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高等数学
汤家凤2022高等数学基础课。此为大学“高等数学”思维导图，全面地概括了高等数学的知识要点，可供高数考试复习所用，更可以在考研过程中查漏补缺。此高数思维导图囊括了几乎高数的所有知识要点，重在让读者能对高数知识有结构性的掌握，能够灵活运用各知识点，希望它对你的学习生活有帮助。
编辑于2021-05-10 21:50:10- 汤家凤
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高等数学
第一章 极限与连续
概念
函数
性质
有界性
单调性
奇偶性
周期性
特殊函数
符号函数
迪利克雷函数
取整函数
极限
性质
唯一性
保号性
有界性
子列
存在准则
夹逼定理
单调有界
无穷小
性质
有限加减乘
有界函数*无穷小=无穷小
常用等价无穷小+
三角函数与反三角函数
指数函数与对数函数
幂函数
连续与间断
连续
间断点
可去间断点
跳跃间断点
第二类间断点
闭区间连续函数的性质
最值定理
有界定理
零点定理
介值定理
做题技巧
不定型极限
基本不定型
0/0
等价无穷小
洛必达法则
麦克劳林公式
差分法
1^∞
凑(1+0)^∞=e...
其他不定型
∞/∞
等价无穷小
洛必达法则
麦克劳林公式
差分法
0*∞
化为0/(1/∞)或∞/(1/0)
∞-∞
通分
平方差公式
倒数换元
分子有理化
0^∞
e^ln(...)
0^0
e^ln(...)
n项和或积的极限计算
简单式子直接计算后再算极限
分母或分子一个次数不齐时用夹逼定理
分子分母都齐次且分母次数=分子次数+1时用定积分定义
n项积 a1*a2*a3.. .可化为 e^ln(a1*a2*a3...)=e^(lna1+lna2+lna3...)
极限存在性
单调有界
闭区间连续函数性质问题
开区间 --> 零点定理
闭区间/函数值相加 --> 介值定理
中值定理求极限
一般含有明显与n和n+1相关的式子/有取整函数时考虑用中值定理
第二章 导数与微分
概念
导数
两种等价表示
左导数与右导数
连续、可导、可微
求导基本公式+
常数/幂函数
指数函数/对数函数
三角函数/反三角函数
求导四则运算
加减法
乘法
除法
复合函数求导
链式法则
反函数求导
隐函数求导
参数方程求导
极坐标方程求导
化为参数方程
做题技巧
概念题
保两侧 左右导数存在且相等
不能跨 分子上得有一个定量f(a)
阶相同 上下两个增量是同阶无穷小
高阶导数+
u+v
uv
sinx与cosx
1/(ax+b)
第三章 一元函数微分学的应用
概念
极值点
极值点概念与求法
极值点是x=a+
中值定理
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
泰勒中值定理 即泰勒展开
麦克劳林公式+
单调性与极值
单调性判别法 --> f'
极值判别法
第一充分条件 邻域判断
左邻域f'>0且右邻域f'<0 --> 极大值
左邻域f'<0且右邻域f'>0 --> 极小值
第二充分条件 二阶导数判断
f''>0 --> 极小值
f''<0 --> 极大值
泰勒公式判断
凹凸性与拐点
凹凸性判别+
f''>0 --> 凹函数
f''<0 --> 凸函数
拐点
f''=0 且 f'''!=0
拐点是(x, y)+
渐近线
水平渐近线
x->∞
铅直渐近线
无穷间断点
斜渐近线
y/x->a(x->∞)&(y-ax)->b(x->∞)
弧微分+
ds2=dx2+dy2
显函数
参数方程
极坐标方程
曲率与曲率半径+
曲率公式
曲率半径 R=1/k
做题技巧
证明高阶导数=0
凑微问题
待证结论只有一个中值 构造辅助函数
还原法 --> 构造f/f' 一般导数差一阶
分组构造法 --> 一般导数差两阶
凑微法 --> 就硬凑
待证结论中有一个中值和a, b
a, b与中值可分离
分离变量后构造使用中值定理
不分离变量直接构造再用中值定理
a, b与中值无法分离
直接构造
待证结论中有两个中值
只含最简单的f'(切塔)与f'(伊塔)
找三个点后用中值定理
切塔 与 伊塔 复杂度不同
分离变量先处理复杂的
两者完全对等
构造其中一个后使用两次中值定理
拉格朗日中值定理中的惯性思维
出现两个点相减
出现三个点或三个导数
出现原函数与导函数间的关系
不等式证明
中值定理
单调性
凹凸性
最值
函数零点或方程的根问题
开区间+f(a)f(b)<0 --> 零点定理
原函数F(a)=F(b) --> 罗尔定理
单调性方法
分离变量法
直接构造法
第四章 不定积分
概念
基本性质
加减可拆
常数可提
不定积分基本公式+
幂函数
一般幂函数
1/x
指数函数
三角函数
普通三角函数
特殊
平方和差
做题技巧
不定积分积分法+
凑微分法
第二类换元法
无理函数换元 并非全部情况
平方和差 --> 三角换元
倒数换元
分部积分法
幂函数*指数函数
对数函数*幂函数
幂函数*三角函数
反三角函数*幂函数
指数函数*三角函数
secx与cscx的奇数次方
有理函数积分法
真分式
分母=0有多解 --> 拆成部分和
分母为正好次方 --> 直接ln(u)
分母=0无解 --> 凑arctan(u)与ln(u)
假分式
拆成幂函数+真分式
三角有理函数积分法
出现1+cos(x) --> 半角公式
出现sin(x)^2与cos(x)^2与C时 --> 同除cos(x)^2
分式 --> 组合凑微 分子=A(分母)+B(分母)'
先统一角度
出现sin(x)^2与cos(x)^2与sin(2x)时 --> (sin(x)^2)'=sin(2x) (cos(x)^2)'=-sin(2x)
第五章 定积分
概念
定义
活用区间[0,1]定积分定义 极限求法
基本性质
基本性质
同区间加减可拆
同区间常数可提
线性组合的定积分=定积分的线性组合
区间可拆
大小关系
f(x)>=0时 f(x)定积分>=0
f(x)>=g(x)时 f(x)定积分>=g(x)定积分
|定积分f(x)| <= 定积分|f(x)|
积分中值定理 (闭区间)
推广性质
积分中值定理推广 (开区间)
积分第一中值定理
g(x)>=0时 定积分(f(x)*g(x))=f(切塔)*定积分g(x)
大小关系
f(x)>=0 且 定积分f(x)=0时 f(x)=0恒成立
柯西中值定理
(定积分(f(x)*g(x)))^2<=定积分(f(x)^2)*定积分(g(x)^2)
基本理论
积分基本定理
上限积分函数求导为本身 (注意复合函数)
牛莱公式
特殊性质+
对称区间
一般
定积分{-a,a}f(x)=定积分{0,a}[f(x)+f(-x)]
奇函数
对称区间定积分为0
偶函数
对称区间定积分为2倍一半区间
三角函数
定积分{0,pi/2}f(sinx)=定积分{0,pi/2}f(cosx)
定积分{0,pi/2}(sinx)^n=定积分{0,pi/2}(cosx)^n=I(n)
I(n)=((n-1)/n)*I(n-2)
I(1)=1
I(0)=pi/2
定积分{0,pi}f(sinx)=2*定积分{0,pi/2}f(sinx) sinx可换为|cosx|
定积分{0,pi}(x*f(sinx))=(pi/2)*定积分{0,pi}f(sinx)=pi*定积分{0,pi/2}f(sinx)
定积分{0,2*pi}f(|sinx|)=4*定积分{0,pi/2}f(sinx) sinx可换为cosx
周期函数
周期函数平移性质
n倍周期上的积分=n*一个周期上的积分
圆积分
画圆求解
幂函数积分
定积分{a,b}(x-(a+b)/2)^n=0 (n为奇数)或=2*定积分{0,(a+b)/2}(x-(a+b)/2)^n
积分法
换元积分法
分部积分法
广义积分
敛散性概念
区间无限
有限到正无穷
负无穷到有限
区间有限
左端为无穷间断点
右端为无穷间断点
敛散性判别法+
区间无限
正无穷 --> (x^α)*f(x)在正无穷的极限k
k存在且α>1 收敛
(k>0或k=+∞)且α<=1 发散
负无穷 --> (x^α)*f(x)在负无穷的极限k
k存在且α>1 收敛
(k!=0或k=∞)且α<=1 发散
区间有限
左端点 --> ((x-a)^α)*f(x)在a+的极限k
k存在且α<1 收敛
(k>0或k=+∞)且α>=1 发散
右端点 --> ((b-x)^α)*f(x)在b-的极限k
k存在且α<1 收敛
(k>0或k=+∞)且α>=1 发散
大小关系判别法
f(x)<=g(x) --> 定积分g(x)收敛定积分f(x)就收敛
f(x)>=g(x) --> 定积分g(x)发散定积分f(x)就发散
绝对值函数
定积分{a,+∞}|f(x)|收敛则定积分{a,+∞}f(x)收敛 反之不一定
一个特殊广义积分函数+
Γ(α)=定积分{0,+∞}((x^(α-1))*(e^(-x)))
性质
Γ(α+1)=α*Γ(α)
Γ(n+1)=n!
Γ(1/2)=sqrt(pi)
定积分的应用（微元法）
几何应用
旋转体表面积 注意用弧微分
旋转体体积
曲线长度 注意用弧微分
特殊曲线
圆
摆线
心形线
双纽线
星形线
物理应用
做题技巧
定积分概念与性质问题
变积分限函数问题
注意换元方法
定积分的计算
一般不上来就用牛莱公式
换元法
无理换元
三角换元
变换积分限
三角函数尽量变换到{0,pi/2}上
一般都想办法变换到对称区间上
利用三角公式构造n*定积分=常数
分部积分
定积分的证明
连续函数
基本性质+特殊性质
变换积分区间法
一项含定积分一项不含
将不含定积分的式子构造为定积分
将含积分项用积分中值定理去掉积分
含绝对值
定积分的绝对值<=绝对值函数的定积分
含a,b,切塔
凑微法构造辅助函数
连续且单调
相减构造辅助函数
其他辅助函数构造法
f(x)单增 --> (x-y)*(f(x)-f(y))>=0
f(x)单减 --> (x-y)*(f(x)-f(y))<=0
变换积分区间法
中值定理法
周期函数
周期函数性质
连续可导
定积分内不含f'(x) --> 拉格朗日中值定理
定积分内含f'(x) --> 牛莱公式
(1/积分区间长度)*定积分 --> 积分中值定理
高阶可导
泰勒公式
对原函数F(x)使用泰勒展开
结论中出现f(切塔)高阶导数且符合拉格朗日余项格式
结论中切塔属于开区间
x0的选取原则与微分相同
第六章 多元函数微分学
基本概念
多元函数的极限
ρ->0
多元函数的连续
偏导数
高阶偏导数
全微
方向导数
梯度
基本理论
有界闭区域连续函数的性质
最值定理
有界定理
介值定理
连续、可偏导、可微的关系
可微一定可偏导且连续
两个偏导数都连续一定可微
有二阶偏导数连续一定有f''xy(x,y)=f''yx(x,y)
求偏导的类型
显函数
复合函数
隐函数
1 找到变量个数
2 找有几条约束条件 约束条件数等于因变量个数
3 剩下的数是自变量个数
变换求偏导
应用
极值
无条件极值
1 求定义域
2 两个偏导=0求驻点
3 判别法
1 A=f''xx B=f''xy C=f''yy
2 判断AC-B^2大小
AC-B^2>0时是极值点
A>0为极小值
A<0为极大值
AC-B^2<0时不是极值点
条件极值
拉格朗日数乘法
1 令F=f(x,y)+λg(x,y)
2 求F'x=0 F'y=0 F'λ=0 判断极值
解法一 根据F'x与F'y消掉λ直接解出(x,y)
解法二 根据F'x与F'y解出x=h(λ) y=t(λ)进而解出λ从而解出(x,y)
转化为一元函数
参数方程法
方向导数
二维空间方向导数=x偏导*cosα+y偏导*cosβ cosα cosβ称为方向余弦
三位空间方向导数=x偏导*cosα+y偏导*cosβ+z偏导*cosγ cosα cosβ cosγ称为方向余弦
梯度
函数在某一点增长速度最快的方向
grad(u)={u'x, u'y, u'z} {a,b,c}表示向量
几何应用
空间曲面的切平面与法线 空间曲面F(x,y,z)=0
法向量 {F'x,F'y,F'z}
法线 (x-x0)/F'x=(y-y0)/F'y=(z-z0)/F'z
切平面 F'x*(x-x0)+F'y*(y-y0)+F'z*(z-z0)=0
空间曲线的切线与法平面 空间曲线x=x(t) y=y(t) z=z(t)
切向量 {x',y',z'}
切线 (x-x0)/x'=(y-y0)y'/=(z-z0)/z'
法平面 x'*(x-x0)+y'*(y-y0)+z'*(z-z0)=0
空间曲线切向量 空间曲线F(x,y,z)=0 G(x,y,z)=0
切向量 ({F'x,F'y,F'z}×{G'x,G'y,G'z})
第七章 微分方程
微分方程基本概念
微分方程
微分方程的阶数
微分方程的解
一阶微分方程的种类与解法+
可分离变量的微分方程
定义
dy/dx=f(x,y) f(x,y)=g(x)*g(y)
解法
分离变量并两边积分
齐次微分方程
定义
dy/dx=f(x,y) f(x,y)=g(y/x)
解法
令u=y/x则dy/dx=u+x*(du/dx)带入原方程变为可分离变量形式
一阶齐次线性微分方程
定义
dy/dx+P(x)*y=0
公式
一阶非齐次线性微分方程
定义
dy/dx+P(x)*y=Q(x)
公式
伯努利方程
定义
dx/dy+P(x)*y=Q(x)*y^n
解法
令z=y^(1-n)化为一阶非齐次线性方程
全微分方程
定义
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0且P对x偏导=Q对y偏导
解法
u(x,y)+C 其中u(x,y)=定积分(Pdx+Qdy)
可降阶的高阶微分方程+
y'''...=f(x)型
多次不定积分
f(x,y',y'')=0型 即缺y型
令p=y'则y''=dp/dx后按一阶方法求解
f(y,y',y'')=0型 即缺x型
令p=y'则y''=dp/dx=y'*dp/dy=p*dp/dy后按一阶方法求解
高阶微分方程+
高阶线性微分方程
基本概念
n阶齐次线性方程
y''+py'+qy=0
n阶非齐次线性方程
y''+py'+qy=f(x) 对右侧可拆为多个方程
解的结构与性质
齐次解的线性组合仍是齐次解
齐次解+非齐次解=非齐次解
非齐次解1-非齐次解2=齐次解
拆后1非齐次解+拆后2非齐次解=非齐次解
非齐次解组线性组合仍为非齐次解的充要条件为线性系数和=1
非齐次解组线性组合为齐次解的充要条件为线性系数和=0
齐次解组线性无关时线性组合为齐次通解
非齐次通解=齐次通解+非齐次特解
高阶常系数线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程解法
特征方程法 特征方程的解为λ1,λ2
实解 λ1!=λ2
实解 λ1=λ2
λ1,λ2=α+βi
三阶特征方程 特征方程解为λ1,λ2,λ3
实解 λ1!=λ2!=λ3
实解 λ1=λ2!=λ3
实解 λ1=λ2=λ3
实解+2虚解 λ1 λ2,λ3=α+βi
二阶常系数非齐次线性微分方程解法
f(x)=Pn(x)*e^(kx)
k不是特征方程的解
k是特征方程的一个解
k是特征方程的两个相同解
f(x)=e^(αx)*[Pl(x)*cos(βx)+Ps(x)*sin(βx)]
α+βi不是特征值
α+βi是特征值
欧拉方程
定义
(x的n次幂*y的n阶导)的和=f(x) 最高阶次系数化为1
解法
令x=e^t 则x*y'=Dy (x^2)*y''=D(D-1)y等等 化为高阶常系数线性微分方程
第八章 重积分
二重积分
定义
活用单位正方形定积分 极限求法
性质
同去间加减可拆
常数可提
线性组合的二重积分=二重积分的线性组合
去间可拆
1的二重积分为积分区域的面积
大小关系
二重积分中值定理
对称性质
区域关于y轴对称 即关于变量x对称
关于x为奇函数
0
关于x为偶函数
二倍半区间
区域关于x轴对称 即关于变量y对称
关于y为基函数
0
关于y为偶函数
二倍半区间
计算方法
直角坐标法
X区域
Y区域
改变积分次序
(x^2n)*e^k(x^2)
e^(k/x)
sin(k/x)或cos(k/x)
极坐标法 一般含(x^2+y^2)在函数或积分区域内
1 x=r*cosθ y=r*sinθ
2 二重积分=定积分dθ*定积分f(x,y)*r*dr
一般步骤
1 作图
2 找范围
3 拆二重积分为定积分
应用
几何应用
平面区域面积
曲顶柱体体积
空间曲面面积 注意用表面微分 类似弧微分
物理应用
质心坐标
转动惯量
三重积分
性质
线性组合的三重积分=三重积分的线性组合
1的三重积分为区域的体积
三重积分中值定理
对称性质
计算方法
直角坐标法
切片法
1 画图
2 找到z的取值范围 常范围 即z属于[c,d]
3 任取一个z值 把z看作常数 找到x,y关于z的活动范围Dz
4 三重积分=定积分{c,d}dz*二重积分{x,y关于z活动范围}f(x,y,z)dxdy
铅直投影法
1 画图
2 投影到xOy平面 找到x,y活动范围 是常范围 即该活动范围Dxy是g(x,y)=0
3 z夹在两个曲面φ1(x,y)=0,φ2(x,y)=0中间
4 三重积分=二重积分{x,y活动范围}dxdy*定积分{两个曲面}f(x,y,z)dz
柱坐标法 出现x^2+y^2 不必单独记 是铅直投影法的延申
球坐标法 出现x^2+y^2+z^2
1 画图
2 坐标变换 x=r*cosθ*sinφ y=x=r*sinθ*sinφ z=x=r*cosφ θ是与x轴正方向夹角 φ是与z轴正方向夹角
3 定范围 θ属于[α,β] φ属于[θ1,θ2] r属于[r1(φ,θ),r2(φ,θ)]
4 三重积分=定积分dθ*定积分dφ*定积分f(x,y,z)*(r^2)*sinφdr
应用
空间几何体质心
空间集合体转动惯量
第九章 级数
常数项级数
基本概念与敛散性
基本性质
收敛级数+收敛级数=收敛级数
单发散则和发散
双发散的和不一定发散
级数*非0常数敛散性不变
级数中增加、减少、改变有限项不改变级数的敛散性 但可能改变级数的结果
收敛级数添加任意括号后依然收敛 但添加任意括号后收敛原级数不一定收敛 即添加括号提高级数的收敛性
若级数收敛则an在无穷处趋近与0 反之不对
两个重要级数
p级数
定义
1/(n^p)无穷和
p=1时称为调和级数
敛散性判断
p>1 收敛
p<=1 发散
几何级数 即等比数列无穷和
定义
a*q^n无穷和
敛散性判断
|q|<0 收敛 S=首项/(1-公比)
|q|>=1 发散
正项级数
定义
an>=0
Sn单增 可通过Sn是否有上界判断敛散性
审敛法
比较法 两个不同级数an与bn 重点是找参照对象
大小比较
an<=bn时 若bn收敛 则an收敛
an>=bn时 若bn发散 则an发散
夹逼收敛
比值比较
lim(an/bn)=m m为有穷正数 an与bn敛散性相同
比值推论
lim(an/bn)=0 若bn收敛 则an收敛
lim(an/bn)=+∞ 若bn发散 则an发散
比值法 只含一个级数an ρ=相邻两项比值的极限
ρ<1 收敛
ρ>1 发散
根值法 ρ=n次根号an的极限
ρ<1 收敛
ρ>1 发散
积分法
an单减时 级数敛散性与反常积分一致
交错级数
定义
一般项一正一负 正负交错 一般项记为:un*(-1)^n
审敛法
莱布尼茨法
un单减且un极限=0 则该交错级数收敛 且S<=a1
绝对收敛与条件收敛
概念
|un|级数收敛称谓绝对收敛
un级数收敛但|un|级数发散称为条件收敛
关系
一些技巧
敛散性大小判别
添加括号增加收敛性
趋向于零的速度越快 收敛可能性越强
添加绝对值增加发散性
审敛思路
1 先看an趋近于0否
2 一般项中含差且易用定义法 用定义法
3 抽象一般项 使用性质与审敛法
4 具体一般项 采用审敛法
含阶乘 用比值法
含n次方 用根值法
含对数 用积分法
其他情况 用比较法
正项级数收敛的充要条件
奇数项收敛且偶数项收敛
正项级数发散的判断
奇数项或偶数项有一个发散
收敛级数加平方的影响
un是一般级数 加平方无法确定敛散性
un是正项级数 加平方后依然收敛
幂级数
函数项级数
一般项中有变量
定义
一般项为an*(x-x0)^n
特殊情况x0=0 一般项为an*x^n
收敛域与发散域
x的取值使得级数收敛称为收敛域 类似函数的定义域
x的取值使得级数发散称为发散域
收敛半径
阿贝尔定理
x0是收敛点 则|x|<|x0|时幂级数绝对收敛
x1时发散点 则|x|>|x1|时幂级数发散
ρ=|a{n+1}/an|的极限或|an|的n次根号
ρ=+∞ 则R=0
ρ=0 则R=+∞
ρ为非零有穷正数 R=1/ρ
性质
和函数S(x)在(-R,R)上连续
逐项可导性
求导后收敛半径不变 但收敛域不确定
逐项可积性
求积分 积分上限函数 后收敛半径不变 但收敛域不确定
函数幂级数展开
直接展开
泰勒公式展开
麦克劳林公式 注意定义域
间接展开
麦克劳林公式
逐项可导与逐项可积性
求幂级数的和函数
理论基础
用逐项可导与逐项可积性求
反用麦克劳林公式求
微分方程的方法
题型分类
多项式*x^n
用逐项可导性
1/(1±x)的麦克劳林公式
(x^n)/多项式
消分母 用逐项可积性
±ln(1±x)的麦克劳林展开
(多项式1/多项式2)*(x^n)
拆为多项式+1/多项式
(x^n)/多项式 多项式中含阶乘
利用e^x sinx cosx麦克劳林级数
求导S(x)构造微分方程
an*(x^n) 其中an给出递推关系
由递推关系求出an表达式
将递推关系带入幂级数求出S(x)满足的关系式从而求出S(x)
做题步骤
1 求收敛半径与收敛域
2 套用方法求合函数
傅里叶级数
类型
周期为2pi的函数f(x)的傅里叶级数
定义在[-pi,pi]上的函数f(x)的傅里叶级数
定义在[0,pi]上的函数f(x)的傅里叶级数
周期为2L的函数f(x)的傅里叶级数
定义在[-L,L]上的函数f(x)的傅里叶级数
定义在[0,L]上的函数f(x)的傅里叶级数
做题步骤
1 周期T=2L
1 f(x)=(a0)/2+级数(an*cos(n*pi*x/L)+bn*sin(n*pi*x/L))
2 an=(1/pi)*定积分{-L or 0,L}f(x)*cos(n*pi*x/L) bn=(1/pi)*定积分{-L or 0,L}f(x)*sin(n*pi*x/L)
第十章 向量代数和空间解析几何
基础理论
基本概念
向量 矢量
向量的坐标
向量的方向角与方向余弦
向量在一个轴的投影
向量运算
几何描述
略
代数坐标描述
向量加减法
向量数乘
向量的数量积
向量的向量积
向量数量积的性质
数量积运算符合交换律
数量积为0 -> 两个向量垂直
向量向量积的性质
向量积交换运算顺序后需要加负号
向量积为0向量 -> 两个向量平行
向量积与参与运算的两个向量垂直
向量积的模=2*三角形面积
向量的应用
平面
点法式
一般式
截距式
三点式
直线
一般式
点向式
参数式
曲面的切平面与法线
曲线的切线与法平面
特殊曲面
旋转曲面
二维空间旋转曲面
绕谁转谁不变
三维空间旋转曲面
柱面
母线平行于坐标轴的曲面 缺一个变量
投影柱面 可以方程组可以消掉一个变量
距离
两点之间的距离
点到平面的距离
点到直线的距离
平行平面间的距离
异面直线间的距离
夹角
两向量夹角
两直线夹角
两平面夹角
直线与平面的夹角
第十一章 曲线积分和曲面积分
曲线积分
第一类曲线积分 对弧长的曲线积分 标量*标量
思想与定义
非均匀曲线质量
性质
线性可拆
曲线可拆
1的曲线积分=曲线长度
对称性
曲线关于y轴对称 即关于变量x对称
曲线关于x轴对称 即关于变量y对称
曲线关于y=x对称
x,y变量可以交换
计算方法
特殊替代法
定积分法 弧微分代换
直角坐标下显函数
参数方程
第二类曲线积分 对坐标的曲线积分 向量点乘向量
思想与定义
变力曲线做功问题
F*(x,y)={P(x,y),Q(x,y)} dL*={dx,dy}
dW=(F*)点乘(dL*)
W=曲线积分Pdx+Qdy
性质
曲线方向变化
对坐标的曲线积分可化为对弧长的曲线积分
曲线积分Pdx+Qdy=曲线积分(P*cosα+Q*cosβ)ds
曲线可拆
二维空间计算方法
定积分法
显函数代换
曲线积分=定积分{起点,终点}P(x,y(x))*dx+Q(x,y(x))*y'(x)*dy
参数方程代换
曲线积分=定积分{起点,终点}(P(x(t),y(t))*x'(t)+Q(x(t),y(t))*y'(t))dt
二重积分法 格林公式 连通的有限闭区域D L为区域D的正方向
单连通区域 区域没有"洞" 正方向是逆时针
多连通区域 区域有"洞" 正方向是外逆内顺
曲线积分=二重积分(Q偏导x-P偏导y)
曲线积分与路径无关的条件
等价说法
D为单连通区域 P(x,y),Q(x,y)在D内连续可偏导
曲线积分与路径无关
区域D内任意闭曲线C 曲线积分{C}Pdx+Qdy=0
区域D内恒有Q偏导x=P偏导y 柯西-黎曼条件
区域D内存在二元函数u(x,y)使du=Pdx+Qdy
做题技巧
路径按先水平后铅直 曲线积分=定积分{x0,x1}P(x,y0)dx+定积分{y0,y1}Q(x1,y)dy
找到全微分的原函数u(x,y) u(x,y)可以由积分上限函数求得 曲线积分=u(x1,y1)-u(x0,y0)
一般步骤
1 作图
2 代换法或格林公式法 根据题目选合适的方法
定积分法找准曲线与起点终点
格林公式法找准P(x,y)与Q(x,y)
3 算定积分
三维空间计算方法
定积分法
参数方程代换
斯托克公式法 曲线积分等价公式
曲线积分Pdx+Qdy+Rdz
二重积分{Σ}|{dydz,dzdx,dxdy},{对x偏导,对y偏导,对z偏导},{P,Q,R}| ||表示行列式
二重积分{Σ}|{cosα,cosβ,cosγ},{对x偏导,对y偏导,对z偏导},{P,Q,R}|dS 角度为曲面法向量的方向余弦
曲面积分
第一类曲面积分 对面积的曲面积分
思想与定义
非均匀曲面密度
性质
线性可拆
曲面可拆
1的曲面积分=曲面面积
对称性
曲面关于xOy平面对称 即关于变量z对称
曲面关于yOz平面对称 即关于变量x对称
曲面关于xOz平面对称 即关于变量y对称
计算方法
特殊替代法
二重积分法 面微分代换
1 曲面Σ投影到平面 一般投影到xOy平面 找到活动范围Dxy 其他也可
2 显函数代换 {Σ}dS={Dxy}sqrt(1+(z'x)^2+(z'y)^2)dxdy
第二类曲面积分 对坐标的曲面积分
思想与定义
非均匀流量
性质
曲面方向变化
曲面可拆
对称性 与定积分等刚好相反
曲面关于xOy平面对称 即关于变量z对称
关于z是奇函数 曲面积分=2*半曲面积分
关于z是偶函数 曲面积分=0
曲面关于yOz平面对称 即关于变量x对称
关于x是奇函数 曲面积分=2*半曲面积分
关于x是偶函数 曲面积分=0
曲面关于xOz平面对称 即关于变量y对称
关于y是奇函数 曲面积分=2*半曲面积分
关于y是偶函数 曲面积分=0
计算方法
二重积分法 投影法
投影到xOy Σ:z=φ(x,y) 曲面积分{Σ}R(x,y,z)dxdy=±二重积分{Dxy}R(x,y,φ(x,y))dxdy
法向量与z轴夹角为锐角 cosγ>=0 正号
法向量与z轴夹角为钝角 cosγ<0 负号
在z轴上方向下看 上正下负
投影到其他平面类似
高斯公式法
Ω为几何体 Σ为Ω的外侧曲面 P,Q,R在Ω上一阶连续可导
曲面积分{Σ}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=三重积分{Ω}(P偏导x+Q偏导y+R偏导z)dv
两类曲面积分间的关系
曲面积分Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=曲面积分(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS
场论初步
梯度 旋度 散度
梯度
u=f(x,y,z) 梯度grad(u)={u偏导x,u偏导y,u偏导z}
旋度
向量场a*={P,Q,R} 旋度rot(a*)=|{i*,j*,k*},{对x偏导,对y偏导,对z偏导},{P,Q,R}|
散度
向量场a*={P,Q,R} 散度div(a*)={P偏导x,Q偏导y,R偏导z}
通量与环流量
通量
向量场a*={P,Q,R} 曲面Σ 曲面上单位法向量n* 通量Φ=曲面积分{Σ}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=曲面积分{Σ}(a*)点乘(n*)dS
环流量
向量场a*={P,Q,R} 有向闭曲线L 曲线积分{L}Pdx+Qdy+Rdz=曲线积分{L}(a*)点乘ds*