导图社区 《数学建模》(10页)
基于天津大学数学建模专业选修课,包含数学建模基本知识、建模方法与例题。由于没有课本,讲的快,导图知识体系不完整,故免费发布,仅供参考。
编辑于2021-05-21 21:03:40数学建模
模型准备&问题分析
剖析问题
抓住本质、主要因素
确定关键词
查阅资料文献
问题的实际背景、相关数据、相关研究进展
研究问题的类型
模型假设
抓关键问题
忽略次要因素
合理化简要假设
模型建立
数学语言、符号描述问题内在规律、现象
方程、图形、表格、算法程序
模型求解
matlab
python
结果分析
结合实际问题分析
误差分析
规划
初等模型
刹车距离&道路通行能力
问题1
刹车距离与速度关系
问题2
道路通行能力
交通流 主要参数&基本规律
流量q
单位时间内通过某断面车辆数
速度v
密度k
单位长度车辆数
假设为常数
常识
流量&密度
流量&速度
刹车距离模型
刹车距离与速度非简单线性关系, 需要对刹车过程机理分析, 建立刹车距离与速度的模型
问题分析
刹车距离
反应距离+制动距离
模型假设
反应距离d1 α 车速v,系数反应时间
刹车最大制动力F做功=动能改变
建立模型
F作用下,行驶距离d2,做功F2
刹车距离与速度关系模型
参数估计
道路通行能力模型
道路通行能力
安全情况下单位时间通过最大车辆数
设
车速
最小车头间隔
道路通行能力
车头间隔
刹车距离+汽车标准长度
结论
使N最大,分母最小
min
=
通行能力max
数学规划
最优化问题
目标函数
约束条件
决策变量
可行域
约束条件构成一个关于x的集合
线性规划
非线性规划
一般规划
非负规划
整数规划
0-1规划
线性规划
matlab标准型
自来水输送
问题分析
水库总供水量160
四居民区基本用水+额外用水300
公司每日卖160
公司总收入900×160=144000
其他管理费450×160=72000元
利润=总收入-饮水管理费-其他管理费
若饮水管理费最小,利润最大
建立模型
模型求解
选课策略
问题
毕业时,学生最少可学习这些课的哪些课
有学生希望课程少,又要学分尽量多
建立模型
xi编号9门课
xi=1学习这门课
xi=0不学这门课
目标函数
约束条件
模型
求解
游泳队选拔
建立模型
i运动员参加j种泳姿比赛
目标函数
4队员用某泳姿接力,要求所用时间最短
约束条件
不等式约束
等式约束
建立模型
目标函数
不等式约束
等式约束
货机装运
模型假设
每种货物可封装到很小的包装袋
每种货物可在一个/多个仓任意分布
多种货物可混装,保证不留空隙
模型建立
第i种货物装入j仓的质量
前仓,中仓,后仓
约束条件
建立模型
优化问题
目标函数(求最大值
约束条件
不等式约束
等式约束
非负约束
目标函数
约束条件
求解
非线性规划
最优化方法
基本
从众多解决方案找到最优方案
要素
方案
找什么
决策量
众多
在哪找
可选集/可行域
最佳
如何评价
评价函数/目标函数
模型表示
运输问题
转运
下料问题
问题分析
确定可行的切割模式
确定合理的切割模式
节省
切割后剩余总余料最小
切割总根数最少
模型建立
决策变量
xi(i=1,2,...,7)
第i种模式切割原料钢管根数
非负整数
决策目标
切割后剩余总余料量最小
切割总根数最少
约束条件
决策变量
不同切割模式不过3种
xi(i=1,2,3)
第i种切割模式每根原料钢管4,5,6,8米的钢管数
决策目标
原料钢管总数最少
约束条件
非线性规划
无约束
最速下降法
有约束
多目标规划
概念
解使所有目标都达到
该解为最优解
只满足部分目标
次优解
不满足任一目标解
无解
设法将多目标问题转化为单目标优化问题
满意解
假设
每周产布A1A2A3小时数x1x2x3
总利润
总能耗
模型
主要目标法
多个目标种确定一个为主要目标,其余为次要目标
次要目标作为约束处理
求得解必是有效解
分层序列法
p个目标按重要程度排次序
线性加权求和
数学规划模型
插值
分段线性插值
1次插值
拉格朗日插值定理
三次样条插值
S(x)
每个小区间上三次多项式
每个节点有二阶连续导数
插值条件
n+1个条件
连接条件
3n-3个条件
y1=interp1(x0,y0,x,'linear');
spline
cubic
拟合
不过所有点,反应变化趋势
最小二乘法
子主题
主题
数学规划
线性规划 非线性规划
非负规划
整数规划
0-1规划
一般规划
微分方程
常微分方程
人口增长
M
L
伯努利
平衡点 稳定点
平衡点
f(x)=0 x=x0
稳定点
经济效益=捕鱼收入-开支
子主题
火箭
偏微分方程
综合评价与决策方法
理想解法
不同属性单位不同
非量纲化
不同属性数值差值大
数据标准化
[0,1]
步骤
数据预处理
区间型
属性向量单位化
加权
±理想解
研究对象与理想解距离,比较
模糊综合评价法
1级模糊综合评判
因素集
各因素权重向量
A = [ 0. 52 , 0.2 , 0. 52 , 0.3 ]
评语集
V={ 优秀 良好 一般 较差 差 }
2级
主成成分分析法
降维
PCA
主成分与原始变量关系
主成分保留原始变量绝大多数信息
主成分个数远少于原始变量数目
各主成分互不相关
每主成分是原始变量线性组合
步骤
原始数据标准化处理
对列向量标准化
j列样本均差
j列样本方差
行标准化
计算相关系数矩阵
计算相关系数矩阵R特征值、特征向量
[X,λ]=eig(A)
选择5个主成分 计算综合评价值
特征值计算贡献率
信息贡献率
累计贡献率
ap→1时,选前p个变量y1~yp作p个主成分
降维
综合得分
数据包络分析
DEA
多投入多产出
无需权重
每个投入关联1个/多个输出,不必确定投入产出函数关系
无需非量纲化
CCR
效率评价指标
投入产出比
线性规划
灰色预测
GM(1,1)
GM(1,1) 数据检验
是否满足序列级比
GM(1,1)预测模型
原始数列
构造累加数列
构造数列均值列
灰色模型
ab灰色参数
最小二乘法
白化方程
检验
相对残差
级比偏差
GM(2,1)
模型
原始数列
构造累加数列
构造邻减数列
构造数列均值列
灰色模型
白化方程
聚类分析
群分析
样本相似性度量
Q型聚类
对样本分类
欧氏距离
空间2点
特点
正定性
对称性
三角不等式
闵氏距离
p=1
p=2
p->∞
马氏距离
Σ
总体样本协方差矩阵
类间相似性度量
最短距离法
最长距离法
类平均法
离差平方和法
聚类图
R型聚类
对指标分类
夹角余弦
相关系数
变量聚类法
最优化方法
众多解决方案找最优
决策量
方案
找什么
可选集、可行域
众多
在哪找
评价函数/目标函数
最佳
如何评价
最速下降法
外罚函数法
初始点x0,初始惩罚因子μ1,放大系数c>1,允许误差ε>0,k=1
为初始点,求解无约束优化
μkP(x)惩罚项
算法终止,x^k为原约束优化问题近似最优解
否则
k=k+1转回步1