高数-十章（重积分）

高等数学重积分重要知识点梳理 思维导图 高等数学知识点：重积分，如何应用，有二重积分、三重积分如何进行计算，对称性特点是怎样的。快来一起学习吧~

第十章 重积分

• 二重积分
  • 物理意义——体积
  • 计算方法
    • 直角坐标系
    • 极坐标
  • 计算步骤
    • 1确定积分区域
      • 积分上线和积分下线
    • 2确定积分次序
      • X型f dx f f(x，y)dy
      • Y型f dy f f(x，y)dx
    • 3计算求结果
  • 注意事项
    • 1首先确定积分区域，确定积分上下限
      • 作图！
    • 2判断所求积分是否关于积分区域对称
      • 奇——为0
      • 偶——二倍
    • 3积分次序那个更简便
    • 4利用那种方法求更加简便
      • （1）直角坐标系
      • （2）极坐标（有x^2+y^2）时
  • 题型
    • 1计算体积（利用，两种坐标方法）顶为z
    • 2交换积分次序
    • 3直角坐标系与极坐标的转换
    • 4利用性质比较 积分大小
      • 练习册——十B第一题2——性质5
    • 5利用对称性
      • 式子含多项时，务必想到
• 三重积分
  • 物理意义——质量
  • 计算方法
    • 直角坐标系
      • 先二后一（2中：上下线中含“后一”的变量）（可以转化为二重积分的面积时）
      • 先一后二（2中：上线限中不含“先一”的变量）
      • 三个累次积分
    • 柱坐标
    • 球坐标
  • 计算步骤
    • 1确定积分区域
      • 求出积分上下线
        • 作图！
    • 1.5判断积分区域是否对称！所积函数是否为奇，偶
      • 奇——为0
      • 偶——二倍
    • 2确定积分方法
      • 1直角坐标系
      • 2柱坐标
      • 3球坐标
    • 3积分次序（直角坐标系时考虑）
      • 先一后二
      • 先二后一
    • 4计算
      • 看缘分了
  • 注意事项
    • 轮转对称性
      • x^2+y^2+z^2只是变成r^2而不是a^2
    • 有时并不是只有所积函数含x^2+y^2+z^2才可用（类似只含z时也可，z=r cos €等等) 积分区域友善即可
  • 题型
    • 1求质量
    • 1.5求体积——当所积函数为1时，所求积分数值上等于体积
    • 2交换积分次序
    • 3多种坐标方法的转换
    • 4对称性
      • 轮转对称性
      • 积分区域对称时，判断奇偶
    • 5利用柱面坐标求解
    • 6利用球面坐标求解
• 重积分的应用
  • 曲面面积
  • 质心
  • 转动惯性
  • 引力