导数

你还在为高数苦恼吗？高数第二章导数的学习笔记思维导图来啦！包含导数的概念、导数的运算、复合函数的导数、函数单调性、函数极值和最值以及生活中的实际应用等内容。收藏起来一起好好学习哦！

导数及其应用

• 变化率
  • △x≠0
  • 平均变化率的几何意义
• 导数
  • 定义
  • 注意
    • △x≠0
    • 求函数y=f（x）在x₀处的导数的步骤：一差二比三极限
    • 函数f（x）在x₀处可导是指△x→0时△y/△x存在极限，如果△y/△x不存在极限，就是说函数f（x）在点x₀处不可导
    • 函数在某一点处的导数f'（x₀）是一个常数，不是变量
    • 瞬时速度是位移关于时间的瞬时变化率，因而瞬时速度就是位移关于时间的导数，瞬时加速度就是速度关于时间的瞬时变化率，因而瞬时加速度就是速度关于时间的导数
    • 解题
      • 解题时可以由已知条件建立关于参数的方程，然后解方程求得参数值
      • 由图像求出解析式，然后由导数的定义继续算
      • 求切线方程的步骤 （1）求出函数y=f（x）在x=x₀处的导数f′（x₀） （2）根据直线的点斜式方程，得切线方程为y-f（x₀）=f′（x₀） （x-x₀）
      • 以直代曲
      • ★“过某点”和“在某点处”的切线是不同的，过某点的切线，此点不一定是切点，在某点处的切线才表明此点是切点
      • 求切点坐标 （1）设切点坐标 （2）求导函数f′（x） （3）求切线斜率 （4）列出关于x₀的方程，求解 （5）将x₀代入y₀，得切点坐标
• 导数的计算
  • 常用函数的导数
  • 导数的四则运算
  • 注意：不能忽略原函数的定义域，定义域应放在首位
• 导数在函数中的应用
  • 单调性
    • 应用
    • 子主题
    • 导数看正负，函数看增减
    • 如果某个区间内恒有f′（x）=0,则f（x）等于常数
    • 利用导数讨论函数的单调性或求单调区间时， 首先要确定函数的定义域，即单调区间一定是定义域的子区间
    • ★当一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个时，这些 单调区间不能用U连接，可用“，”或者“和”连接
  • 极值
    • 极值是一个局部概念，是仅对函数某一点的左右两侧一个小的范围而言 一个函数在其定义域内可以有多个极小值和极大值，在某一点的极小值 也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值极小值没有必然的大小 关系
    • 可导函数的极值点是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点
    • 单调函数没有极值
  • 最大值最小值
    • 函数的最值必定在极值点或区间端点取得
    • 最大值最小值只能有一个
    • 常数函数既无极大值也无极小值
• 定积分
  • 连续函数
  • 曲边梯形
  • 概念
  • 定义
  • 几何意义
• 微积分
  • 基本定理
• 1:证明不等式 2:求参数的值