骤
第一步：【确定初始基本可行解X(1)】
利用规范型数模，令非基变量 x1 、x2 = 0，求出基变量x3 、 x4 、 x5。 得初始基本可行解为：
第二步：【判断X(1)是否最优】
检查用非基变量表达的目标函数中非基变量前的系数(叫检验数)。
？
第三步：【确定改进的非基变量及其上界】
第四步：【确定新解X(2)】
第五步：【判断X(2)是否最优】
第六步：【确定改进的非基变量及其上界】
选择使目标Z值改变得最快的非基变量优先改进
第七步：【确定新解X(3)】
第八步：【判断X(3)是否最优】
1.4.5 单纯形表
1.特殊情况
（1）【若最大检验数有两个或两个以上并且相等，应如何确定入基变量】
理论上可以任选一个非基变量入基
待补充
（2）【若最小比值有两个或者两个以上并且相等，应如何确定出基变量】
（3）【原问题无解的判断】
入基列元素全部非正
1.5 单纯形的经济信息
1.5.1 最优决策变量的解
1.5.2 松弛变量的解
1.5.3 产品的相关价值系数
1.5.4资源的影子（潜在）价格
1.6 单纯形理论分析
1.6.1 数模的标准型
1.6.2 数模的规范型
1.6.3 确定入基的非基变量
1.6.4 确定出基的基变量
1.6.5确定主元素并进行旋转运算
1.7 单纯形法进一步讨论
1.7.1 线性规划数模的基本类型
1.7.2 两阶段法
1.7.3 大M法
第二章：线性规划专题
2.1 对偶规划
2.1.1 对偶问题的引出
①原问题目标函数为Max型
对偶问题目标函数为Min型
2.1.2 对偶问题间的关系
2.1.3 对偶规划的性质及应用
（1）可逆性
对偶问题的对偶是原问题
（2）弱对偶性
（3）无界性
（4）可行解是最优解的性质
（5）对偶定理【在互为对偶的两个问题中】
①若一个问题有最优解，则另一个问题必有最优解，且它们的最优目标值相等(Z*= D*)
②一个问题的影子价格是另一个问题的最优解
（6）互补松弛定理
①若一个问题的某个变量取正数，则另一个问题相应的s.t.必取 “= ” 式。
②若一个问题的某个s.t.取不等式，则另一个问题相应的变量为0
（7）互为对偶两个问题的单纯性表的关系
待补充： 1.什么是影子价格 2.什么是弱对偶性 3.互为对偶两个问题的单纯性表的关系
2.2 对偶单纯形法
（1）正则解
（2）对偶单纯形基本原理
（3）对偶单纯形法求解步骤
2.3 灵敏度分析
2.3.1 单纯性表的矩阵及各表的运算关系
2.3.2 限制常数b发生变化对原最优解的影响
2.3.3 价值系数C发生变化对原最优解的影响
2.3.4 约束条件系数A发生变化对原最优解的影响
2.3.5 增加新变量对原最优解的影响
2.3.6 增加新约束条件对原最优解的影响
2.4 运输问题与表上作业法
2.4.1 产销平和的运输问题
第一步：列出产售平衡表
第二步：给出初始调运方案(相当于单纯形法的初始基本可行解)
（1）西北角法
（2）最小元素法
第三步：判断当前调运方案是否最优。
若表上所有空格的检验数ij均为非负，则当前调运方案最优。 否则，当前调运方案非最优， 须调整改进
（1）用闭回路法求ij：
（2）用位势法求ij：
第四步：对当前方案调整改进。选负检验数中绝对值最大的空格入基，并作闭回路，确定出基变量和调整量，沿闭回路调整运输量，得新可行方案。
第五步：重复以上步骤，直至所有空格检验数ij ≥ 0 为止，得最优方案。
2.4.2 产销不平衡的数学问题
1. 产大于销问题
2. 销大于产问题
2.5 目标规划
2.5.1 目标规划的数学模型
2.5.2 目标规划的图解法
2.5.3 目标规划的单纯形法
第三章：整数规划
3.1 整数规划的特点
3.1.1 可行解域为离散点集
3.1.2 不能用舍入取整法
3.1.3 目标函数值的优劣
3.2 分支界定法
3.2.1 求解步骤
（1）先不考虑原问题的整数约束，求解相应的松弛问题。
（2）若求得的最优解刚好就是整数解，则该整数解就是原整数规划问题的最优解，否则，对原问题进行分支寻求整数最优解。
（3）【分支】
（4）【定界】
（5）【比较与剪支】
3.3 割平面法
3.3.1 求解步骤
第一步：先不考虑整数约束，变成一般的L.P.问题，用单纯形法求其最优解
第二步：若求得的最优解刚好就是整数解，则该整数解就是原整数规划的最优解； 否则，转下步
第三步：寻求附加约束，即割平面方程
① 从最优化表中抄下非整数解的约束方程；
② 将该约束方程所有系数和常数分解为整数和正真分数之和；
③ 整系数项归写于方程左边，真分数项写于右边；
④ 利用整数约束条件求出割平面方程。
第四步：将割平面方程标准规范化加到原最优化表中，用对偶单纯形法求新的最优解
第五步：重复第三、四步直至获得原问题最优整数解为止
3.4 0-1规划与隐枚举法
3.4.1 0-1规划求解步骤
子主题
3.4.2 隐枚举法求解步骤
第一步：变换目标函数和约束方程组
第二步：用目标函数值探索法求最优解
3.5 分派问题与匈牙利法
3.5.1 分派问题
概念：是一类特殊 0 - 1 规划问题：把n项工作分派给n个人去做，既发挥各人特长又使总效率最高。
（1）分派问题的标准型：用画圈法
① 原理：找出一组位于不同行不同列的零元素，画圈，对应的xij=1；未画圈的元素，对应的xij=0此时目标函数最优。
【第一步】变换系数矩阵：使其每行每列都出现0元素。
【第二步】从只有一个0元素的行(列)开始，给这个0元素加圈，记作◎。这表示对这行所代表的人，只有一种任务可分派。然后划去◎所在列(行)的其他0元素，记作ф。这表示这列所代表的任务已分派完，不必再考虑别人了。给只有一个0元素列(行)的0元素加圈，记作◎；然后划去◎所在行的0元素，记作ф。若每行每列均只有一个◎时(对应的Xij=1，其余的Xij=0), 得最优解。否则，转下一步。
【第三步】若◎的个数少于方阵阶数时
（2）非标准型分派问题：化为标准型分派问题
第四章：动态规划
4.1 多阶段决策问题
4.2 动态规划基本概念
4.3 最优化原理
4.4 最短路线问题
4.5 资源分配问题
4.6 背包问题
4.7 仓库存贮问题
4.8 生产与存贮问题
第五章：图与网络分析
5.1 图的基本概念
5.2 树
5.3 最短路径问题
5.4 网络最大流问题
5.5 最小费用最大流问题
5.6网络计划技术
第六章：存储论
6.1 库存控制系统
6.2 确定性存贮模型
6.3 确定性存贮模型的讨论
6.4 随机性存贮模型
第七章：排队论
7.1 排队系统基本概念
7.2 M/M/1/∞/∞/FCFS单服务台排队模型
7.3 M/M/1/N/∞/FCFS单服务台排队模型
7.4 M/M/1/∞/m/FCFS单服务台排队模型
7.5 M/M/c/∞/∞/FCFS单服务台排队模型
第八章：决策论
8.1 决策论基本概念
8.2 不确定型决策
8.3 风险型决策
8.4 效用理论在决策中的应用
8.5 序列决策与决策树
8.6 应用举例
第九章：对策论
9.1 对策论基本概念
9.2 有鞍点二人有限零和对策
9.3 无鞍点二人有限零和对策
（1）求解步骤
浮动主题
