高中数学-集合思维导图

这是一篇关于高中数学-集合思维导图。一些元素组成的总体叫作集合，集合中的每个对象称为集合的元素。

• 集合的含义与表示
  • 含义
    • 一些元素组成的总体叫作集合。集合中的每个对象称为集合的元素。
  • 元素与集合的表示
    • 元素
      • 小写字母a，b，c......
    • 集合
      • 大写字母A，B，C......
  • 与元素关系
    • 属于∈
    • 不属于∉
  • 表示方法
    • 列举法
      • 把集合的元素一一列举
    • 描述法
      • 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合
    • Venn图
      • 用平面上一条封闭曲线围成的区域表示
  • 元素特性
    • 确定性
    • 互异性
    • 无序性
  • 分类
    • 有限集
      • 含有有限个元素的集合
    • 无限集
      • 含有无限个元素的集合
    • 空集
      • 不含任何元素的集合
• 基本关系
  • 全集
    • 如果集合中含有所研究问题中涉及的所有元素，那么这个集合被称为全集U。
  • 子集
    • 若对x∈A都有x∈B，则A⊆B（或B ⊇ A）
  • 真子集
    • 若集合A⊆ B，但存在元素x∈B且x∉A，则
  • 集合相等
    • A⊆ B
    • B⊆ A
    • A=B
  • 空集
    • 不含任何元素的集合（∅）
    • 任何集合的子集
• 常用数集及符号
  • 正整数集（N*或N+）
    • 整数集（Z）
      • 有理数集（Q）
  • 非负整数集（自然数集）（N）
    • 实数集（R）
• 基本运算
  • 并集
    • 定义
      • A∪B={x丨x∈A或x∈B}
    • 性质
      • A∪A=A
      • A∪∅=A
      • A∪B=B∪A
  • 交集
    • 定义
      • A∩B={x丨x∈A且x∈B}
    • 性质
      • A∩A=A
      • A∩∅=∅
      • A∩B=B∩A
  • 补集
    • 定义
    • 性质
  • 运算法则
    • 集合之间要运算，交并补集来帮忙；公共元素组交集，所有元素成并集；要求A集的补集，全集去A即可得；分配律与结合律，集合运算都适用！
  • 运算规律
    • 交换律
      • A∪B=B∪A
      • A∩B=B∩A
    • 结合律
      • (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
      • (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
    • 分配律
      • (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)
      • (A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)
    • 摩根律
      • 交并转换
    • 容斥原理
      • A∪B = A+B - A∩B
      • A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C
• 误区警示
  • 求集合中字母的值或范围时，应验证元素互异性，否则易产生多解。
  • 0∈N，但0∉N*
  • A⊆ B，要考虑A=∅是否成立
  • A∩B=∅，要考虑A=∅或B=∅
  • ∅⊆ {0}
• 拓展提升
  • n个元素的集合
    • 子集
    • 真子集
    • 非空子集
    • 非空真子集
  • 重要关系
    • A∩B⊆A⊆（A∪B）
    • A∩B=A↔A⊆B
    • A∪B=B↔A⊆B
  • 解题思想
    • 数形结合思想
    • 分类讨论思想
    • 补集思想