义务教育教科书•数学

本思维导图包含义务教育教科书•数学（小学苏教版）、义务教育教科书•数学（初中苏科版）、义务教育教科书•数学（高中苏教版）的全部必修及选择性必修的全部内容，也即包含义务教育阶段数学部分的全部知识点内容，排序是按照教材目录排序，学习者可以根据自己的需求将知识内容进行板块化调整和梳理，以便于更加系统化的学习。同时，该系列思维导图可以供家长指导自己的孩子使用，超前系统化掌握数学知识，深入研究数学这门学问。

义务教育教科书•数学 （苏教版）

• 数学一年级上册
  • 一、 数一数
  • 二、 比一比
  • 三、 分一分
  • 四、 认位置
  • 五、 认识 10 以内的数
  • 六、 认识图形 （一）
  • 七、 有趣的拼搭
  • 八、 分与合
  • 九、 10 以内的加法和减法
  • 十、 丰收的果园
  • 十一、 认识 11~20 各数
  • 十二、 20 以内的进位加法
• 数学一年级下册
  • 一、 20 以内的退位减法
  • 二、 认识图形 （二）
  • 三、 认识 100 以内的数
  • 四、 100 以内的加法和减法 （一）
  • 五、 人民币的单位：元、角、分
  • 六、 100 以内的加法和减法 （二）
• 数学二年级上册
  • 一、 100 以内的加法和减法 三）
  • 二、 平行四边形的初步认识
  • 三、 表内乘法（一）
  • 四、 表内除法（一）
    • 每份分得同样多， 叫作平均分。
    • 6 ÷ 2 读作： 6 除以 2
    • 300多年前，瑞士数学家用一条横线将两个圆点分开表示除，就有了现在的“÷”。后来，又有数学家提出用“：”表示除。
  • 五、 厘米cm和米m
    • 把线拉直， 两手之间的一段可以看成线段
      • 线段的表示：
    • 拃（zhǎ）
    • 庹（tuǒ）：释义为两臂左右平伸时两手之间的距离。
    • 我们身体上的“尺”
  • 六、 表内乘法和表内除法（二）
  • 七、 观察物体
• 数学二年级下册
  • 一、 有余数的除法
  • 二、 时、 分、秒
  • 三、 认识方向
  • 四、 认识万以内的数
    • 记数方法
      • 算盘
  • 五、 分米dm和毫米mm
  • 六、 两、 三位数的加法和减法
    • 竖式计算
  • 七、 角的初步认识
  • 八、 数据的收集和整理（一）
• 数学三年级上册
  • 一、 两、 三位数乘一位数
    • 竖式计算
  • 二、 千克kg和克g
    • 千克又叫作公斤
      • 不同的秤
  • 三、 长方形和正方形
    • 通常把长方形长边的长叫作长， 短边的长叫作宽； 正方形每条边的长叫作边长
  • 四、 两、三位数除以一位数
    • 竖式计算46 ÷ 2 =
  • 五、 解决问题的策略
    • 间隔排列
  • 六、 平移、旋转和轴对称
    • 对折后能完全重合的图形是轴对称图形
  • 七、 分数的初步认识（一）
    • 分数
      • 算 筹 表 示分数的方式
• 数学三年级下册
  • 一、 两位数乘两位
    • 竖式表示
  • 二、 千米km和吨t
    • 千米又叫公里
    • 1 吨 ＝ 1000 千克
  • 三、 解决问题的策略
  • 四、 混合运算
    • 算式中有乘法和加、 减法， 应先算乘法。要先算加、减法， 列综合 算式时必须添上小括号
    • 算筹竖式计算
  • 五、 年、月、日
    • 一年有12个月， 有 31 天的月份是大月， 有30 天的月份是小月。
    • 2 月只有28 天的年份是平年， 有29天的年份是闰年。 通常每 4年里有 3 个平年、 1 个闰年。 公历年份数除以 4没有余数的一般是闰年*。
      • * 公历年份数是整百数的， 必须除以400没有余数才是闰年。 例如， 2000年是闰年， 而 2100 年是平年。
    • 一年四季
  • 六、 长方形和正方形的面积
    • 长方形的面积 ＝ 长 × 宽
      • 如果用 Ｓ 表示长方形的面积， 用 a 和b 分别表示长方形的长和宽， 上面的公式 可以写成：S = a × b
    • 正方形的面积 ＝ 边长 × 边长
      • 如果用 Ｓ 表示正方形的面积， 用 a 表示正方形的边长， 上面的公式可以写成： S = a × a
  • 七、 分数的初步认识（二）
  • 八、 小数的初步认识
    • 我们以前学过的表示物体个数的 1，2，3， …是 自然数，0 也是自然数， 它们都是整数。 像上面的 0.5、0.4、1.2 和 3.5都是小数。 小数中的圆点叫作小数点。 小数点左边的部分是整数部分， 右边的部分是小数部分。
      • 我国古代数学家刘徽在1700多年前就开始使用小数。
    • 在我国古代，人们用低一格摆算筹的方法来表示小数 。 例如，表示106.32
      • 我国古代也曾经像 右图那样表示小数
        • 有了阿拉伯数字后， 先后出现了 像右图那样表示小数的方法。
  • 九、 数据的收集和整理（二）
    • 商店出售的鞋， 通常用厘米作单位标出“鞋内长”。 不过， 现在还有很多人习惯用“码数” 来说明鞋的大小。 买鞋时， 可以先测量自己的脚长， 再按下面的公式算出“鞋内长” 以及鞋的码数。 脚长的厘米数 + 1 =“鞋内长” 厘米数 “鞋内长” 厘米数 × 2 - 10 = 码数 例如， 你的脚长是 21 厘米，“鞋内长” 就是 22 厘米， 码数为 34。
• 数学四年级上册
  • 一、 升L和毫升ml
    • 1 升 = 1000 毫升
  • 二、 两、三位数除以两位数
    • 竖式计算
    • 被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0 除外）， 商不变
  • 三、 观察物体
  • 四、 统计表和条形统计图（一）
  • 五、 解决问题的策略
  • 六、 可能性
  • 七、 整数四则混合运算
    • 算式里有括号，先算括号里面的。 括号里面也要先算乘、除法，再算加、减法。
    • 在一个算式里， 既有小括号"( )"， 又有中括号"[ ]"， 要先算小括号 里面的， 再算中括号里面的。
    • 算式中的括号能改变运算的顺序。
      • “( )”是小括号，又称为圆括号，是17世纪荷兰数学家吉拉特首先使用的。在这之前，曾经有人用括线“——”表示算式中先算的部分。如，50-15+12表示要先算15+12的表示如图
      • “[ ]”是中括号，又称为方括号。17世纪英国数学家瓦里士在计算时最先使用了它。
      • “{ }”是大括号，又称为花括号，大约是在1593年由法国数学家韦达首先使用。
      • 计算时，要先算小括号里面的，再算中括号里面的，然后算大括号里面的。
  • 八、 垂线与平行线
    • 线段有两个端点，射线只有一个端点，直线没有端点。 线段可以量出长度，射线和直线都是无限长的。
    • 怎样滚得远
    • 把线段的一端无限延长， 就得到一条射线。
    • 把线段的两端都无限延长， 就得到一条直线。
    • 连接两点的线段的长度叫作这两点间的距离
    • 从一点引出的两条射线可以组成角。
      • 以一点为端点， 画两条射线。
        • 角通常用符号“∠”表示。右图的角可以记作∠1。∠1读作角一
      • 量角器是度量角的工具。
        • 把半圆分成180等份，每一份所对的角是1度的角。“度”是角的计量单位，用符号“°”表示，如1度记作1°
      • 直角等于 90°
        • 锐角比直角小，锐角小于90°
          • 钝角比直角大，比平角小。钝角大于90°，小于180°。
      • 平角等于 180°
        • 周角等于 360°
      • 丹顶鹤是国家一级保护动物。 它们结队飞行， 通常都是排成“人” 字形， 而且“人” 字形的角度一般保持在110°左右。
      • 两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫作垂足。
      • 点P向已知直线画一条垂直的线段和几条不垂直的线段。 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫作这点到直线的距离。
      • 像这样不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线。
• 数学四年级下册
  • 一、 平移、旋转和轴对称
    • 与时针旋转方向相同的是顺时针旋转，相反的是逆时针旋转。 转杆打开是绕点O顺时针旋转90°。 转杆关闭是绕点O逆时针旋转90°。
    • 折痕所在的直线叫作轴对称图形的对称轴。
  • 二、 认识多位数
    • 10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万。
    • 按照我国的计数习惯， 从右边起， 每四个数位是一级。
      • 数位顺序表
        • 像这样每相邻两个计数单位之间的进率都是 10 的计数方法，叫作十进制计数法
    • 数的分节和分级
      • 虽然计数习惯不同，但都便于正确、迅速地读写多位数。认识多位数
        • 在报纸、杂志上，我们经常会见到一些多位数从个位起每三位就空开大约半个数字的位置。如：2020年我国普通高等学校在校学生数是32 853 000人。这是一种国际通用的数的分节方法。它规定从个位起向左每3位一节，右起第一节表示有多少个一，第二节表示有多少个千，第三节表示有多少个百万......
        • 我国习惯采用数的分级方法。它规定从个位起向左每4位一级，从右边起第一级是个级，表示有多少个一；第二级是万级，表示有多少个万......
    • 读多位数
      • 每级末尾的0都不读，其他数位有一个0或连续几个0，都只读一个“零”
    • 二进制是现代计算机技术中广泛采用的一种计数方法。二进制数是用0和1两个数字表示的数，它的进位规则是“逢二进一”。
      • 计算机用二进制处理信息
        • 条形码用二进制传递信息
    • 在日常生活中，为了方便，常常把整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。
    • 生活中一些事物的数量，有时不需要用精确的数表示，而只用一个与它比较接近的数来表示，这样的数是近似数。通常用“四舍五入” 的方法求一个数的近似数。
      • 用“四舍五入”的方法求近似数，要把这个数按要求保留到某一位，并把它后面的尾数省略。尾数最高位上的数如果是4或比4小，就把尾数的各位都改写成0；如果是5或比5大，要在尾数的前一位加1，再把尾数的各位改写成0。
  • 三、 三位数乘两位数
    • 每小时260千米、每分200米是速度，可以写成“260千米/时”“200米/分”，千米/时读作千米每时，米/分读作米每分
    • 生活中常见的数量关系
      • 总价 = 单价 × 数量
      • 路程 = 速度 × 时间
  • 四、 用计算器计算
    • 计算器
      • 
    • 算筹是我国古代劳动人民发明的一种记数和计算的工具。用算筹进行计算，简称筹算。
    • 后来，我国劳动人民发明了一种更简便的计算工具———算盘。用算盘进行计算，简称珠算。
    • 一亿有多大
      • 一枚1元的硬币大约重6克，1000枚1元硬币大约重6千克，100万枚1元硬币大约重6吨，1亿枚1元硬币大约重600吨
  • 五、 解决问题的策略
  • 六、 运算律
    • 加法交换律：两个加数交换位置，和不变。
      • a + b = b + a
    • 加法结合律：每组两个算式中的三个加数相同。先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。。
      • （a + b） + c = a +（b + c）
    • 乘法交换律：两个数相乘，交换两个乘数的位置，积不变。
      • a × b = b × a
    • 乘法结合律：每组两个算式中的三个乘数相同。先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。
      • （a × b） × c = a ×（b × c）
    • 乘法分配律：每组两个算式中的三个数相同，计算结果也相同。两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这个数相乘，再相加。
      • （a + b） × c = a × c + b × c
  • 七、 三角形、平行四边形和梯形
    • 三角形
      • 三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。
        • 从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高，这条对边是三角形的底。
      • 三角形分类
        • 3个角都是锐角的三角形是锐角三角形；
        • 有1个角是直角的三角形是直角三角形；
        • 有1个角是钝角的三角形是钝角三角形。
        • 两条边相等的三角形是等腰三角形
        • 3条边都相等的三角形是等边三角形，也叫作正三角形
      • 三角形任意两边长度的和大于第三边
    • 平行四边形
      • 两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形
        • 从平行四边形一条边上的一点到它对边的垂直线段，是平行四边形的高，这条对边是平行四边形的底。
    • 梯形
      • 只有一组对边平行的四边形叫作梯形。互相平行的一组对边分别是梯形的上底和下底，不平行的一组对边是梯形的腰。 从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫作梯形的高。 两腰相等的梯形是等腰梯形。
    • 多边形的内角和
      • 三角形的内角和等于 180°
      • 四边形分成 2个三角形， 算出内角和是 360°
        • 180° × 2 = 360°
      • 五边形可以分成3 个三角形。
        • 180° × 3 = 540°
      • 六边形可以分成4 个三角形。
        • 180° × 4 = 720°
      • 可以把多边形分成若干个三角形，计算它的内角和。分成的三角形个数都比多边形的边数少2。分成了几个三角形，多边形的内角和就有几个180°。
        • 多边形的内角和=（n － 2）×180° 正多边形各内角度数为： （n － 2）×180°÷n （n为多边形边数，n≥3）
  • 八、 确定位置
    • 通常把竖排叫作列，横排叫作行。一般情况下，确定第几列要从左向右数，确定第几行要从前向后数。 小军坐在第 4 列第 3 行， 可以用数对（4， 3）表示。
    • 数字与信息
• 数学五年级上册
  • 一、 负数的初步认识
    • 零上20°C可以记作“+20°C”，+20读作正二十； 零下20°C可以记作“-20°C”，-20读作负二十。
    • 通常，我们规定海平面的平均海拔高度为0米。比海平面高8848.86米，称为海拔8848.86米，可以记作“+8848.86米”；比海平面低154.31米，称为海拔负154.31米，可以记作“-154.31米”。 像+20、+8848.86这样的数都是正数（正数前面的“+”可以省略不写），像-20、-154.31这样的数都是负数。 0既不是正数，也不是负数。 正数都大于 0， 负数都小于 0。
      • 中国人最先认识和使用负数。 据古代数学名著《九章算术》记载，早在2000多年前我国古人就有了“粮食入仓为正，出仓为负；收入的钱为正，支出的钱为负”的思想。 1700多年前，我国数学家刘徽首次明确地提出了正数和负数的概念。他还规定筹算时“正算赤，负算黑”，就是用红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数。 400多年前，法国数学家吉拉尔首次用“+”表示正数，用“-”表示负数。这种表示方法被广泛接受，并沿用至今。
        • + 34
          • - 25
  • 二、 多边形的面积
    • 平行四边形的面积 =底 × 高
      • 如果用S表示平行四边形的面积，用a和h分别表示平行四边形的底和高，上面的公式可以写成：S=a×h
    • 三角形的面积 = 底 × 高 ÷2
      • 如果用S表示三角形的面积，用a和h分别表示三角形的底和高，上面的公式可以写成：S=a×h÷2
        • 我国古代数学名著《九章算术》中记载了一些常见图形的面积计算方法。如三角形面积的计算方法是“半广以乘正从”（“广”指三角形的底，“从”指三角形的高），也就是用三角形底的一半乘三角形的高。我国数学家刘徽在注文中还用“以盈补虚”的方法（如右图）加以说明。
    • 梯形的面积 = （上底 + 下底） × 高 ÷2
      • 如果用S表示梯形的面积，用a、b和h分别表示梯形的上底、下底和高，上面的公式可以写成：S=（a+b）×h÷2
    • 测量或计量土地面积，通常用公顷作单位。边长100米的正方形土地，面积是1公顷。公顷可以写成：
      • 1 公顷 =10000 平方米
        • 1 公顷=15 亩
          • 1 亩=666.6666667 平方米
            • 在我国的一些农村地区，还习惯使用“亩”和“分”作土地面积单位，1亩=10分。亩与我们所认识的面积单位的关系是：1公顷=15亩，1亩≈667平方米。
    • 测量或计量大面积的土地，通常用平方千米作单位。边长 1000 米的正方形土地，面积是 1 平方千米。平方千米可以写成：
      • 1 平方千米 =1000000 平方米 = 100 公顷
  • 三、 小数的意义和性质
    • 写成小数是0.01米。0.01读作零点零一。
      • 小数点右边第一位是十分位，计数单位是十分之一（0.1）； 小数点右边第二位是百分位，计数单位是百分之一（0.01）； 小数点右边第三位是千分位，计数单位是千分之一（0.001）； ...... 每相邻两个计数单位间的进率都是10 以344.725为例，读作三百四十四点七二五。
    • 小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。这是小数的性质。
    • 把一个数改写成用“万”作单位的数，只要在万位右边点上小数点，并在数的后面添上“万”字。38 4400 = 38. 44 万
  • 四、 小数加法和减法
  • 五、 小数乘法和除法
    • 乘法竖式计算
      • 一个小数乘10、100、1000......只要把这个小数的小数点向右移动一位、两位、三位......
    • 除法竖式计算
      • 一个小数除以10、100、1000......只要把这个小数的小数点向左移动一位、两位、三位......
      • 根据商不变规律，把7.98和4.2都乘10，转化成79.8÷42。 可以把7.98和4.2的小数点都向右移动一位。
        • 需要移动相同位数，但被除数的位数不够时，在被除数的末尾用 0 补足。
      • 求商的近似值，一般先算出比需要保留的小数位数多一位的商，再按照“四舍五入”法写出结果。
    • 单价 × 数量 = 总价
    • 两个数相除，如果得不到整数商，会有两种情况。
      • 一种情况是：除到小数部分的某一位时，不再有余数，商里小数部分的位数是有限的。例如，14÷16=0.875。小数部分的位数是有限的小数，叫作有限小数。
      • 另一种情况是：除到小数部分后，余数依次不断重复出现，商也依次不断重复出现，商里小数部分的位数是无限的。例如，5÷3=1.66...，14÷37=0.378378...，25÷22=1.13636...。小数部分的位数是无限的小数，叫作无限小数。像上面这样，一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。
        • 循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫作这个循环小数的循环节。例如，1.66...、0.378378...和1.13636...的循环节分别是“6”“378”和“36”。为了书写方便，这几个循环小数分别可以写作：
    • 整数加法、乘法的运算律，对小数加法、乘法同样适用。
  • 六、 统计表和条形统计图（二）
  • 七、 解决问题的策略
  • 八、 用字母表示数
    • 如果用a表示正方形的边长，C表示周长，S表示面积
      • 正方形周长公式是：C=a×4
      • 正方形面积公式是：S=a×a
    • a×4和4×a通常可以写成4•a或4a；a×a可以写成a•a，也可以写成如图，读作a的平方。
      • a与1相乘，一般写作a
    • 最早有意识地系统使用字母来表示数的人是法国数学家韦达。韦达一生致力于数学研究，做出了很多重要贡献，成为那个时代最伟大的数学家。自从韦达系统使用字母表示数以后，引出了大量的数学发现，解决了很多古代的复杂问题。
    • 摆1个三角形用3根小棒，增加1个三角形，多用2根小棒......可以怎样表示共用小棒的根数？
    • 多边形内只有 1 枚钉子，它的面积与它边上的钉子数的关系
      • 当多边形内只有1枚钉子时，用n表示多边形边上的钉子数，用S表示多边形的面积，那么S＝n÷2
• 数学五年级下册
  • 一、 简易方程
    • 早在3600多年前，古埃及人和古巴比伦人已经能用方程解决数学问题。 我国的《九章算术》中也记载了用一组方程解决实际问题的方法。 700多年前，我国数学家李冶在解决问题的过程中系统地应用并发展了“天元术”。“天元术”是一种用数学符号列方程的方法。“天元”相当于现在的未知数，“立天元一为某某”就相当于现在的用x表示实际问题中的未知数。 14世纪初，我国数学家朱世杰又创立了“四元术”（“四元”指天、地、人、物，相当于4个未知数，如a、b、c、d），这是我国古代数学的一次飞跃。
    • 像 x + 50 = 150、 2 x = 200 这样含有未知数的等式是方程。
      • 等式和方程的关系
    • 等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。这是等式的性质。
    • 等式两边同时乘或除以同一个不是0的数，所得结果仍然是等式。这也是等式的性质。
    • 使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解，求方程的解的过程叫作解方程。
    • 我国测量温度常用°C（摄氏度）作单位，有时还使用°F（华氏度）作单位。华氏温度和摄氏温度可以用下面的公式进行换算：华氏温度=摄氏温度×1.8+32
  • 二、 折线统计图
  • 三、 因数与倍数
    • 200多年前，德国的数学家哥德巴赫发现每一个大于4的偶数都可以表示成两个奇质数之和，例如，6=3+3，8=3+5，10=5+5，12=5+7。通过举例检验是完全可信的，但他却无法在理论上加以证明。于是，哥德巴赫于1742年6月7日写信给当时世界上最优秀的大数学家欧拉，请他帮助解决这个问题。欧拉回信表示：这个问题我虽然不能证明，但我确信它是正确的。同时，欧拉又补充指出：任何大于2的偶数都是两个质数之和。后来，这两个命题被合称为“哥德巴赫猜想”。 人们通常把数学誉为科学的皇后，而数论（研究自然数性质的数学分支）是数学的皇冠。由于哥德巴赫猜想的证明难度实在太高了，人们把这个猜想比喻为“数学皇冠上的明珠”。在摘取“明珠”的过程中，我国数学家做出了重要的贡献。1958~1962年，王元和潘承洞的研究取得了重大进展。1966年，陈景润更上一层楼，在“哥德巴赫猜想”的研究上取得了更加显著的进展，轰动了国内外数学界。他的研究成果被公认为最具有突破性和创造性，“是当代在哥德巴赫猜想的研究方面最好的成果”。
    • 4×3=12，4和3都是12的因数，12是4的倍数，也是3的倍数。研究因数与倍数时，所说的数一般指不是0的自然数。12的因数有1，2，3，4，6，12。12的倍数有12，24，…
      • 一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身。
        • 6的因数有1，2，3，6，这几个因数之间的关系是：1+2+3=6。像6这样的数叫作完全数（也叫作完美数）。 公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯已经知道6和28是完全数。公元1世纪，尼克马修斯发现第3、4个完全数是496、8128。而第5个完全数直到1000多年后的15世纪才被发现，为33550336。 随着计算机的问世，寻找完全数的工作有了较大进展。目前一共发现的51个完全数都是偶数，个位上都是6或8
          • 大数学家欧拉曾推算出完全数的获得公式：如果p是质数，且2^p-1也是质数，那么（2^p-1）X2^（p-1）便是一个完全数。 例如p=2，是一个质数，2^p-1=3也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=3X2=6，是完全数。 例如p=3，是一个质数，2^p-1=7也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=7X4=28，是完全数。 例如p=5，是一个质数，2^p-1=31也是质数，（2^p-1）X2^（p-1）=31X16=496是完全数。 但是2^p-1什么条件下才是质数呢?事实上，当2^p-1是质数的时候，称其为梅森素数。
          • 1+2+3=6
          • 1+2+4+7+14=28
          • 1+2+4+8+16+31+62+124+248=496
          • 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1016+2032+4064=8128
      • 一个数的因数的个数是有限的。
      • 一个数的最小倍数是它本身，没有最大的倍数。
        • 5的倍数，个位上是5或0。
        • 2的倍数，个位上是2、4、6、8或0。
        • 3的倍数，它各位上数的和一定是3的倍数。
        • 同时是2、3、5的倍数的特征：各位上的数字的和是3的倍数，并且个位上是0的数。2、3、5的最小公倍数是30。
      • 一个数的倍数的个数是无限的。
    • 1、2、3和6既是12的因数，又是18的因数，它们是12和18的公因数。
    • 8和12的公因数有1，2，4，其中最大的是4。4就是8和12的最大公因数。
    • 6，12，18，24，...既是2的倍数，又是3的倍数，它们是2和3的公倍数。
    • 6和9的公倍数有18，36，54，...其中最小的是18，18就是6和9的最小公倍数。
    • 是2的倍数的数叫作偶数，不是2的倍数的数叫作奇（jī）数。
      • 和与积的奇偶性
        • 两个偶数相加的和是偶数，两个奇数相加的和也是偶数。 一个奇数与一个偶数相加，和是奇数。 和是奇数或偶数，与两个加数是奇数还是偶数有关系。
          • 奇数±奇数=偶数；偶数±偶数=偶数；奇数±偶数=奇数。 （妙记：同性为偶，异性为奇，和差同性）
        • 乘数都是奇数，积也是奇数； 乘数都是偶数，积也是偶数。 几个乘数中，只要有一个偶数，积一定是偶数。
          • 奇数×奇数=奇数；偶数×偶数=偶数；奇数×偶数=偶数。
          • 奇数的n次幂为奇数；偶数的n次幂为偶数。
    • 2、3、5这几个数只有1和它本身两个因数，像这样的数叫作质数（或素数）。
    • 6、8、9这几个数除了1和它本身还有别的因数，像这样的数叫作合数。
    • 1 的因数只有 1 个。1既不是质数，也不是合数。
    • 如果一个数的因数是质数，这个因数就是它的质因数。
      • 1没有质因子。
      • 5只有1个质因子，5本身。（5是质数）
      • 6的质因子是2和3。(6 = 2 × 3)
      • 2、4、8、16等只有1个质因子：2。（2是质数，4 =2²，8 = 2³，如此类推）
      • 10有2个质因子：2和5。(10 = 2 × 5)
    • 把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。
      • 短除法分解质因数
        • 塔式分解质因数
          • 把每个除数和最后的商写成连乘的形式： 30 = 2 × 3 × 5。
  • 四、 分数的意义和性质
    • 一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数1来表示，通常我们把它叫作单位“1”。
    • 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫作分数。表示其中一份的数，叫作分数单位。
      • 子比分母小的分数叫作真分数。
      • 分子比分母大或者分子和分母相等的分数叫作假分数。
        • 能化成整数的假分数，分子都是分母的倍数。
        • 分子不是分母倍数的假分数，可以写成整数和真分数合成的数。这样的假分数通常叫作带分数。例如，4/3可以看作是3/3（就是1）和1/3合成的数，写作如右图，读作一又三分之一。
      • 分数的分子和分母同时乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。这是分数的基本性质。
        • 一个分数，有无数个与它相等的分数。
      • 像这样，把一个分数化成同它相等，但分子、分母都比较小的分数，叫作约分。约分时，可以写成下面这样的形式
        • 也可以分别直接除以12和6的最大公因数6。
          • 或者直接写成：
      • 1/2的分子、分母只有公因数 1，像这样的分数叫作最简分数。约分时，通常要约成最简分数
      • 把几个分母不同的分数（也叫作异分母分数）分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫作通分。相同的分母叫作这几个分数的公分母。通分时，一般用原来几个分母的最小公倍数作公分母。
    • 分数与除法的关系
      • 被除数相当于分数的分子，除数相当于分数的分母。
        • 被除数 ÷ 除数 =
    • 球的反弹高度
      • 同一种球的弹性主要取决于球内部所受到的压力，而压力的大小与球内充进的空气多少有关。在进行正式球类比赛时，对球的弹性都有明确的规定。例如，比赛用的篮球，从1.8米的高度自由落下后，第一次反弹的高度应大于1.2米、小于1.4米。
  • 五、 分数加法和减法
  • 六、 圆
    • 画圆时，针尖固定的一点是圆心，通常用字母O表示；连接圆心和圆上任意一点的线段（如OA）是半径，通常用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段（如BC）是直径，通常用字母d表示。
      • 圆的半径和直径都可以画无数条。
      • 在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径也相等。
      • 在同一个圆里，直径的长度是半径的2倍。d = 2r 或 r = d/2
    • 上面各圆中的涂色部分都是扇形。
    • 右图中A、B两点之间的曲线是弧，它是圆的一部分。像图中∠1那样，顶点在圆心的角叫作圆心角。
    • 英寸是英制长度单位。在生活中，人们习惯用英寸作单位来表示自行车车轮的规格。26英寸≈66厘米，24英寸≈61厘米，22英寸≈56厘米。
      • 1 英寸=2.54 厘米
    • 实际上，任何一个圆的周长除以直径的商都是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母p（pài）表示。p是一个无限不循环小数。p=3.141592653…
      • 
      • 在计算时，一般保留两位小数，取它的近似值3.14。如果用C表示圆的周长，那么周长C与直径d或半径r的关系是：C=pd 或 C=2pr
      • 圆的面积 S = pr ×r=pr²
  • 七、 解决问题的策略
• 数学六年级上册
  • 一、 长方体和正方体
    • 两个面相交的线叫作棱，三条棱相交的点叫作顶点。
    • 长方体的面是长方形（也可能有2个相对的面是正方形），相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
    • 长方体相交于同一顶点的三条棱的长度，分别叫作它的长、宽、高。
    • 正方体是特殊的长方体。关系如图：
    • 长方体（或正方体）6个面的总面积，叫作它的表面积。
    • 物体所占空间的大小叫作物体的体积。
      • 为了准确测量或计量体积的大小，要用统一的体积单位。常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm³、dm³和m³。
        • 1 立方米=1000 立方分米=1000 000 立方厘米
      • 计量容积，一般就用体积单位。计量液体的体积，通常用升或毫升作单位。容积是1立方分米的容器，正好盛水1升。容积是1立方厘米的容器，正好盛水1毫升。
        • 1 立方分米 = 1 升
        • 1 立方厘米 = 1 毫升
        • 1 升=1000 毫升
      • 长方体的体积 = 长 × 宽 × 高
        • 如果用V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，上面的公式可以写成：V = a b h
      • 正方体的体积 = 棱长 × 棱长 × 棱长
        • 如果用V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，上面的公式可以写成：V=a•a•a=a³，读作a的立方。a³表示三个a相乘。正方体的体积公式一般写成：V=a³
      • 长方体（或正方体）的体积 =底面积 × 高
        • 如果用 S 表示底面积， 前面的公式可以写成：V = S h
    • 长方体和正方体底面的面积， 叫作它们的底面积。
      • 长方体的底面积 = 长 × 宽
      • 正方体的底面积 = 棱长 × 棱长
    • 表面涂色的正方体
      • 3面涂色的小正方体都在大正方体顶点的位置，都是8个。
      • 2面涂色的小正方体的个数都是12的倍数。
      • 1面涂色的小正方体的个数都是6的倍数。
      • 如果用n表示把大正方体的棱平均分的份数，用a、b分别表示2面涂色和1面涂色的小正方体个数。则 a = 12 ( n - 2 ) , b = 6 ( n - 2 )²
  • 二、 分数乘法
    • 先约分， 再计算
    • 乘积是 1 的两个数互为倒数。
      • 如，3/8 和 8/3 互为倒数， 也可以说 3/8 的倒数是 8/3，8/3 的倒数是 3/8。
  • 三、 分数除法
    • 分数除以整数，可以转化成乘法计算。分数除以整数，等于分数乘这个整数的倒数。
    • 整数除以分数都可以转化成乘法计算。整数除以分数，等于整数乘这个分数的倒数。
    • 甲数除以乙数（0 除外）， 等于甲数乘乙数的倒数。
    • 两个数量之间的这种关系还可以说成：
      • 果汁与牛奶杯数的比是 2 比 3；
      • 牛奶与果汁杯数的比是 3 比 2。
      • 2 比 3 记作 2 : 3； 3 比 2 记作 3 : 2。
        • ”：”是比号，比号前面的数叫作比的前项，比号后面的数叫作比的后项。
    • 速度 = 路程 ÷ 时间
      • 也可以用比表示：即路程与时间的比是 S: t
    • 两个数相除的关系可以用分数表示。
    • 两个数相除的关系可以用两个数的比来表示。
    • 两个数相除又可以叫作两个数的比。比的前项除以后项所得的商叫作比值。 a:b读作a比b。
    • 比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。这是比的基本性质。
    • 黄金比的比值约等于 0.618。
    • 树叶中的比
  • 四、 解决问题的策略
  • 五、 分数四则混合运算
    • 分数四则混合运算的运算顺序与整数相同。
    • 整数的运算律对于分数同样适用。
  • 六、 百分数
    • 为了便于统计和比较，通常把这些分数化成分母是100的分数。 百分数通常不写成分数形式， 而在原来的分子后面加上百分号“%” 来表示。
      • 像这样表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫作百分数。百分数又叫作百分比或百分率。
        • 例如： 64/100 写作 64%， 读作百分之六十四。
      • 计算中遇到除不尽时，一般保留三位小数（即在百分号前面保留一位小数）。
        • 2 / 7= 2 ÷ 7 ≈ 0.286 = 28.6%
    • 利息 = 本金 × 利率 × 时间
      • 储蓄主要有定期和活期两种。存入银行的钱叫作本金。取款时银行除还给本金外，另外付的钱叫作利息。利息占本金的百分率叫作利率，按年计算的叫作年利率。银行存款利率有时会根据国家经济的发展变化而有所调整。
    • 原价 × 折扣数 = 实际售价
      • 中国：商店有时要把商品按原价的百分之几出售，通常称为打折出售。“八折”就是原价的80%，“八五折”就是原价的85%
      • 日本：“割引”与我国的“折扣”不是一个概念，9折=1割引 日本折扣的標示＝減去的折數
        • 3割引(わりびき)＝再減去30％的金額=打7折
    • 互联网的普及
      • 互联网普及率是指某个地区（或国家）的互联网上网人数与该地区（或国家）的人口总数的比。
• 数学六年级下册
  • 一、 扇形统计图
    • 要想清楚地看出各部分数量与总数量之间的关系，可以选择扇形统计图。
    • 要反映数量的增减变化情况，可以选择折线统计图。
    • 要想直观地看出数量的多少，可以选择条形统计图。
  • 二、 圆柱和圆锥
    • 圆柱体简称圆柱。（以直圆柱为例讲解）
      • 圆柱的上、下两个面叫作底面，围成圆柱的曲面叫作侧面，两个底面之间的距离叫作高。
      • 长方形的长等于圆柱的底面周长。长方形的宽等于圆柱的高。圆柱的侧面积 等于底面周长乘高。
      • 圆柱的侧面积与两个底面积的和， 叫作圆柱的表面积。
      • 圆柱的体积 =底面积 × 高
        • 如果用V表示圆柱的体积，S表示圆柱的底面积，h表示圆柱的高，圆柱的体积公式可以写成：V = Sh
    • 圆锥体， 简称圆锥。（以直圆锥为例讲解）
      • 圆锥的底面是一个圆，侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。
      • 圆锥的体积是与它等底等高圆柱体积的 1/3。
        • 圆锥的体积 =底面积 × 高 ×
          • 如果用V表示圆锥的体积，S表示圆锥的底面积，h表示圆锥的高，圆锥的体积公式可以写成：V=1/3 S h
  • 三、 解决问题的策略
    • ”鸡兔同笼”问题是我国古代的数学名题之一。它出自唐代的《孙子算经》。书中的题目是这样的：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？ 23只鸡，12只兔子。
  • 四、 比例
    • 这两个比化简后都是 8： 5，它们的比值都是 1.6
      • 这两个比相等，可以写成右侧的等式： 表示两个比相等的式子叫作比例。
        • 组成比例的四个数，叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。例如：
          • 两个外项的积与两个内项的积相等。 6 × 2 = 3 × 4
          • 如果用字母表示比例的四个项，即a：b=c：d，那么这个规律可以表示成：
            • a × d = b × c
            • 在比例里， 两个外项的积等于两个内项的积， 这叫作比例的基本性质。
        • 6 : 4 = 13.5 : x 像上面这样求比例中的未知项， 叫作解比例。
        • 一幅图的图上距离和实际距离的比， 叫作这幅图的比例尺。
          • 图上距离 : 实际距离 = 比例尺
          • 比例尺 1： 1000， 表示图上距离是实际距离的 1/1000
          • 比例尺 1： 1000， 表示实际距离是图上距离的 1000 倍
          • 比例尺 1： 1000 还可以这样表示
          • 按照国家规定的标准、图示和比例尺绘制的地图叫作国家基本比例尺地图。我国的国家基本比例尺地图的比例尺有以下11种：1:500，1:1000，1:2000，1:5000，1:10000，1:25000，1:50000，1:100000，1:200000，1:500000，1:1000000。
    • 面积的变化
      • 如果把一个图形按 n :1 的比放大，放大后与放大前图形的面积比是n² : 1。放大后与放大前图形的体积比是n³ : 1。
  • 五、 确定位置
    • 东北方向也叫作北偏东，西北方向也叫作北偏西。
  • 六、 正比例和反比例
    • 如果用 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的比值，正比例关系可以用右侧的式子表示：
      • 路程/时间 = 速度（一定）
        • 路程和时间是两种相关联的量，时间变化，路程也随着变化。当路程和相对应时间的比的比值总是一定（也就是速度一定）时，行驶的路程和时间成正比例关系，行驶的路程和时间是成正比例的量。
    • 如果用 x 和 y 表示两种相关联的量，用 k 表示它们的积，反比例关系可以用下面的式子表示：x × y = k（一定）
      • 单价 × 数量 = 总价（一定）
        • 单价和数量是两种相关联的量，单价变化，数量也随着变化。当单价和数量的积总是一定（也就是总价一定）时，笔记本的单价和购买的数量成反比例关系，笔记本的单价和购买的数量是成反比例的量。
    • 大树有多高
      • 在同一时间、同一地点，物体的高度和影长成正比例。
  • 七、 总复习
    • 1. 数与代数
    • 2. 图形与几何
    • 3. 统计与可能性
  • 八、 制订旅游计划
  • 九、 绘制平面图

义务教育教科书•数学 （苏科版）

• 数学七年级上·下册
  • 1. 第1章　数学与我们同行
    • 宇宙之大,粒子之微, 火箭之速,化工之巧, 地球之变,生物之谜, 日用之繁,无处不用数学 . ———华罗庚
    • 1.1. 生活　数学
      • 身份证号码信息　
        • 某人的身份证号码是32038119881113××××，其中32、03、81是此人所属的省(市、自治区)、市、县(市、区)的编码，1988、11、13是此人出生的年、月、日，××××中前三个数字是顺序码，最后一个数字是校验码。 1-2位为省、自治区、直辖市代码； 3-4位为地级市、盟、自治州代码； 5-6位为县、县级市、区代码； 7-14位为出生年月日，比如19670401代表1967年4月1日出生； 15-17位为顺序码，是同一地址码所标示的区域范围内，对同年同月同日生的居民编订的顺序码。其中第17位表示性别，男性为单数，女性为双数； 18位为作为尾号的校验码，是由号码编制单位按照统一公式，通过前17位数字计算出来的。校检码可以是0~9的数字，有时也用x表示，代表10。
        • 奥林匹克五环旗
          • 奥林匹克五环旗也告诉了我们很多信息.在长方形的旗帜上有5个大小相同、颜色不同的圆环,环环相扣,象征五大洲的团结,体现“和平、友谊、进步”的奥林匹克宗旨。 奥林匹克标志（Olympic Logo）是由《奥林匹克宪章》确定的，也被称乘为奥运五环标志。它由5个奥林匹克环套接组成,可以是单色，也可以是蓝、黄、黑、绿、红5种颜色。环从左到右互相套接，上面是蓝、黑、红环，下面是是黄、绿环。整个造形为一个底部小的规则梯形。奥林匹克标志象征五大洲和全世界的运动员在奥运会上相聚一堂，充分体现了奥林匹克主义的内容," 所有国家—一所有民族"的“奥林匹大家庭"主题。 奥林匹克标志最早是根据1913年顾拜旦的提议设计的,起初国际奥委会采用蓝、黄、黑、绿、红色作为五环的颜色,是因为它能代表当时国际奥委会成员国国旗的颜色。 1914年在巴黎召开的庆祝奥运会复兴20周年的奥林匹克全会上,顾拜旦先生解释了他对标志的设计思想:“五环——蓝、黄、绿、红和黑环,象征世界上承认奥林匹克运动,并准备参加奥林匹克竞赛的五大洲,第六种颜色白色——旗帜的底色,意指所有国家都毫无例外地能在自己的旗帜下参加比赛。”因此,作为奥运会象征、相互环扣一起的5个圆环,便体现了顾拜旦提出的可以吸收殖民地民族参加奥运会，为各民族间的和平事业服务的思想。 自1920年第七届安特卫普奥运会起，五环的蓝、黄、黑、绿和红色开始成为五大洲的象征，分别代表欧洲、亚洲、非洲、澳洲和美洲。 随着时间的推移和奥林匹克运动的发展变化，对奥林匹克标志的阐释也出现了变化。根据1991年的最新版的《奥林匹克宪章》"奥林匹克标志"词条的附则补充解释,奥林匹克旗和五环的含义, 不仅象征五大洲的团结,而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见。 《奥林匹克宪章》规定,奥林匹克标志是奥林匹克运动的象征,是国际奥委会的专用标志,未经国际奥委会许可,任何团体或个人不得将其用于广告或其他商业性活动。国际奥委会还要求各国采取必要的措施,保护奥林匹克标志, 以确保奥林匹克运动的权威性, 避免奥林匹克标志被滥用。 
    • 1.2. 活动　思考
      • 商品条形码
        • 条形码是由美国的N.T.Woodland在1949年首先提出的。近年来，随着计算机的不断普及，条形码得到了广泛的应用。商品条形码是商品的“身份证”。如食品、饮料、书籍、彩电、冰箱等商品都印有条形码(也称为“条码”)。 商品条形码是由“条”、“空”及对应数字字符“码”组成的，可以提供商品的生产国、制造厂家、商品名称等信息。 例如，本册课本的条形码(如图)下方从左到右的13个数字中，“978”是图书代码，“7”表示中国出版的图书，“5345”是江苏凤凰科学技术出版社的代号，“9338”表示本册课本在该出版社排列的出版序号，3是校验码。 条形码上方的“ISBN978-7-5345-9338-3”为国际标准书号。其中，“978-7-5345-9338-3”与条形码的数字相同，“ISBN”是标识码，是International Standard Book Numbering(国际标准书号)的缩写。
  • 2. 第2章　有理数
    • 2.1. 正数与负数
      • 早在公元前5世纪我国春秋战国初期,魏国的相国李悝就在《法经》一书中用“不足”来表示亏空. 公元前1世纪,我国古代最重要的数学著作《九章算术》,就论述了有理数的加减运算法则,它是至今发现的世界上最早详细论述“正负术”的数学著作. 公元3世纪,我国数学家刘徽明确指出:“今两算得失相反,要令正负以名之.”就是说对于两个相反意义的量,要用正、负来区别.他还提出“正算赤,负算黑,否则以邪正为异”,即用红筹表示正数,黑筹表示负数,不然的话就将算筹正放或斜放以区别正、负数,并给出了正确处理正、负数乘除运算的实例. 公元1299年,我国元代数学家朱世杰在《算学启蒙》中给出了正、负数的乘除法则. 印度最早使用负数是在公元7世纪,他们将小圆点或小圆圈标注在数字上面表示负数. 1629年,荷兰数学家吉拉德(Girard, A.)的负数符号“-”得到公认. 负数的地位最后由德国的魏尔斯特拉斯(Weierstrass, K. T. W.)和意大利的皮亚诺(Peano, G.)在1860年和1889年确立. 人类对负数的认识经历了漫长的历程.
      • 像8848.86、100、357、78这样的数是正数(positive number)；像-154、-38.87、-117.3、-1这样的数是负数(negative number)。 0既不是正数，也不是负数。
        • “+”读作“正”，如“+2/3”读作“正三分之二”，正号通常省略不写；“-”读作“负”，如“-117.3”读作“负一百一十七点三”。
        • °C以上的温度用正数表示，0°C以下的温度用负数表示。日常生活中，许多具有相反意义的量都可以用正数、负数来表示。 高于海平面的高度用正数表示，低于海平面的高度用负数表示； 收入若干元用正数表示，支出若干元用负数表示； ……
      • 正整数、负整数、零统称为整数(integer)。 正分数、负分数统称为分数(fraction)。
    • 2.2. 有理数与无理数
      • 所有整数都可以写成分母是1的分数。 我们把能够写成分数形式m/n(m、n是整数，n≠0)的数叫做有理数(rational number)。 有限小数和循环小数都可以化为分数，它们都是有理数。
        • 如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节。
          • 例如，0.666...的循环节是“6”。像这样的循环小数称为纯循环小数。 写作右图：
            • 纯循环小数化为分数时，分数的分子是它的一个循环节的数字所组成的数，分母则由若干个9组成，9的个数为一个循环节的数字的个数。
              • 例如，
          • 如0.1333...、0.3456456456...的循环节分别为“3”、“456”。像这样的循环小数称为混循环小数。分别写作如右图：
            • 混循环小数可以先化为纯循环小数，然后再化为分数。
              • 例如，
      • 不能够写成m/n(m、n是整数，n≠0)的形式的无限不循环小数叫做无理数(irrational number)。 圆周率 π是无限不循环小数，π是无理数。
    • 2.3. 数轴
      • 画一条水平直线，并在这条直线上取一点表示0，我们把这个点称为原点(origin)。 规定直线上从原点向右为正方向(画箭头表示)，向左为负方向。 取适当长度(如1cm)为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1,2,3 ......从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示-1,-2,-3.....
      • 如右图，像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(number axis)。
        • 面积为2的正方形的边长a 是无理数，在数轴上画出表示a如右图， 以原点为圆心、a为半径,用圆规画出数轴上的一个点A，点A就表示无理数a。
        • 用数轴上的点表示圆周率π。做一个直径为1个单位长度的图片，它的周长为2π×1/2=π。把圆片上的点A放在原点，并把圆片沿数轴无滑动地滚动1周，点A到达点A'的位置，点A'表示的数就是π。
        • 有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数。
        • 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。
    • 2.4. 绝对值与相反数
      • 数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值(absolute value)。 例如，数轴上表示-3的点与原点的距离是3，因此-3的绝对值是3；表示2的点与原点的距离是2，因此2的绝对值是2；表示0的点与原点的距离是0，因此0的绝对值是0。
        • 我们将数a的绝对值记为 | a | 这样 , 如4的绝对值可以写为| 4 | = 4 , | - 3.5 | = 3.5
      • 像5与-5、2.5与-2.5、2/3与-2/3、π与-π......符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数(opposite number)。例如，5与-5互为相反数，其中5是-5的相反数，-5是5的相反数；π的相反数是-π。 0的相反数是0。
        • 表示一个数的相反数可以在这个数的前面添一个“-”号 。如-5的相反数可以表示为 -(-5)，而我们知道 -5 的相反数是 5，所以- (-5)=5。因为+2的相反数是-2，所以 - (+2)=-2。
      • 正数的绝对值是它本身；|+6|=6 负数的绝对值是它的相反数；|-3|=- (-3)=3 0的绝对值是0。|0|=0
      • 求数a的绝对值，首先要分清a是正数、负数，还是0，然后才能正确地写出它的绝对值。
        • 当a是正数时，a的绝对值是它本身，即当a>0时，|a|=a；
        • 当a是0时，a的绝对值是0，即当a=0时，|a|=0；
        • 当a是负数时，a的绝对值是它的相反数，即当a <0时，|a|=-a。
      • 两个正数，绝对值大的正数大； 两个负数，绝对值大的负数小。-9.5< -1.75
    • 2.5. 有理数的加法与减法
      • 有理数加法(addition)法则
        • 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 一个数与0相加，仍得这个数。
      • 有理数加法运算律
        • 交换律：a+b=b+a
        • 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)
      • 日温差：一天中的最高气温与最低气温的差。
      • 有理数减法(subtraction)法则
        • 减去一个数,等于加上这个数的相反数。
      • 根据有理数减法法则，有理数的加减混合运算可以统一为加法 运算。
    • 2.6. 有理数的乘法与除法
      • 有理数乘法(multiplication)法则
        • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 0与任何数相乘都得0。
      • 有理数乘法运算律
        • 交换律：a ×b=b ×a
        • 结合律：(a ×b)×c=a × (b ×c)
        • 分配律：(a+b)×c=a ×c+b ×c
      • 乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数(reciprocal)。
        • 如8与1/8、-7/8与-8/7……
      • 有理数除法(division)法则
        • 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。
        • 因为有理数的除法可以转化为乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则:
          • 两个不等于0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。
    • 2.7. 有理数的乘方
      • 2×2×2×2×2×2记作2⁶,读作“2的6次方“。
        • • 一般地，将n个a相乘记作
            • 读作”a的n次方“
      • 求相同因数的积的运算叫做乘方(power)，相同因数叫做底数(base number)，相同因数的个数叫做指数(exponent)，乘方运算的结果叫幂(power)。 例如，2⁶ 读作 “2的6次方”，2是底数，6是指数。如果把2⁶ 看作乘方运算的结果，这时它表示数，读作“2的6次幂”。
        • 正数的任何次幂都是正数； 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。
        • 特别地，一个数的二次方，也称为这个数的平方(square)； 一个数的三次方，也称为这个数的立方(cube)。
      • “先见闪电，后闻雷声”，那是因为光的传播速度大约为300 000 000m/s，而在常温下，声音在空气中的传播速度大约为340m/s，光的传播速度远远大于声音的传播速度。
      • 一般地，一个大于10的数可以写成
        • 其中1≤a <10，n是正整数。这种记数法称为科学记数法(scientificnotation)。
    • 2.8. 有理数的混合运算
      • 小学里，进行加、减、乘、除混合运算的顺序，是“先乘除，后加 减，如果有括号，先进行括号内的运算”。
      • 含有有理数的加、减、乘、除、乘方运算，像这样的有理数的混合运算，有以下运算顺序：先乘方，后乘除，再加减，如果有括号，先进行括号内的运算。
  • 3. 第3章　代数式
    • 从具体到抽象，我们用字母表示数； 从特殊到一般，我们用代数式揭示数量之间的关系。
    • 3.1. 字母表示数
    • 3.2. 代数式
      • 像a-1、a+6、a+7、40-m+n、0.015m(n-20)、s/t 和2a² 这样的式子都是代数式(algebraic expression)。 单独一个数或一个字母也是代数式。 代数式可以简明地描述许多实际问题中的数量关系。 在代数式中，数字与字母、字母与字母相乘，乘号通常用“ • ”表示或省略不写，并且把数字写在字母的前面，除法运算通常写成分数的形式。
        • 代数式0.55a、0.35b、0.15m、2a、2a²、0.8a和abc 等都是数与字母的积，像这样的代数式叫做单项式。 单独一个数或一个字母也是单项式。
          • 单项式中的数字因数叫做单项式的系数。单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数。如如s/50 的系数是 1/50，次数是1；abc的系数是1，次数是3；1/2πr²的系数是1/2π，次数是2。
        • 几个单项式的和叫做多项式。例如，n-2、0.55a+0.35b、ab+πR²-πr²等都是多项式
          • 多项式中，每个单项式叫做多项式的项；多项式里含有几项，就把这个多项式叫做几项式，其中次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数，不含字母的项叫做常数项。 例如，多项式n-2是二项式，它的次数是1，其中-2是常数项；多项式ab+πR²-πr² 是三项式，它的次数是2。
        • 单项式和多项式统称整式(integralexpression)。
    • 3.3. 代数式的值
      • 一般地，代数式的值随着代数式中字母取值的变化而变化。
    • 3.4. 合并同类项
      • 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项(like terms)。几个常数项也是同类项。
      • 根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项(unite like terms)。
      • 合并同类项法则
        • 同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。
    • 3.5. 去括号
      • 去括号法则
        • 括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里各项的符号都不改变。括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里各项的符号都要改变。
    • 3.6. 整式的加减
      • 进行整式的加减运算时，如果有括号先去括号，再合并同类项。 如：(4a+2b)+ (2a+4b)=4a+2b+2a+4b=6a+6b
      • 归纳：人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语。在数学里，我们也常用这样的方法探求规律。
  • 4. 第4章　一元一次方程
    • 方程,表达数量之间相等关系的“天平”， 是解决实际问题的有效模型。
    • 4.1. 从问题到方程
      • 方程2x+1=5、2x+ (12-x)=20、8+6(n-1)=140，它们都只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数都是1(次)。像这样的方程。叫做一元一次方程(linear equation with one unknown)。
    • 4.2. 解一元一次方程
      • 能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解(solution of equation)。 求方程的解的过程叫做解方程(solvingequation)。
        • 方程中的某些项改变符号后，可以从方程的一边移到另一边，这样的变形叫做移项(movingterms)。
        • 一般地，解一元一次方程的步骤是去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1。通过这些步骤可以将一个一元一次方程转化为x =a的形式。
      • 等式的基本性质
        • 等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。
        • 等式两边都乘(或除以)同一个数 (除数不能是0)，所得结果仍是等式。
    • 4.3. 用一元一次方程解决问题
      • 用一元一次方程解决问题，通常先用字母表示适当的未知数，并用含有这个字母的代数式表示其他相关的量，再根据实际问题中数量之间的相等关系列出方程，然后解这个方程，写出问题的答案。
  • 5. 第5章　走进图形世界
    • 5.1. 丰富的图形世界
      • 圆柱（ircularcylinder）
        • 圆锥（ircularcone）
          • 正方体（cube）
            • 长方体（uboid）
              • 球（phere）
                • 棱柱（prism）
                  • 棱锥（pyramid）
      • 在棱柱、棱锥中，任何相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱。 棱柱的棱与棱的交点叫做棱柱的顶点。 棱锥的各侧棱的公共点叫做棱锥的顶点。 棱柱的侧棱长相等，棱柱的上、下底面是相同的多边形，直棱柱的侧面都是长方形。 棱锥的侧面都是三角形。
      • 几何图形由点(point)、线(line)、面(surface)组成。
    • 5.2. 图形的运动
    • 5.3. 展开与折叠
    • 5.4. 主视图、左视图、俯视图
      • 人们从不同的方向观察某个物体，可以看到不同的图形。一般地，我们把从正面看到的图形，称为主视图；从左面看到的形，称为左视图；从上面看到的图形，称为俯视图。
        • 在生产实践中，通常把俯视图画在主视图的下面，左视图画在主 视图的右面。画三视图时，要使主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等。
  • 6. 第6章　平面图形的认识（一）
    • 6.1. 线段、射线、直线
      • 实践告诉我们一个基本事实：两点之间线段(linesegment)最短。
        • 两点之间线段的长度叫做这两点之间的距离(distance)。
      • 延长图（1）中的线段AB（如图（2）），所得的射线(half line)记作射线AB；再反向延长线段AB（如图（3）），所得的直线(straightline)记作直线AB 或直线BA，也可以记作直线l。
      • 实践告诉我们一个基本事实：两点确定一条直线。
      • 点B把线段AC 分成两条相等的线段AB 和BC，点B 叫做线段AC 的中点(middle point)。
    • 6.2. 角
      • 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角(angle)，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边。如图，点O 是这个角的顶点，OA、OB 是这个角的两条边。 角通常用3个字母及符号 “∠”来表示。图中的角可以表示为∠AOB(表示顶点的字母写在另两个字母中间)，也可以表示为∠α。在不引起混淆的情况下，角还可以用它的顶点字母来表示。如图中的角可以表示为∠O。
      • 角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的 图形。
      • 在射线OA 绕点O 旋转1周的过程中，当终止位置OB(终边)与起始位置OA(始边)成一条直线时(如图(1))，所成的角叫做平角。当OB 与OA 重合时(如图(2))，所成的角叫做周角。
      • 我们常用量角器度量角，常用的度量单位是度、分、秒。
        • 1°的1/60为1分，记作1′，即1°=60′。
        • 1′的1/60为1秒，记作1″，即1′=60″。
      • 射线OC 把∠AOB 分成两个相等的角，射线OC叫做这个角的平分线（angular bisector）。
    • 6.3. 余角、补角、对顶角
      • 如果两个角的和是一个直角，那么这两个角互为余角，简称互余，其中的一个角叫做另一个角的余角（omplementary angle）。∠α=35°，∠β=55°，∠α与∠β互为余角。
      • 如果两个角的和是一个平角，那么这两个角互为补角，简称互补，其中的一个角叫做另一个角的补角(supplementaryangle)。∠α=45°，∠β=135°，∠α与∠β互为补角。
      • 同角(等角)的余角相等。
      • 同角(等角)的补角相等。
      • 小孔成像：我国古代的墨子对光的直线传播、光的反射和物影成像进行了研究。有一次，墨子在堂屋朝阳的地方，让一个人对着小孔站在屋外，在阳光的照射下，屋内相对的墙上出现了倒立人像。墨子对“小孔成像”的现象进行了分析，阐述了光的直线传播原理：由于光的直射，人的头部与足部的成像分别在下边和上边，构成倒影(如图)。这后来成为摄影技术的先声。
        • “小孔成像”中，通过小孔O的两条光线AA'、BB'形成了4个角：∠AOB、∠AOB'、∠A'OB'、∠A'OB，其中OA'是OA的反向延长线，OB'是OB的反向延长线，我们把∠AOB和∠A'OB'叫做对顶角(opposite angles)。∠AOB'和∠A'OB也是对顶角。 对顶角相等。
    • 6.4. 平行
      • 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（parallel lines）。
        • 在图中，两条直线互相平行，记作a∥b 或 AB∥CD。
      • 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
    • 6.5. 垂直
      • 数学活动　测量距离
      • 小结与思考
      • 复习题
      • 如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线(perpendicular line)，它们的交点叫做垂足(foot of a perpendicular)。
        • 在图中，两条直线互相垂直，记作a⊥b 或 AB⊥CD。其中点O 是垂足。
      • 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
      • 如图，点P在直线l外，PO⊥l，垂足为O，PO叫做点P到直线l的垂线段(vertical line segment)。 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离(the distance between a point to astraight line)。图中，垂线段PO 的长度就是点P 到直线l的距离。
  • 7. 第7章　平面图形的认识(二)
    • 7.1. 探索直线平行的条件
      • 如图，在两条直线a、b被第三条直线c所截而成的8个角中，像∠1与∠2这样的一对角称为同位角（orrespondingangles）。
        • 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：同位角相等，两直线平行。
      • 如图，在两条直线a、b被第三条直线c所截而成的8个角中，像∠2与∠7这样的一对角称为内错角(alternate interior angles)，像∠2与∠5这样的一对角称为同旁内角(interior angles on the same side)。
        • 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 简单说成：内错角相等，两直线平行。 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。 简单说成：同旁内角互补，两直线平行。
    • 7.2. 探索平行线的性质
      • 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，或内错角相等，或同旁内角互补，那么这两条直线平行。
      • 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等。 简单说成：两直线平行，同位角相等。 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等。 简单说成：两直线平行，内错角相等。 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
    • 7.3. 图形的平移
      • 在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移(translation)。平移不改变图形的形状、大小。
      • 一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等。
    • 7.4. 认识三角形
      • 如图，BC 是连接B、C 两点的线段，根据基本事实“两点之间 线段最短”，可以得到AB +AC >BC。同样的道理，可以得到AC +BC >AB，AB +BC >AC。 即：三角形的任意两边之和大于第三边。
      • 在三角形中，连接一个顶点与它的对边中点的线段，叫做三角形的中线(median　of　triangle)。 在三角形中，一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线(angular bisector of triangle)。 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高(altitude of triangle)。
        • 例如，在图中，D是BC的中点，线段AD是△ABC的中线；∠BAC的平分线交BC于点E，线段AE是△ABC的角平分线；AF⊥BC，垂足为F，线段AF是△ABC的高。
    • 7.5. 多边形的内角和与外角和
      • 在平面内，由不在同一条直线上的3条或3条以上的线段首尾依次相接组成的图形叫做多边形。
      • 三角形的内角和是180°。
      • n边形的内角和等于 (n-2)·180°。
      • 在图中，把△ABC的边AB延长，得到∠CBD。 在图中，把五边形ABCDE的边AB延长，得到∠CBF。 像这样，多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角。在图中，∠CBD是△ABC的一个外角；∠CBF是五边形ABCDE的一个外角。 在多边形的每个顶点处分别取多边形的一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。
      • 多边形的外角和等于360°。
        • n边形的每个内角与它相邻的外角互补，它们的总和为n·180°。 n·180°- (n-2)·180°=360°
      • 从特殊情形入手
        • 
        • 证明三角形的内角和为180°
        • 证明多边形的外角和为360°
  • 8. 第8章　幂的运算
    • 在规定了零指数幂、 负整数指数幂的意义后，这些运算性质扩展为： 
    • 8.1. 同底数幂的乘法
      • 光在真空中的速度约是3×10⁸ m/s，光在真空中穿行1年的距离称为1光年。
      • 同底数幂相乘，底数不变，指数相加
    • 8.2. 幂的乘方与积的乘方
      • 幂的乘方，底数不变，指数相乘
      • 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
    • 8.3. 同底数幂的除法
      • 同底数幂相除，底数不变，指数相减
      • 一般地，我们规定a⁰=1（a≠0）。任何不等于0的数的0次幂等于1。
      • 一般地，我们规定
        • 任何不等于0的数的-n(n是正整数)次幂，等于这个数的n次幂的倒数。
      • 规定了零指数幂、负整数指数幂的意义后，同底数幂的除法运算性质扩展为：
      • 一般地，用科学记数法可以把一个正数写成右图的形式，其中1≤a<10，n是整数。类似地，一个负数也可以用科学记数法表示。
      • 纳米(记为nm)是长度单位。1nm=10^-9m
        • μm 是长度单位之一，表示微米。1μm =10^-6 m
      • 有关人体的一些数据
        • 
  • 9. 第9章　整式乘法与因式分解
    •  整式乘法与因式分解是既有联系又有区别的两种变形： 
    • 9.1. 单项式乘单项式
      • 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。3a·3b=9ab
    • 9.2. 单项式乘多项式
      • 单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 a(b+c+d)=ab+ac+ad
    • 9.3. 多项式乘多项式
      • 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。(a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad +bc+bd
    • 9.4. 乘法公式
      • 完全平方公式（perfect square formula）： (a+ b)² = a² + 2ab + b² (a - b)² = a² - 2ab + b²
        • 推导： (a+b)² =(a+b)(a+b)=a²+ab+ba+b²=a² +2ab+b² (a-b)²=[a+(-b)]²=a²+2·a·(-b)+(-b)²=a²-2ab+b²
      • 平方差公式（difference of square formula）： (a+b)(a-b)=a² -b²
        • 推导： (a+b)(a-b)=a² -ab+ab-b² =a² -b²
      • 完全平方公式、平方差公式通常叫做乘法公式，在计算时可以直 接使用。
    • 9.5. 多项式的因式分解
      • ab+ac+ad =a(b+c+d)
        • 这个式子的左边是多项式ab+ac+ad，右边是a 与(b+c+d)的乘积。 多 项式ab+ac+ad 各项都含有因式 “a”，像这样的因式称为多项式各项的公因式(common factor)。
      • 一个多项式各项的公因式常常不止一个。通常，当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母应取各项相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的。
        • 例如，多项式9abc-6a²b²+12abc²各项有公因式3ab，它可以写成3ab·3c-3ab·2ab+3ab·4c²，于是9abc-6a²b²+12abc²=3ab(3c-2ab+4c²)。
          • 像这样，把一个多项式写成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解(factoring)。
            • 当多项式的第一项系数为负数时，通常把“-”号作为公因式的符号进行因式分解。
            • 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，把多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
      • a² -b²=(a+b)(a-b)
      • a² + 2ab + b²=(a+ b)² a² - 2ab + b² =(a - b)²
      • 运用平方差公式、完全平方公式，把一个多项式分解因式的方法叫做运用公式法。
      • 通常，把一个多项式分解因式，应先提公因式，再运用公式。进行多项式因式分解时，必须把每一个因式都分解到不能再分解为止。
  • 10. 第10章　二元一次方程组
    • 
    • 10.1. 二元一次方程
      • 方程2x+y=20、2x+3y+10=35，它们都含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1。像这样的方程，叫做二元一次方程(linear equation with two unknowns)。
      • 适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解。如x=8、y=3是方程2x+3y+10=35的一个解，记作
    • 10.2. 二元一次方程组
      • “鸡兔同笼”是我国古代数学名著《孙子算经》中的第31题： “今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问鸡兔各几何?”
        • 设鸡有x只，兔有y只，可以得到关于x、y的两个方程： x+y=35， 2x+4y=94. 鸡和兔的只数必须同时满足这两个方程。把这两个方程联立在一起，可写成
      • 像这样，把含有两个未知数的两个一次方程联立在一起，就组成了一个二元一次方程组(system of linear equations with two unknowns)。
      • 我们把二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。
        •  
    • 10.3. 解二元一次方程组
      • 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代入另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法(elimination by substitution)，简称代入法。
      • 把方程组的两个方程(或先做适当变形)的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。这种解方程组的方法称为加减消元法(elimination by addition or subtraction)，简称加减法。
    • 10.4. 三元一次方程组
      • 像这样，把含有三个未知数的三个一次方程联立在一起，就组成了一个三元一次方程组。
    • 10.5. 用二元一次方程组解决问题
  • 11. 第11章　一元一次不等式
    • 
    • 11.1. 生活中的不等式
      • 像a≤100、x ≥2.9、y ≥3.1、x+2<48、a² >1、1/m ≤5等，用不等号表示不等关系的式子叫做不等式 (inequality)。
    • 11.2. 不等式的解集
      • 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解(solution of inequality)。
      • 一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集(solution set)。例如，比3大的数都是不等式x-3>0的解，不等式x-3>0的解集是x>3；类似地，不等式x-4≤0的解集是x≤4。
      • 求不等式解集的过程叫做解不等式(solving inequality)。
      • 不等式的解集常常可以借助数轴直观地表示出来。
        • 例如，不等式x-3>0的解集x>3可以用数轴上表示3的点的右边部分来表示，如图：这里在数轴上表示3的点的位置画空心圆圈，表示不等式的解集不包含3这个数。
        • 又如，不等式x-4≤0的解集x≤4可以用数轴上表示4的点以及它的左边部分来表示，如图：这里在数轴上表示4的点的位置画实心圆点，表示不等式的解集包含4这个数。
    • 11.3. 不等式的基本性质
      • 一般地，如果a>b，那么a+c>b+c或a-c>b-c.
        • 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
      • 一般地，如果a>b，并且c>0，那么ac>bc；如果a>b，并且c<0，那么ac<bc.
        • 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
      • 根据不等式的基本性质，我们可以对不等式进行适当的变形，把它化为x>a(x≥a)或x<a(x≤a)的形式。
    • 11.4. 解一元一次不等式
      • 不等式x≥2.9、x+2<48、2x<x-3、1/3y+4≥0，它们都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不等于0。像这样的不等式，叫做一元一次不等式(linear inequality with one unknown)。
      • 解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似。但是，在不等式两边都乘(或除以)同一个不等于0的数时，必须分清这个数是正数还是负数，正确地运用不等式的基本性质2。特别要注意，在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，要改变不等号的方向。
    • 11.5. 用一元一次不等式解决问题
    • 11.6. 一元一次不等式组
      • 像这样，把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组(system of linear inequalities with one unknown)。
        •  
        • 在数轴上表示这两个不等式的解集
      • 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集。例如，
      • 求不等式组解集的过程叫做解不等式组。
      • 利用不等式进行估算
  • 12. 第12章　证明
    • 12.1. 定义与命题
      • 人们在说理的时候，常常使用一些名称或术语。对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义(definition)。
      • 我们还经常要判断事物的对与错、是与非、可能与不可能等。判断一件事情的句子叫做命题(proposition)。
        • 在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成。
          • 
        • 如果条件成立，那么结论成立。像这样的命题叫做真命题(true proposition)。
        • 命题的条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立。像这样的命题叫做假命题(false proposition)。
    • 12.2. 证明
      • 2000多年前，古希腊数学家欧几里得(Euclid)对前人在数学上的成果进行了系统整理，把人们公认的一些真命题作为公理，并以此为出发点，用推理的方法证实了一系列命题，编纂成了人类文明史上具有里程碑意义的数学巨著———《原本》。前面，我们曾把一些真命题作为基本事实，并从基本事实出发证实了有关余角、补角、对顶角、平行线的一些结论。 根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明(proof)。经过证明的真命题称为定理(theorem)。
        • 
        • 证明过程必须做到言必有据。证明过程通常包含几个推理，每个推理应包括因、果和由因得果的依据。其中，“因”是已知事项；“果”是推得的结论；“由因得果的依据”是基本事实、定义、已学过的定理以及等式性质、不等式性质等。
        • 一个量用与它相等的量代替叫“等量代换”。
        • “∵”：数学专用术语，表示“因为”的意思。 “∴”（所以）是瑞士数学家Johann Rahn 首先使用的。他在1659年出版的一本数学书《Teusche Algebra 》里以“∴”及“∵”两种符号表示“所以”，其中以“∴”用得较多。
        • 1827年，由剑桥大学出版的欧几里得《几何原本》改为以“∵”表示“因为”，及以“∴”表示“所以”，这种表示方式被沿用至今。
        • 为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫辅助线，辅助线通常画成虚线。
      • 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
        • 由三角形内角和定理，可以推出: 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
        • 像这样，由一个定理直接推出的正确结论，叫做这个定理的推论。 它和定理一样，可以作为进一步证明的依据。
    • 12.3. 互逆命题
      • 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题是另一个命题的逆命题(converse proposition)。把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所以每个命题都有逆命题。
        • 
      • 举出一个符合命题的条件，但命题结论不成立的例子来说明命题是假命题，这样的例子称为反例。数学中，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例。
• 数学八年级上·下册
  • 1. 第1章　全等三角形
    • 1.1. 全等图形
      • 能完全重合的图形叫做全等图形(congruentfigures)。两个图形全等，它们的形状、大小相同。
    • 1.2. 全等三角形
      • 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形(ongruent triangles)。
        • 图中的△ABC和△A'B'C'是全等三角形，记作“△ABC≌△A'B'C'”，读作“△ABC全等于△A'B'C'”。顶点A和A'、B和B'、C和C'叫做对应顶点(corresponding vertices)，AB和A'B'、BC和B'C'、AC与A'C'叫做对应边(corresponding sides)，∠A和∠A'、∠B和∠B'、∠C和∠C'叫做对应角(corresponding angles)。 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上。
      • 全等三角形的对应边相等，对应角相等。
    • 1.3. 探索三角形全等的条件
      • 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)。
        • 
      • 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)。
      • 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)。
      • 推理过程可以用符号 “⇒”简明地表述。
        •   
      • 三边分别相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)。
        • 三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。
        • 四边形不具有稳定性，也就是说，当一个四边形四边的长度确定时，这个四边形的形状、大小不唯一确定。
      • 直角三角形是特殊的三角形，可以用符号 “Rt△”表示。
      • 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)。
      • 两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等。 如图，AB=AB，AC=AD，∠ABC=∠ABD，但△ABC与△ABD却不全等
      • 一边和两角分别相等的两个三角形不一定全等。 如图123，在△ABC的边BC上截取BC'=AC，过点C'画CA的平行线交AB于点A'。在△A'BC'和△ABC中，∠B=∠B，∠BA'C'=∠A，BC'=AC，显然这两个三角形不全等。
  • 2. 第2章　轴对称图形
    • 2.1. 轴对称与轴对称图形
      • 把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称(line symmetry)，这条直线叫做对称轴(axis of symmetry)。
        • 如图，△ABC和△DEF关于直线MN对称，直线MN是对称轴，点A与点D、点B与点E、点C与点F都是关于直线MN的对称点。
      • 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形(axially symmetric figure)，这条直线就是对称轴。
      • 两个图形成轴对称与一个图形是轴对称图形既有区别又有联系。 如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么这个整体就是一个轴对称图形。如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形，那么这两部分图形就成轴对称。
    • 2.2. 轴对称的性质
      • 根据“轴对称”的定义，如果两个图形成轴对称，那么这两个图形能够完全重合，即成轴对称的两个图形全等。
      • 垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线(midpoint perpendicular)。如图，直线l交线段AB于点O，∠1=90°，AO=BO，直线l是线段AB的垂直平分线。
      • 成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。
    • 2.3. 设计轴对称图案
    • 2.4. 线段、角的轴对称性
      • 线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴。
      • 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
      • 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
      • 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。
      • 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
      • 角平分线上的点到角两边的距离相等。
      • 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
    • 2.5. 等腰三角形的轴对称性
      • 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴。
      • 三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
        • 等边三角形是特殊的等腰三角形。
        • 等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。
      • 定理：
        • 等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).
        • 等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.
        • 有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”)
        • 等边三角形的各角都等于60°.
        • 三个角都相等的三角形是等边三角形。
        • 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
        • 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
      • 两腰相等的梯形称为等腰梯形。
        • 等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是它的对称轴。
        • 等腰梯形在同一底上的两个角相等。
        • 等腰梯形的对角线相等。
        • 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形。
        • 对角线相等的梯形是等腰梯形。
  • 3. 第3章　勾股定理
    • 3.1. 勾股定理
      • 勾股定理：直角三角形两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。a² +b² =c²
        • 我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现了“勾三股四弦五”的结论
        • 图的面积=(a+b)²；又可表示为=4×1/2ab+c²。 由(a+b)²=4×1/2ab+c²，可得a²+b²=c²。勾股定理得到验证。
        • 图可看成是由4个直角三角形与1个边长为（b-a）的小正方形组成的。它的面积为：4×1/2ab+(b-a)²=a²+b²；图面积=c²；a²+b²=c²勾股定理得到验证。 公元3世纪，我国数学家赵爽曾用该图验证了勾股定理，这个图形被称为 “弦图”
          • 2002年国际数学家大会在北京召开，为弘扬我国古代数学文明，大会选用了“弦图”作为会标的中心图案。
        • 欧几里得编纂的 《原本》中证明勾股定理的方法： 如图，四边形ABFE、AJKC、BCIH分别是以Rt△ABC的三边为一边的正方形。
          •  
    • 3.2. 勾股定理的逆定理
      • 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 满足关系a²+b²=c²的3个正整数a、b、c称为勾股数。
        • 勾股数有无数多组
    • 3.3. 勾股定理的简单应用
      • 《九章算术》中有一道“折竹”问题:“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何?”题意是：一根竹子原高1丈(1丈=10尺)，中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 解:如图，竹子在点A处折断，竹梢点B着地，△ABC是直角三角形. 设AC=x尺，则AB=(10-x)尺. 由勾股定理，得x²+3²=(10-x)². 解得x=4.55. ∴折断处离地面4.55尺.
      • 1丈=10尺=3.3333333 米
    • 3.4. 数学活动　探寻“勾股数”
      • 由承法公示推导得，(x+y)²-(x-y)²=4xy。设x=m²，y=n²。 (m²+n²)²-(m²-n²)²=(2mn)²于是，当m、n为任意正整数，且m>n时，“m²+n²、m²-n²和2mn”就是勾股数.根据勾股数的这种表达式，就可以找出无数组勾股数。
  • 4. 第4章　实数
    • 有理数、无理数组成了实数集合，实数与数轴上的点一一对应。
    • 4.1. 平方根
      • 使x²=a(a>0)成立的数有两个，它们互为相反数。
      • 如果x²=a(a≥0)，那么x叫做a的平方根(squareroot)，也称为二次方根。正数a的正的平方根记作根号a，负的平方根记作-根号a，正数a的两个平方根记作±根号a，读作正、负根号a。例如，2的平方根记作±根号2。
      • 一个正数有两个平方根 , 它们互为相反数； 0的平方根是 0； 负数没有平方根。
      • 求一个数的平方根的运算叫做开平方(extraction of square root)。
      • 我们知道，正数a有两个平方根±根号a，我们把正数a的正的平方根根号a，叫做a的算术平方根。 0的平方根也叫做0的算术平方根，即根号0=0。
    • 4.2. 立方根
      • 一般地，如果x³=a，那么x叫做a的立方根(cuberoot)，数a的立方根记作如图，读作“三次根号a”。
      • 求一个数的立方根的运算叫做开立方(extraction of cubicroot)。
      • 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是 0。
    • 4.3. 实数
      • 像根号2、根号3、根号5、根号6、根号10、根号13、π、2π等，这些数都是无理数。
      • 无理数可以用数轴上的点来表示。
        • 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点一一对应。
      • 有理数和无理数统称为实数(real number)。
        • 实数分类：
          • 有理数
            • 正有理数
            • 0
            • 负有理数
            • 有限小数或循环小数
          • 无理数
            • 正无理数
            • 负无理数
            • 无限不循环小数
      • 实数与数轴上的点一一对应。
      • 有理数的绝对值、相反数、倒数的意义，有理数大小比较的方法，有理数的运算性质、运算律，在实数范围内都仍然适用。在实数范围内，不仅可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而且可以进行开立方运算以及非负实数的开平方运算。
      • 证明 根号2 是无理数
        • 
    • 4.4. 近似数
      • 生活中，有些数据是准确的，有些数据是近似的.例如，某班有54人，这里54是准确数；全球有40亿人收看了北京奥运会开幕式的电视转播，这里40亿是近似数(approximate number)。
        • 生产、生活中的许多数据都是近似数。比如，用度量工具测出的长度、质量、时间、速度等数据都是近似数......
        • 在数学中，对于像π、根号2、根号3......这样的无理数，计算时应根据具体的要求取它们的近似值。
        • 取一个数的近似值有多种方法，四舍五入法是最常用的一种。用四舍五入法取一个数的近似值时，四舍五入到哪一位，这个近似数就精确到哪一位。
        • 地球上七大洲的总面积约为 149 480 000 km²（精确到 10 000 000 km²） 149 480 000≈150 000 000=1.5×10⁸(km²)
  • 5. 第5章　平面直角坐标系
    • 
    • 5.1. 位置的确定
    • 5.2. 平面直角坐标系
      • 平面内两条互相垂直的数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系(rectangularcoordinates)。水平的数轴称为x轴(x-axis)或横轴，向右为正方向，铅直方向的数轴称为y轴(y-axis)或纵轴，向上为正方向，两轴的交点O是原点(origin)。
      • 在平面直角坐标系中，一对有序实数可以确定一个点的位置；反过来，任意一点的位置都可以用一对有序实数来表示.这样的有序实数对叫做点的坐标(coordinates)。
        • 例如，在图中，点P的坐标为(a，b)，其中a称为点P的横坐标，b称为点P的纵坐标，横坐标写在纵坐标的前面。点的坐标通常与表示该点的大写字母写在一起，如P(a，b)、Q(m，n)。
      • 如图，两条坐标轴将平面分成的4个区域称为象限(quadrant)，按逆时针顺序分别记为第一、二、三、四象限。 坐标轴不属于任何象限。
        • 第一、二、三、四象限内点的坐标符号分别是(+，+)、(-，+)、(-，-)、(+，-)
        • x轴上点的横坐标为任意实数，纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0，纵坐标为任意实数。
        • 坐标平面内任意一点P(a，b)关于x轴、y轴、原点对称的点分别是点P₁(a，-b)、P₂(-a，b)、P₃(-a，-b)
      • 用方位角、 距离描述物体的位置
        • 
  • 6. 第6章　一次函数
    • 
    • 6.1. 函数
      • 函数小史 最早提出函数（function）一词的是德国数学家莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646～1716年）． 瑞士数学家约翰·贝努利（J．Bernoulli，1667～1748年）把函数定义为：凡是由变量x和常量构成的式子都叫做x的函数.首次使用“变量”一词. 瑞士数学家欧拉（L．Euler，1707～1783年）曾给出函数3种定义．由于函数不一定要用式子表示，所以欧拉曾把坐标系中的曲线也叫做函数.他认为“函数是随意画出的一条曲线”. 法国数学家柯西（A．L．Cauchy，1789～1857年）给出了类似于我们课本中的函数定义，并首次使用“自变量”一词. 我国清代数学家李善兰（1811～1882年）在翻译《代数学》一书时，把“function”译成“函数”，并沿用至今。书中说：“凡此变数中函彼变数，则此为彼之函数.”这里“函”是包含的意思.
      • 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量(constant)，可以取不同数值的量叫做变量(variable)。
      • 一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数(function)，x是自变量。
      • 像y=100t、S=8+6(n-1)等表示两个变量之间函数关系的式子称为函数表达式。
      • 在太阳和月球引力的影响下，海水定时涨落的现象称为海洋潮汐，涨落的水位高低称为潮位。
      • 在平面直角坐标系中，以函数的自变量的值为横坐标、对应的函数值为纵坐标的点所组成的图形叫做这个函数的图像(graph)。
    • 6.2. 一次函数
      • 一般地，形如y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的函数叫做一次函数(linear function)，其中x是自变量，y是x的函数。 特别地，当b=0时，y=kx(k为常数，k≠0)，y叫做x的正比例函数(direct proportion function)。
      • 像例2，先写出含有未知系数的函数表达式，再根据条件求出这些未知系数的值，从而确定函数表达式，这样的方法叫做待定系数法。
        • 
    • 6.3. 一次函数的图像
      • 一次函数y=kx+b(k、b为常数，且k≠0)的图像是一条直线。
        • 由于两点确定一条直线，画一次函数的图像时，只要先确定这个图像上两个点的位置，再过这两点画直线就可以了。
      • 在一次函数y=kx+b中： 如果k>0，那么函数值y随自变量x增大而增大； 如果k<0，那么函数值y随自变量x增大而减小。
        • 一般地，正比例函数y=kx的图像是经过原点的一条直线；一次函数y=kx+b的图像可以由正比例函数y=kx的图像向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到。
    • 6.4. 用一次函数解决问题
    • 6.5. 一次函数与二元一次方程
      • 一次函数y=2x-3可以写成二元一次方程2x-y-3=0的形式；反过来，二元一次方程2x-y-3=0可以写成一次函数y=2x-3的形式。
      • 一般地，一次函数y=kx+b的图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y+b=0的解；以二元一次方程kx-y+b=0的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上。
      • 一般地，如果两个一次函数的图像有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。
      • 用一次函数的图像求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图像解法。
        • 
    • 6.6. 一次函数、一元一次方程和一元一次不等式
      • 一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着紧密的联系。已知一次函数的表达式，当其中一个变量的值确定时，可以由相应的一元一次方程确定另一个变量的值；当其中一个变量的取值范围确定时，可以由相应的一元一次不等式确定另一个变量的取值范围。
  • 7. 第7章　数据的收集、整理、描述
    • 7.1. 普查与抽样调查
      • 调查是收集数据的一种重要方法。
      • 新学年开始时，某校对每一位学生的身高进行测量。像这样，为一特定目的而对所有考察对象所做的调查叫做普查(thoroughsurvey)。
      • 为一特定目的而对部分考察对象所做的调查叫做抽样调查(简称抽样)(sampling survey)。
      • 我们把所考察对象的全体叫做总体(population)，把组成总体的每一个考察对象叫做个体(element)，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本(sample)，样本中个体的数目叫做样本容量(sizeofasample)。
      • 普查通过调查总体中每个个体来收集数据，调查的结果准确，但往往花费多，工作量大，而且有些调查也不宜使用普查。抽样调查通过调查样本中每个个体来收集数据，花费较少，工作量较小，便于进行，但样本的抽取是否得当，直接关系到对总体的估计。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意所选样本的代表性。
    • 7.2. 统计图的选用
      • 在扇形统计图中，扇形圆心角 = 该统计项目占总体的百分比×360°.
      • 条形统计图、扇形统计图、折线统计图各有怎样的特点：
        • 条形统计图用宽度相同的“条形”的高度描述各统计项目的数据；
        • 扇形统计图用圆中各扇形的面积描述各统计项目占总体的百分比；
        • 折线统计图用折线描述数据的变化过程和趋势。
        • 在解决实际问题时，应根据实际需要选用合适的统计图。
    • 7.3. 频数和频率
      • 在统计数据时，各个对象出现的次数有多有少，或者说出现的频繁程度不同，某个对象出现的次数称为该对象的频数(absolute frequency)，频数与总次数的比值称为频率(relative frequency)。
    • 7.4. 频数分布表和频数分布直方图
      • 统计频数的表格称为频数分布表(frequencydistributiontable)。 最后，根据频数分布表，用横轴表示各分组数据，用纵轴表示各组数据的频数，绘制条形统计图。
      • 以条形统计图，直观地呈现频数的分布特征和变化规律，称为频数分布直方图(frequency distribution histogram)。
      • 在条形统计图中，横轴表示考察对象的类别，纵轴表示各类对象的数量。在频数分布直方图中，横轴表示考察对象数据的变化范围，纵轴表示相应范围内数据的频数。
  • 8. 第8章　认识概率
    • 8.1. 确定事件与随机事件
      • 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件(impossible event)。例如，“明天太阳从西方升起”是不可能事件。 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件(certain event)。必然事件和不可能事件都是确定事件。
      • 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件(random event)。例如，“抛掷1枚质地均匀的硬币正面朝上”是随机事件。
    • 8.2. 可能性的大小
      • 一般地，随机事件发生的可能性有大有小。
    • 8.3. 频率与概率
      • 随机事件发生的可能性有大有小。一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率(probability)。如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率。
        • 通常规定，必然事件A发生的概率是1，记作P(A)=1；不可能事件A发生的概率是0，记作P(A)=0；随机事件A发生的概率P(A)是0和1之间的一个数。
        • 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的。概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小。
        • 通常，在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定。这个性质称为频率的稳定性。
        • 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动。在实际生活中，人们常把这个常数作为该随机事件发生的概率的估计值。例如，根据统计学家历次做“抛掷质地均匀的硬币试验”的结果，可以估计“正面朝上”的概率为0.5；根据“某批足球质量检验”的结果，可以估计“从这批足球中，任意抽取的一只足球是优等品”的概率为0.95；根据“抛掷图钉试验”的结果，可以估计“钉尖不着地”的概率为0.61。
        • 事实上，在抛掷硬币试验中，假设硬币的质地是均匀的，“正面朝上”与“反面朝上”出现的机会均等，试验的结果就具有等可能性；在抛掷图钉试验中，显然钉帽的质量较大，因而“钉尖着地”与“钉尖不着地”出现的机会不均等，试验的结果不具有等可能性。
  • 9. 第9章　中心对称图形——平行四边形
    • 9.1. 图形的旋转
      • 将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转(circumgyration)。旋转不改变图形的形状、大小。
      • 在图中，点A绕点C旋转到点D，点C称为旋转中心，点A与点D称为对应点，∠ACD是旋转角。类似的，点B与点E是对应点，∠BCE是旋转角。
      • 一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等。
    • 9.2. 中心对称与中心对称图形
      • 一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称(central symmetry)。这个点叫做对称中心(symmetric centre)。如图，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'关于点O对称，点O是对称中心。
      • 一个图形绕着某一点旋转180°是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
      • 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。
      • 把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形(central symmetric figure)。这个点就是它的对称中心。
      • 分形：像雪花曲线这样，局部与整体的形状相同的图形，数学家芒德勃罗(B. B. Mandelbrot)称之为“分形”(fractal)。雪花曲线是分形中的中心对称图形。
        • 画1个等边三角形(如图(1))，将它的3条边三等分，各取中间的一段，并以此为边分别在原三角形外作3个小等边三角形，得图(2)。同样地，分别将图(2)中6个小等边三角形的2条边三等分，并以中间的一段为边向形外分别作12个更小的等边三角形，得图(3)。  依照上述方法不断画下去，这个图形外缘曲线的构造越来越精细，好像一片理想的雪花(如图(4))，所以被称为雪花曲线。 像雪花曲线这样，局部与整体的形状相同的图形，数学家芒德勃罗(B. B. Mandelbrot)称之为“分形”(fractal)。雪花曲线是分形中的中心对称图形。 欣赏一组中心对称的分形图案 
    • 9.3. 平行四边形
      • 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形(parallelogram)。
      • 图中的四边形ABCD是平行四边形，记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”
      • 平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。
      • 定理
        • 平行四边形的对边相等，对角相等，对角线互相平分。
        • 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
        • 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
        • 对角线互相平分的四边形是平行四边形。
      • 提出与结论相反的假设，然后由这个“假设”出发推导出矛盾的结果，说明假设是错误的，因而命题的结论成立。这种证明的方法称为反证法(reduction to absurdity)。
    • 9.4. 矩形、菱形、正方形
      • 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(rectangle)。矩形也叫长方形。
        • 矩形是特殊的平行四边形，是中心对称图形。
        • 矩形是轴对称图形，有两条对称轴。
        • 定理
          • 矩形的四个角都是直角，对角线相等。
          • 三个角是直角的四边形是矩形。
          • 对角线相等的平行四边形是矩形。
      • 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线之间的距离。两条平行线之间的距离处处相等。
      • 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形(hombus)。
        • 菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形。
        • 菱形是轴对称图形，有两条对称轴。
        • 定理
          • 菱形的四条边相等，对角线互相垂直。
          • 四边相等的四边形是菱形。
          • 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
      • 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形(square)。
        • 正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质。
        • 正方形的四条边相等，四个角都是直角。
        • 正方形的对角线相等且互相垂直平分。
        • 定理
          • 有一组邻边相等的矩形是正方形。
          • 有一个角是直角的菱形是正方形。
      • 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系：
    • 9.5. 三角形的中位线
      • 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
      • 定理
        • 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
  • 10. 第10章　分式
    • 10.1. 分式
      • 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么代数式A/B叫做分式(fraction)，其中A是分式的分子，B是分式的分母。 分式的分母不能为0。如果分式中字母所取的值使分母的值为0，那么分式无意义。
        • 分式可以表示现实生活中的一些数量关系。
      • 分式的值随分式中字母取值的变化而变化。用具体的数值代替分式中的字母，按照式子中的运算关系计算，就能得到相应的分式的值。
      • 整式和分式统称为有理式，即有理式
        • 整式
          • 单项式
          • 多项式
        • 分式
    • 10.2. 分式的基本性质
      • 分式的基本性质　分式的分子和分母都乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。其中C是不等于0的整式。
      • 把分式看成分子与分母相除，根据“两数相除，同号得正，异号得负”进行变形。
      • 根据分数的基本性质，可以对分数进行约分。与分数的约分相类似，根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母分别除以它们的公因式，叫做分式的约分(reduction of a fraction)。
        • 通过约分可以把分式化简。
          • 如果一个分式的分子与分母只有公因式1，那么这样的分式叫做最简分式(simplest fraction)。约分通常要把分式化成最简分式或整式。
      • 与分数的约分相类似，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式变形成同分母的分式，叫做分式的通分(reductionoffractionstoadenominator)，变形后的分母叫做这几个分式的公分母。
      • 如果几个分式的分母都是单项式，那么各分母系数(都是整数)的最小公倍数与所有字母的最高次幂的积叫做这几个分式的最简公分母。 通分的关键是确定几个分式的公分母。分式通分时，通常取最简公分母。
    • 10.3. 分式的加减
      • 与同分母分数加减运算的法则类似，同分母分式加减运算的法则是： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。
      • 与异分母分数加减运算的法则类似，异分母分式加减运算的法则是： 异分母的分式相加减，先通分，再加减。
      • 通常，分式相加减所得的结果应化为最简分式或整式。
    • 10.4. 分式的乘除
      • 与分数乘法和除法的运算法则类似，分式乘法、除法的运算法则是： 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母； 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
      • 与分数混合运算类似，分式的加、减、乘、除混合运算的顺序是:先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算。
    • 10.5. 分式方程
      • 
      • 分母中都含有未知数，像这样的方程叫做分式方程(fractional equation)。如：
      • 解分式方程时，在方程的两边同乘各分式的最简公分母，有时可以转化为解一元一次方程。
      • 在图中分式方程的两边同乘3(x-2)后，解得的x=2使所乘整式3(x-2)的值为0，x=2不是原分式方程的根（注：只含有一个未知数的方程的解也称为方程的根），原方程无解。像这样的根叫做原分式方程的增根。（x=2代入原方程，分式的分母为0，没有意义）
      • 由于解分式方程可能产生增根，因此解分式方程必须对解得的根进行检验。
        • 
      • 有时，根据实际问题列出的分式方程虽然有解，但方程的解不符合实际意义，这个实际问题仍无解。
      • 由两个对象具有某些相同的性质，推出它们的其他性质也可能相同的思想方法，称为类比。
        • 在数学中，我们也经常采用类比的思想方法研究问题，探索未知。例如，把分式与分数进行类比，我们得到了分式的基本性质，分式的通分、约分以及分式的加、减、乘、除运算法则。
        • 运用类比的思想方法研究问题时，不仅要关注两类事物的相同点，而且要关注它们的不同点。
  • 11. 第11章　反比例函数
    • 
    • 11.1. 反比例函数
      • 一般地，形如y=k/x(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数(inverse proportional function)，其中x是自变量，y是x的函数。 反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
      • 在国际单位制中，压力的单位为牛(N)，压强为单位面积上所受到的压力，单位为帕斯卡(Pascal)，简称帕(Pa)，1Pa=1N/m²。
    • 11.2. 反比例函数的图像与性质
      • 反比例函数y=k/x(k为常数，k≠0)的图像是双曲线。
        • 当k>0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小； 当k<0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大。 双曲线的两支都无限接近x 轴和y 轴，但与x 轴、y 轴不相交。
        • 反比例函数的两支图像关于原点对称。
      • 动态几何软件
    • 11.3. 用反比例函数解决问题
      • 公元前 3 世纪 , 古希腊学者阿基米德发现了著名的 “ 杠杆原理杠杆平衡时， 阻力 × 阻力臂 = 动力 × 动力臂
      • 生活中的反比例函数
        • 使劲踩气球，气球会爆炸
          • 在温度不变的情况下，气球内气体的压强与它的体积成反比例函数关系。如果使劲踩气球，气球内气体的体积变小，压强增大到足够大时气球就会爆炸。
        • 有的台灯的亮度可以调节
          • 有些电器的功率P与电阻R之间成反比例函数关系：PR=U²(U表示电压，我国生活用电的电压一般为220V)。在电压U保持不变的情况下，调节台灯的电阻，台灯的功率随之发生变化，于是亮度也发生变化。
  • 12. 第12章　二次根式
    • 12.1. 二次根式
      • 一般地，式子根号a(a≥0)叫做二次根式(quadraticradical)，a叫做被开方数。
      • 事实上，根号a(a≥0)是a的算术平方根，根据算术平方根的意义，可知： 当a≥0时，(根号a)²=a。
        • 
      • • 
    • 12.2. 二次根式的乘除
      • 二次根式的乘法运算
        • 
        • 反过来，利用得到的式子可以化简一些二次根式
      • 二次根式运算的结果中，被开方数应不含能开得尽方的因数或因式。
      • 二次根式的除法运算
        •  
        • 反过来，利用得到的式子可以化简一些二次根式
      • 一个根式的被开方数是分数或分式时，只要分子、分母都乘适当的数或式，使分母成为开得尽方的因数或因式，就可以使被开方数中不含分母。例如，当a≥0、b>0时，
      • 当一个式子的分母中有根号时，只要分子、分母都乘适当的数或式，就可以使分母中不含有根号。例如，当a≥0、b>0时，
      • 二次根式运算的结果中，被开方数中应不含有分母，分母中应不含有根号。
      • 一般地，化简二次根式就是使二次根式：
        • (1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;
        • (2)被开方数中不含分母;
        • (3)分母中不含有根号
        • 这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式(simplest quadratic radical)。
    • 12.3. 二次根式的加减
      • 经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式。
      • 二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式。
      • 进行二次根式的混合运算时，整式运算的法则、公式和运算律仍然适用。
      • 互为有理化因式
        • 
        • 两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式。在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号。根号3与根号3互为有理化因式。
  • 13. 课题学习　心率的调查
    • 13.1. 心率
      • 心率是指单位时间内心脏搏动的次数，一般指每分钟的心跳次数。正常的成年人安静时的心率为60~100次/分(平均心率在75次/分左右)，新生儿的心率为130~150次/分，2~4岁儿童的心率为110~120次/分，随着年龄增长儿童的心率逐年减少，14岁以后逐渐接近成年人。
• 数学九年级上·下册
  • 1. 第1章　一元二次方程
    • 1.1. 一元二次方程
      • 方程x²=2、x(19-2x)=24、5(1+x)²=9.8、x²+(x-1)²=25，它们都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2。像这样的方程叫做一元二次方程(quadratic equation with one unknown)。
      • 关于x的一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0(a、b、c是常数，a≠0)。其中，ax²、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别叫做二次项系数、一次项系数。
    • 1.2. 一元二次方程的解法
      • 直接通过求平方根来解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
        •  
      • 把一个一元二次方程变形为(x+h)²=k(h、k为常数)的形式，当k≥0时，就可以用直接开平方法求出方程的解。这种解一元二次方程的方法叫做配方法。
        • 配方的过程可以用拼图直观地表示。
          • 
      • 解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)
        •  
        • 一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根是由方程的各项系数a、b、c确定的，当b²-4ac≥0时，它的实数根是：
          • 韦达定理
        • 当b²-4ac<0时，方程没有实数。
          • 解下列方程：    
        • 这叫做一元二次方程的求根公式。解一元二次方程时，把各项系数的值直接代入这个公式，若b²-4ac≥0，就可以求得方程的根。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。
        • 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的情况如下：
          • 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0). 当b²-4ac>0，有两个不相等的实数根； 当b²-4ac=0，有两个相等的实数根； 当b²-4ac<0，没有实数根。
        • 我们把b²-4ac叫做一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式。符号为：Δ
      • 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。如x²-x=0，将方程的左边分解因式，得x(x-1)=0。 此时x和x-1两个因式中至少有一个为0，即x=0 或 x-1=0，所以x₁=0，x₂=1。
    • 1.3. 一元二次方程的根与系数的关系
      • 
    • 1.4. 用一元二次方程解决问题
      • 各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想———转化，把未知转化为已知。用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程。
        •  
        • 无理方程：根号下含有未知数的方程。
        • 通过 “ 方程两边平方 解方程，有可能产生增根，必须对解得的根进行检验
  • 2. 第2章　对称图形——圆
    • 2.1. 圆
      • 如图，在平面内把线段OP绕着端点O旋转1周，端点P运动所形成的图形叫做圆(circle)。其中，点O叫做圆心(centre of a circle)，线段OP叫做半径(radius)。 以点O 为圆心的圆，记作 “⊙O ”，读作 “圆O“。
      • 圆上的点(如图)到圆心的距离都等于半径，到圆心的距离等于半径的点都在圆上。也就是说，圆是到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合。
        • 圆内的点(如图中的点P1)到圆心的距离都小于半径，到圆心的距离小于半径的点都在圆内。也就是说，圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。圆外的点(如图中的点P2)到圆心的距离都大于半径，到圆心的距离大于半径的点都在圆外。也就是说，圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。
      • 如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么
        • 点P在圆内⇔d<r；
        • 点P在圆上⇔d=r；
        • 点P在圆外⇔d>r
      • 符号 “⇔”读作 “等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。
      • 连接圆上任意两点的线段叫做弦 (chord)。经过圆心的弦叫做直径(diameter)。如图，CD 是⊙O 的弦，AB 是⊙O 的直径。 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)，用符号“︵”表示。如图，以C、D为端点的弧，记作如图的弧CD，读作“弧CD”。
      • 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆。大于半圆的弧叫做优弧(majorarc)，小于半圆的弧叫做劣弧(minorarc)。如图25，弧BAC是优弧，弧BC是劣弧
      • 顶点在圆心的角叫做圆心角(central angle)。如图，∠AOB是圆心角。 圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆(concentriccircles)。能够互相重合的两个圆叫做等圆(equalcircle)。能够互相重合的弧叫做等弧(equalarc)。 同圆或等圆的半径相等。
    • 2.2. 圆的对称性
      • 圆是中心对称图形、轴对称图形，圆心是它的对称中心。
      • 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
      • 圆心角、 弧、 弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
      • 将顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角是1°的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份。我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧。 一般地，n°的圆心角对着n°的弧，n°的弧对着n°的圆心角。
      • 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
      • 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。
      • 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧。
    • 2.3. 确定圆的条件
      • 不在同一条直线上的三点确定一个圆。
      • 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，外接圆的圆心叫做三角形的外心(circumcenter of triangle)，这个三角形叫做圆的内接三角形，如图，⊙O是△ABC的外接圆，△ABC是⊙O的内接三角形。
    • 2.4. 圆周角
      • 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角 (angle in a circular segment)，如图，∠BA₁C、∠BA₂C、∠BA₃C 都是⊙O 中弧BC所对的圆周角。
      • 圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半，同弧或等弧所对的圆周角相等。 因为圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，所以我们也可以说，圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。
        •   
      • 直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
      • 一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆的内接四边形(quadrilateral in a circle)，这个圆叫做四边形的外接圆。如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O是四边形ABCD的外接圆。
      • 定理
        • 圆内接四边形的对角互补。
    • 2.5. 直线与圆的位置关系
      • 直线与圆有两个公共点时，叫做直线与圆相交。 直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的切线(tangent line of a circle)，这个公共点叫做切点(tangent point)。 直线与圆没有公共点时，叫做直线与圆相离。
        • 如果⊙O的半径为r，圆心⊙O到直线l的距离为d，那么 直线l与⊙O相交⇔d<r； 直线l与⊙O相切⇔d=r； 直线l与⊙O相离⇔d>r。
      • 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
      • 圆的切线垂直于经过切点的半径。
      • 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle)。内切圆的圆心叫做三角形的内心(incenter of triangle)，这个三角形叫做圆的外切三角形。如图，⊙O是△ABC的内切圆，△ABC是⊙O的外切三角形。
      • 在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长(length of the tangent)。 于是，我们得到如下定理： 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等。
      • 圆与圆的位置关系
        • 两圆外离
        • 两圆外切
        • 两圆相交
        • 两圆内切
        • 两圆内含
        • 两圆外离⇔d >R+r； 两圆外切⇔d =R+r； 两圆相交⇔R-r<d <R+r(R ≥r)； 两圆内切⇔d =R-r(R >r)； 两圆内含⇔d <R-r(R >r)
    • 2.6. 正多边形与圆
      • 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形(regular polygon)。
      • 一般地，只要用量角器把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各等分点就能得到这个圆的内接正n 边形，这个圆是这个正n 边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径。
      • 正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心 。一个正多边形，如果有偶数条边，那么它又是中心对称图形，对称中心就是这个正多边形的中心。
      • 三角形(特殊的多边形)具有稳定性，边数大于3的多边形不具有稳定性。
    • 2.7. 弧长及扇形的面积
      • 圆上任意两点间的部分叫做弧，一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。弧是圆的一部分，扇面是圆面的一部分。
      • 在半径为R的圆中，弧长l与所对的圆心角度数n之间有如图关系：
        • 在这个关系式中，当R为常数时，l是n的正比例函数；当n为常数时，l是R的正比例函数。
      • 在半径为R的圆中，扇形的面积S扇形与圆心角度数n之间有如下关系：
      • S扇形与l、R之间的数量关系
    • 2.8. 圆锥的侧面积
      • 把连接圆锥的顶点和底面圆上一点的线段叫做圆锥的母线。如图，线段SA 是圆锥的母线。 圆锥的侧面展开图是一个扇形。这个扇形的弧长是圆锥底面圆周长，半径是圆锥的母线长，圆锥的侧面积为：
    • 2.9. 数学活动图形的密铺
      • 图形的密铺：用形状、 大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接， 使图形之间没有空隙， 也没有重叠地铺成一片， 叫做图形的密铺。
  • 3. 第3章　数据的集中趋势和离散程度
    • 3.1. 平均数
      • 一般地，如果有n个数
        • 叫做这n个数的算术平均数(arithmetic mean)，简称为平均数。
          • 通常，平均数可以用来表示一组数据的 “集中趋势“。
          • 当一组数据中的某些数据重复出现时，可用”整理数据，列频数分布表的方式，然后再计算“的方法计算。
          • 当一组数据中的每个数据都较大，并且都接近于某一个数a时，可先将各数据同时减去a，得到一组新数据，再计算这组新数据的平均数，得出x'拔。x拔=x'拔+a
        • 一组数据的平均数，不仅与这组数据中各个数据的值有关，而且与各个数据的 “重要程度”有关 。我们把衡量各个数据 “重要程度”的数值叫做权(weight)。经过加权得到的平均数叫加权平均数。
          • 若n个数
            • x拔的值如图，叫做这n个数的加权平均数。
    • 3.2. 中位数与众数
      • 平均数的大小与一组数据中的每个数据都有关系。 如果一组数据中所有数据的大小差异不大，那么平均数就能较好地反映这组数据的集中趋势。 如果一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大，那么平均数就不能较好地反映这组数据的集中趋势。
      • 一般地，将一组数据按大小顺序排列，如果数据的个数是奇数，那么处于中间位置的数叫做这组数据的中位数(median)；如果数据的个数是偶数，那么处于中间位置的两个数的平均数叫做这组数据的中位数。 当一组数据中个别数据与其他数据的大小差异很大时，通常用中位数来描述这组数据的集中趋势。
      • 一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数(mode)。 当一组数据中有较多的重复数据时，常用众数来描述这组数据的集中趋势。
    • 平均数、中位数和众数都反映了一组数据的集中趋势。 在实际问题中，如何选用平均数、中位数和众数呢？ 平均数、中位数、众数都能刻画数据的集中趋势，在实际应用中，应根据需要恰当地进行选择。
    • 3.3. 用计算器求平均数
    • 3.4. 方差
      • 极差是一组数据中最大值与最小值的差，反映这组数据的变化范围。
        • 在一定程度上描述了这组数据的离散程度。
      • 统计图可以直观地反映了数据的离散程度。
      • 描述一组数据的离散程度，可以采用多种方法。在统计中，常采用下面的方法 （方差）：
        • 用一组数据
          • 来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的方差(variance)。
          • 一组数据的方差越大，说明这组数据的离散程度越大； 一组数据的方差越小，说明这组数据的离散程度越小。
      • 标准差
        • 方差较为精确地反映一组数据相对于平均数的平均偏差，是一个被广泛用来描述数据离散程度的量。但方差以原始数据的单位的平方作为单位，所以在统计中，也用方差的算术平方根，即s来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差(standard deriation)。标准差的单位与原始数据的单位相同。
    • 3.5. 用计算器求方差
    • 3.6. 小结与思考
      • 数据的集中趋势和离散程度
        • 数据的集中趋势
          • 平均数
          • 中位数
          • 众数
        • 数据的离散程度
          • 极差
          • 统计图
          • 方差
          • 标准差
        • 用样本估计总体： 用样本平均数估计总体平均数；用样本方差估计总体方差。
  • 4. 第4章　等可能条件下的概率
    • 摸球、抛硬币......试验的结果具有等可能性， 列举法（包括列表、画树状图）帮助我们计算这类简单事件的概率。 
    • 4.1. 等可能性
      • 一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n 个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现 。如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n 个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性。
    • 4.2. 等可能条件下的概率（一）
      • 一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率。 其中，m表示事件A发生可能出现的结果数，n表示所有等可能出现的结果数。
      • 像图中这样的图称为树状图(tree derivation)，它直观地显示了一个随机事件在一次试验中所有可能的结果.通过列表或画树状图列出这些结果，必须做到既不重复，又不遗漏。
    • 4.3. 等可能条件下的概率（二）
      • 一般地，设试验结果落在某个区域S中每一点的机会均等，如果把“试验结果落在S中的一个小区域M中”记为事件A，那么
      • 概率为0的事件不一定是不可能事。
        • 
    • 4.4. 数学活动　调查“小概率事件”
      • 概率接近于0的事件叫做小概率事件。生活中，通常把概率不超过0.05的事件看成是小概率事件。
        • 小概率事件不是不可能事件。对于一个事件，不论它发生的概率有多小，只要重复试验的次数足够多，这个事件总是可能发生的。例如，体育彩票中奖的概率远小于0.05，但由于买彩票的人足够多，最终总会有人中奖。
  • 5. 第5章　二次函数
    • 一次函数、反比例函数、二次函数......揭示了变量之间的关系； 直线、双曲线、抛物线......直观地显示了函数的性质。
    • 5.1. 二次函数
      • 一般地，形如y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)，其中x是自变量，y是x的函数。 通常，二次函数y=ax²+bx+c的自变量x可以是任意实数。 如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个数量，那么它的取值范围受到实际意义的限制。
    • 5.2. 二次函数的图像和性质
      • 如图，二次函数y=x²、y=-x²的图像都是抛物线(parabola)，且关于y轴对称。抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
      • 二次函数y=ax²的图像是一条抛物线，抛物线的顶点在原点、对称轴是y轴。 当a>0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点； 当a<0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。
      • 二次函数y =ax² 的性质：
        • (1)a>0， 当x<0时，y随x增大而减小； 当x>0时，y随x增大而增大； 当x=0时，y的值最小，最小值是0。
        • (2)a<0， 当x<0时，y随x增大而增大； 当x>0时，y随x增大而减小； 当x=0时，y的值最大，最大值是0。
      • 一般地，二次函数y=ax²+bx+c可以变形为y=a(x+h)²+k的形式：
      • 二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，它的顶点坐标如图，对称轴是过顶点且平行于y轴的直线。
        • a>0，抛物线开口向上，当x=-b/2a时，函数y=ax²+bx+c的值最小，y最小值=(4ac-b²)/(4a).
        • a<0，抛物线开口向下，当x=-b/2a时，函数y=ax²+bx+c的值最大，y最大值=(4ac-b²)/(4a).
      • 用动态几何软件研究二次函数的性质
    • 5.3. 用待定系数法确定二次函数表达式
      • 根据已知条件用待定系数法也可以确定二次函数的表达式。
        • 通常，要确定函数表达式中几个待定的系数，相应地需要几个已知条件，根据这些已知条件列出方程 (组)求解。
    • 5.4. 二次函数与一元二次方程
      • 根据二次函数y=ax²+bx+c与一元二次方程ax²+bx+c=0的关系，我们可以由二次函数y=ax²+bx+c的图像确定一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况。
        • 如果二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根；
        • 如果二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴有且只有一个公共点，那么一元二次方程ax²+bx+c=0有两个相等的实数根；
        • 如果二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴没有公共点，那么一元二次方程ax²+bx+c=0没有实数根。
        • 反过来，根据一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况，可以判断二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴的公共点的个数。
      • 若一元二次方式的根的判别式b²-4ac<0，则该方程没有实数根。该一元二次方程的图像与x轴没有公共点。
    • 5.5. 用二次函数解决问题
      • 把实际问题数学化：我们把一些实际问题中的数量关系抽象成为二次函数，并应用二次函数的有关知识解决这些问题。
        • 如果一个实际问题涉及的因素较多，那么应根据实际需要选择其中的一些主要因素，舍弃次要因素，然后通过抽象建立数学模型，再运用有关的数学知识解决实际问题。应当指出:数学问题的解，需要检验它是否符合实际。如果符合，那么要对解的意义做出解释;如果不符合，那么要建立新的数学模型，重新尝试解决实际问题。
  • 6. 第6章　图形的相似
    • “全等”、“相似”，具有特殊与一般的关系，研究 “相似”，可以有效地解决一些实际问题。
    • 6.1. 图上距离与实际距离
      • 在四条线段中，如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段。
      • 在小学里，我们学习过比例的基本性质：如果a∶b=c∶d，那么ad=bc；反过来，如果ad=bc(b≠0，d≠0)，那么a∶b=c∶d。 在比例式a∶b=b∶c中，b叫做a和c的比例中项。
    • 6.2. 黄金分割
      • 如图，点B 把线段AC 分成两部分，如果BC/AB=AB/AC，那么称线段AC被点B黄金分割（olden section），点B 为线段AC 的黄金分割点。AB与AC（或BC与AB）的比称为黄金比，它们的比值为（根号5-1）/2，在计算时，通常取它的近似值0.618。
    • 6.3. 相似图形
      • 形状相同的图形叫做相似形(similar figures)。
      • 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形(similarpolygons)。
      • 在图中，△ABC与△A'B'C'相似，记作“△ABC∽△A'B'C'”，读作“△ABC相似于△A'B'C'”；在图中，四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，记作“四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'”，读作“四边形ABCD相似于四边形A'B'C'D'”。
        • 表示两个多边形相似，应把对应顶点的字母写在对应的位置上。
      • 相似多边形的对应角相等，对应边成比例。相似多边形的对应边的比叫做相似比(similarity ratio)。
    • 6.4. 探索三角形相似的条件
      • 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。
        • 
      • 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似。
      • 定理：
        • 两角分别相等的两个三角形相似。
        • 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
        • 三边成比例的两个三角形相似。
      • 三角形的三条中线相交于一点,这点叫做三角形的重心（barycenter of a triangle）。
        • 重心是物理学中的一个概念。物理学告诉我们：一个物体的各个部分都受到重力的作用，从效果看，可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这点叫做物体的重心。如果我们用一根手指顶在一块质地均匀的三角形薄板的重心处，这块薄板就能保持平衡。
      • 直觉的误导
        •  
    • 6.5. 相似三角形的性质
      • 定理：
        • 相似三角形周长的比等于相似比。
        • 相似多边形周长的比等于相似比。
        • 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
        • 相似多边形面积的比等于相似比的平方。
        • 相似三角形对应线段的比等于相似比。
          • 对应中线、对应角平分线等对应线段
    • 6.6. 图形的位似
      • 如图，两个多边形的顶点A与A'、B与B'、C与C'……所在的直线都经过同一点O，并且OA'/OA=OB'/OB=OC'/OC=……像这样的两个多边形叫做位似多边形(homothetic polygons)，点O叫做位似中心。
      • 两个位似多边形一定相似，并且它们的对应边互相平行(或在同一条直线上)。利用位似可以把一个图形按所给相似比放大或缩小。
      • 全等形是特殊的相似形。
      • 位似形不仅相似，而且具有“对应边互相平行(或在同一条直线上)，对应顶点所在直线相交于一点”的特殊位置关系。可见，位似形是特殊的相似形。
      • 对全等形、相似形、位似形的研究，我们经历了“由特殊到一般，再由一般到特殊”的认识过程。利用“特殊”与“一般”的关系，常常可以探索、发现、证实结论。
    • 6.7. 用相似三角形解决问题
      • 通常，我们把太阳光看成平行光。在平行光的照射下，物体所产生的影称为平行投影(parallel projection)。
      • 通常，路灯、台灯、手电筒......的光可以看成是从一个点发出的。在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影(central projection)。 一般地，在点光源的照射下，同一个物体在不同的位置，它的物高与影长不成比例。
    • 6.8. 数学活动　测量两地间的距离
      • 
  • 7. 第7章　锐角三角函数
    • 7.1. 正切
      • 一般地，如果锐角A的大小确定。我们可以作出Rt△AB₁C₁、Rt△AB₂C₂、Rt△AB₃C₃…… 那么有Rt△AB₁C₁∽Rt△AB₂C₂∽Rt△AB₃C₃∽…… 根据相似三角形性质，得B₁C₁/AC₁=B₂C₂/AC₂=B₃C₃/AC₃=…… 也就是说，如果直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与邻边的比值也确定。
      • 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。我们把∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tan A，即tan A = ∠A的对边/∠A的邻边=a/b。
    • 7.2. 正弦、余弦
      • 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。 我们把∠A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦(tangent)，记作sin A，即 sin A = ∠A的对边/斜边=a/c。
      • 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°。 我们把∠A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦(tangent)，记作cos A，即 cos A = ∠A的邻边/斜边=b/c。
      • 在Rt△ABC中，a/c、b/c和a/b的值都随∠A的大小变化而变化，都随∠A的大小确定而唯一确定。∠A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数(trigonometric function)。
    • 7.3. 特殊角的三角函数
      • 三角函数值
    • 7.4. 由三角函数值求锐角
      • 当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角。
      • 当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角。
    • 7.5. 解直角三角形
      • 在Rt△ABC中，∠C=90°。∠A、∠B、a、b、c这5个元素之间的数量关系
        • (1)三边之间的关系：a²+b²=c²（勾股定理）；
        • (2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余）；
        • (3)边、角之间的关系：
          • sin A=a/c；
          • cos A=b/c；
          • tan A=a/b；
        • 利用以上关系，如果知道这5个元素中的2个(其中至少有1个是边)，那么就可以求出其余的3个未知元素。由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形。
      • 由直角三角形的边、角中的已知元素，求出所有边、角中的未知元素的过程，叫做解直角三角形。
    • 7.6. 用锐角三角函数解决问题
      • 锐角三角函数揭示了直角三角形的边与角的关系，在许多实际问题中，我们可以根据其中的数量关系或位置关系找出(或构造出)一个直角三角形，利用锐角三角函数的相关知识解决问题。
  • 8. 第8章　统计和概率的简单应用
    • 运用统计、概率知识可以帮助我们做出估计、推断、决策。
    • 8.1. 中学生的视力情况调查
      • 在统计里，我们通常是从总体中抽取样本，并根据样本的某种特性估计总体的相应特性。为了使估计、推断更加准确，抽样时要注意样本的代表性。
      • 一般地，从个体总数为N的总体中抽取容量为n的样本(n<N)，且每次抽取样本时，总体中的每个个体被抽到的可能性相同，这种抽样方法叫做简单随机抽样(simple random sampling)。
    • 8.2. 货比三家
    • 8.3. 统计分析帮你做预测
    • 8.4. 抽签方法合理吗
      • 抽签虽然有先有后，但是先抽的人与后抽的人中签的概率是相同的，这样的抽签方法是合理的。
        •  
    • 8.5. 概率帮你做估计
      • 在科学研究中，生物学家常常用上述方法估计某个种群的数量。例如，某地区野鹿的只数，某山区某种鸟的数量，等等。
    • 8.6. 收取多少保险费才合理
      • 一般地，如果随机事件A发生的概率是P(A)，那么在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数的平均值为n×P(A)。
      • 概率帮你解释实验数据

义务教育教科书•数学 （苏教版）

• 数学必修 第一、二册
  • 1. 第1章　集合
    • 1.1. 集合的概念与表示
      • 一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合（set）。集合中的每一个对象称为该集合的元素（element），简称元。
      • 为书写方便，我们通常用大写拉丁字母来表示集合，例如集合A、集合Ｂ等。
        • 特别地，全体非负整数组成的集合，叫作非负整数集（或自然数集），记作N；
        • 全体正整数组成的集合，叫作正整数集，记作
        • 全体整数组成的集合，叫作整数集，记作Z；
        • 全体有理数组成的集合，叫作有理数集，记作Q；
        • 全体实数组成的集合，叫作实数集，记作R.
      • 集合的元素常用小写拉丁字母表示。如果a是集合A的元素，那么就记作a∈A，读作“a属于A”，例如，根号２∈R；如果a不是集合A的元素，那么就记作如图，读作“a不属于A”.
      • 列举法和描述法是表示集合的常用方式。
        • 
        • 列举法
          • 将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“｛｝”内，例如｛北京，天津，上海，重庆｝，｛y，o，u，n，g｝。用这种方法表示集合，元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关。
        • 描述法
          • 将集合的所有元素都具有的性质（满足的条件）表示出来，写成｛ｘ｜ｐ(x)｝的形式，如｛ｘ｜x为中国的直辖市｝，｛ｘ｜x为young中的字母｝，｛ｘ｜x<-3，x∈R｝.
        • 为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为 Venn 图，例如右图
      • 从上面的讨论中，我们可以看到，集合是由元素唯一确定的．对于给定的a和集合A，我们能够判定a∈A，还是a∉A。如果两个集合所含的元素完全相同（即A 中的元素都是B 的元素，B 中的元素也都是A 的元素），那么称这两个集合相等，例如 ｛北京，天津，上海，重庆｝=｛上海，北京，天津，重庆｝
      • 一般地，含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集。
      • 我们把不含任何元素的集合称为空集，记作Ø。例如，集合｛ｘ｜x²+x+1=0，x∈R｝就是空集。
    • 1.2. 子集、全集、补集
      • 如果集合Ａ的任意一个元素都是集合Ｂ的元素（若a∈A，则a∈B），那么集合 A 称为集合Ｂ的子集（subset），记为Ａ⊆Ｂ或Ｂ⊇Ａ，读作“集合Ａ包含于集合Ｂ”或“集合Ｂ包含集合Ａ”。
        • 根据子集的定义，我们知道Ａ⊆Ａ。也就是说，任何一个集合是它本身的子集。
        • 对于空集Ø，我们规定Ø⊆Ａ，即空集是任何集合的子集。
      • 如果Ａ⊆Ｂ，并且A≠Ｂ，那么集合称为集合的真子集（proper subset），记为Ａ⫋Ｂ或Ｂ⫌Ａ，读作“Ａ真包含于Ｂ”或“Ｂ真包含Ａ”，如｛a｝⫋｛a，b｝。
      • 设Ａ⊆Ｓ，由Ｓ中不属于Ａ的所有元素组成的集合称为Ｓ的子集Ａ的补集，记为 ∁sA（读作“Ａ在Ｓ中的补集”），即 ∁sA=｛x|x∈S，且x∉A｝. ∁sA可用图中的阴影部分来表示。
      • 如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（universal set），全集通常记作Ｕ。例如，在实数范围内讨论集合时，R便可看作一个全集Ｕ。
    • 1.3. 交集、并集
      • 集合Ａ在集合Ｓ中的补集∁sA是由给定的两个集合Ａ,Ｓ得到的一个新集合。这种由两个给定集合按照某种规则得到一个新集合的过程称为集合的运算。集合的交与并也是常见的两种集合运算。
      • 由所有属于集合Ａ且属于集合Ｂ的元素构成的集合，称为Ａ与Ｂ的交集（intersection set），记作Ａ∩Ｂ（读作“Ａ交Ｂ”），即 Ａ∩Ｂ＝｛ｘ｜ｘ∈Ａ，且ｘ∈Ｂ｝。 Ａ∩Ｂ可用右图中的阴影部分来表示。
        • Ａ∩Ｂ＝Ｂ∩Ａ
        • Ａ∩Ｂ⊆Ａ
        • Ａ∩Ｂ⊆Ｂ
      • 交集Ａ∩Ｂ是由给定的两个集合Ａ，Ｂ经过“运算”而得到的新集合，这种运算称为“交”。而集合间常见的另一种运算是“并”。
      • 由所有属于集合Ａ或者属于集合Ｂ的元素构成的集合，称为Ａ与Ｂ的并集（union set），记作A∪B（读作＂Ａ并Ｂ＂），即 A∪B＝｛ｘ｜ｘ∈Ａ，或ｘ∈Ｂ｝。 A∪B可用右图中的阴影部分来表示。
        • Ａ∪Ｂ＝Ｂ∪Ａ
        • Ａ⊆Ａ∪Ｂ
        • Ａ⊆Ａ∪Ｂ
      • 为了叙述方便，常常会用到“区间”的概念。 设a, b∈R，且a<b，规定： 符号“＋∞”读作“正无穷大”，符号“－∞”读作“负无穷大”。
        • ［ａ，ｂ］＝｛ｘ｜ａ≤ｘ≤ｂ｝，
        • （ａ，ｂ）＝｛ｘ｜ａ＜ｘ＜ｂ｝，
        • ［ａ，ｂ）＝｛ｘ｜ａ≤ｘ＜ｂ｝，
        • （ａ，ｂ］＝｛ｘ｜ａ＜ｘ≤ｂ｝，
        • （ａ，＋∞）＝｛ｘ｜ｘ＞ａ｝，
        • （－∞，ｂ）＝｛ｘ｜ｘ＜ｂ｝，
        • （－∞，＋∞）＝R．
      • ［ａ，ｂ］,（ａ，ｂ）分别叫做闭区间、开区间；［ａ，ｂ）,（ａ，ｂ］叫做半开闭区间；ａ，ｂ叫做相应区间的端点。
    • 1.4. 问题与探究　集合运算的运算律
    • 1.5. 阅读　有限集与无限集
      • 德国数学家康托尔根据人们在计数时运用的“一一对应”思想给出了两个集合“等势”的概念：若两个无限集的元素之间能建立起一一对应，则称这两个集合等势。
      • Ｎ*与Ｎ这两个无限集之间一一对应，如图，于是，Ｎ*与Ｎ等势。通俗地说，它们的元素“一样多”。
  • 2. 第2章　常用逻辑用语
    • 2.1. 命题、定理、定义
      • 在数学中，我们将可判断真假的陈述句叫作命题（proposition）。
        • 数学中，许多命题可表示为“如果p，那么q”或“若p，则q”的形式，其中p 叫作命题的条件，q叫作命题的结论。
      • 在数学中，有些已经被证明为真的命题可以作为推理的依据而直接使用，一般称之为定理（theorem）。
      • 在数学中，我们经常遇到定义（definition）。定义是对某些对象标明符号、指明称谓，或者揭示所研究问题中对象的内涵。例如“两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形”。定义的特点是用已知的对象及关系来解释、刻画陌生的对象，并加以区别，如“平行四边形”就是通过“四边形”与两组“对边”分别“平行”来描述的。
    • 2.2. 充分条件、必要条件、充要条件
      • 一般地，当命题“若p，则q“为真命题时，我们就说”由p可以推出q成立“，记作”p⇒q“，读作”p推出q“；如果命题”若p，则q“为假命题，就说”由p不能推出q成立“，记作”p⇏q“，读作”p不能推出q“。
      • 一般地，当命题”若ｐ，则ｑ“是真命题时，称ｑ是ｐ的必要条件。也就是说，一旦ｑ不成立，ｐ一定也不成立，即ｑ对于ｐ的成立是必要的。
      • 一般地，当命题”若ｐ，则ｑ“是真命题时，称ｐ是ｑ的充分条件。
      • 综上，对于真命题”若ｐ，则ｑ“，即p⇒q时，称ｑ是ｐ的必要条件（necessary condition），也称ｐ是ｑ的充分条件（sufficient condition）。
        • 一旦p 成立，q一定也成立。即p 对q的成立是充分的。
        • 如果q不成立，那么p 一定不成立。即q对p 的成立是必要的。
      • 一般地，如果”p⇒q，且q⇒p“，那么称p是q的充分且必要条件（sufficient and necessary condition），简称为p是q的充要条件，也称q的充要条件是p。
      • 为了方便起见，如果p是q的充要条件，就记作p⇔q，称为”p与q等价“，或”p等价于q“。
      • 不难发现，”⇒“和”⇔“都具有传递性，即
        • 如果p⇒q，q⇒s，那么p⇒s；
        • 如果p⇔q，q⇔s，那么p⇔s。
      • 性质定理是指某类对象具有的具体特征。例如，性质定理“平行四边形的对角线互相平分”表明：“平行四边形”具有“对角线互相平分”的特征，当然还有其他的特征，如“对角相等”“对边相等”“对边平行”等。 这时，我们看到，性质定理具有“必要性”，“对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的必要条件。
      • 判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所有特征。例如，判定定理“对角线互相平分的四边形是平行四边形”表明，只要四边形具有“对角线互相平分”这个特征，就一定具有“平行四边形”的所有特征１，２，３，４...。 这时，我们看到，判定定理具有“充分性”，“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充分条件．图中条件２，３，４...都是“四边形是平行四边形”的充分条件。
      • 进一步，我们看到，“四边形对角线互相平分”是“四边形是平行四边形”的充要条件，即“四边形对角线互相平分”与“四边形是平行四边形”等价，这与平行四边形的定义“两组对边分别平行的四边形”也等价。因此，“对角线互相平分的四边形”也可以作为“平行四边形”的定义。同样地，下列三个命题： 　（１）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； 　（２）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 　（３）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 　其中的任何一个命题都可以作为平行四边形的定义。
    • 2.3. 全称量词命题与存在量词命题
      • “所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量祠（universal quantifier），通常用符号”∀x“表示”对任意x“。
        • 含有全称量词的命题称为全称量词命题（universal proposition）。 一般形式可表示为：∀x∈M，p(x)； 其中，M 为给定的集合，p（x）是一个关于x的语句。
          • 要判定一个全称量词命题为真，必须对给定的集合中的每一个元素，命题都为真；但要判定一个全称量词命题为假，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为假。
      • “存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词（existential quantifier），通常用符号”∃x“表示”存在x“。
        • 有存在量词的命题称为存在量词命题（existential proposition）。 一般形式可表示为：∃x∈M，p(x)； 其中，M 为给定的集合，p（x）是一个关于x的语句。
          • 要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为真即可；否则命题为假。
      • 全称量词命题与存在量词命题的否定
        • 一般地，我们有： ”∀x∈M，p(x)“的否定为”∃x∈M，¬p(x)“， ”∃x∈M，p(x)“的否定为”∀x∈M，¬p(x)“。 其中，”¬p(x)“是对语句”p(x)“的否定。
          • 对一个命题进行否定 就得到了一个新的命题，这两个命题的关系是“ 一真一假“或“ 此假彼真”。
        • 一般地，对全称量词命题的否定，主要是对全称量词的否定，“任意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”；对存在量词命题的否定，主要是对存在量词的否定，“存在”“有”的否定分别是“任意”“所有”。
    • 2.4. 问题与探究　“DY三角形”
    • 2.5. 阅读　有趣的悖论
      • 悖论是指逻辑上可以推导出互相矛盾，但表面上又能自圆其说的命题或结论。悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解和认识不够深刻所致。有些悖论是很有趣的，对推动数学发展有一定的促进作用。
        • 芝诺悖论
          • 阿基里斯追一只海龟，若海龟在阿基里斯的前面，尽管阿基里斯奔跑的速度比海龟爬行的速度快，但阿基里斯还是永远追不上海龟。 这是因为阿基里斯必须跑到海龟的出发点A；而当他到达点A时，海龟又向前爬了一段，到达了点B；当阿基里斯到达点B时，海龟又向前爬了一段，到达了点C......如此一直追下去，尽管阿基里斯和海龟的距离在无限地缩小，但永远追不上海龟。
        • 理发师悖论
          • 理发师悖论是数学家罗素给出的。 在萨维尔村，理发师挂出一块招牌“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发”。有人问他“你给不给自己理发？”理发师无言以对。 如果他不给自己理发，他就属于“不给自己理发的人”，他就要给自己理发；如果他给自己理发，那么他就成了“给自己理发的人”，他就不该给自己理发。
      • 悖论有三种主要形式：
        • （1） 一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
        • （2） 一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
        • （3） 一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。
      • 悖论是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论，而这两个结论似乎都能自圆其说。悖论的抽象公式是：若事件A发生，则推导出A不发生；若事件A不发生，则推导出A发生。 悖论促进了数学、逻辑学、语义学等学科的发展。
  • 3. 第3章　不等式
    • 3.1. 不等式的基本性质
      • 当a-b为正数时，称a>b； 当a-b为零时，称a=b； 当a-b为负数时，称a<b.
        • a>b⇔a-b>0； a=b⇔a-b=0； a<b⇔a-b<0.
      • 若a=b且b=c，则a=c；
      • 若a=b，则a±c=b±c；
      • 若a=b，则ac=bc，a/c=b/c（c≠0）.
      • 性质1
        • 若a>b，则b<a.
      • 性质2
        • 若a>b，b>c，则a>c.
      • 性质3
        • 若a>b，则a+c>b+c.
          • 本性质告诉我们，不等式两边都加上（或都减去）同一个实数，不等号的方向不变。利用它可以把不等式中某一项改变符号后，从不等式的一边移到另一边，即 a+b>c ⇔ a>c-b
      • 性质4
        • 若a>b，c>0，则ac>bc;
          • 不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；
        • 若a>b，c<0，则ac<bc.
          • 不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变。
      • 性质5
        • 若a>b，c>d，则a+c>b+d.
          • 本性质告诉我们，两个同向不等式两边分别相加，所得的不等式和原不等式同向。
      • 性质6
        • 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd.
          • 两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向。
      • 以上性质是求解和证明不等式的基础。
    • 3.2. 基本不等式
      • 对于正数a, b，我们把 (a+b)/2称为a，b的算术平均数，图示称为a,b的几何平均数。因此，基本不等式又称为均值不等式。
        • 两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时，两者相等。
      • 基本不等式的证明
        • 证法1：
        • 证法2：
        • 证法3：
      • 如果a，b是正数，那么
        • 我们把该不等式称为基本不等式（均值不等式）（basic inequality）。
      • 当a，b∈R时，由 (a-b)²≥0 可得 a²+b²≥2ab，a²+b²+2ab≥4ab， 即：如图， 当且仅当a=b时，其中的等号成立。
        • 从而得到： 当a，b∈R时，
      • 基本不等式的应用
        • 基本不等式常用于证明一些不等式以及求某些函数的最大值或最小值。
    • 3.3. 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式
      • 从函数观点看一元二次方程
        • 一般地，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根就是二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图像与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的零点。
          • 当a>0时，一元二次方程ax²+bx+c=0的根、二次函数y=ax²+bx+c的图像、二次函数y=ax²+bx+c的零点之间的关系如表所示：
          • 当a<0时，一元二次方程ax²+bx+c=0的根、二次函数y=ax²+bx+c的图像、二次函数y=ax²+bx+c的零点之间的关系如表所示：
      • 从函数观点看一元二次不等式
        • 只含有一个未知数，并且未知数最高次数是 ２ 的整式不等式叫作一元二次不等式。
          • 当a>0时，一元二次不等式和相应的二次函数的联系如表：
          • 当a<0时，通过不等式两边同乘以－１，可将问题转化为二次项 系数为正的情形，利用上表解决。
    • 3.4. 问题与探究　基本不等式的推广
      • 对于３个正数a,b,c，
      • 对于4个正数a,b,c,d，
    • 3.5. 阅读　不等号的演变
  • 4. 第4章　指数与对数
    • 4.1. 指数
      • 根式
        • 如果x²=a，那么x称为a的平方根；如果x³=a，那么x称为a的立方根。
        • 一般地，如果x^n=a（n>1，n∈N*），那么称x为a的n次方根（n-th root）。
          • 当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。这时，a的n次方根只有一个，记为
          • 当n为偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数。
            • 这时，正数a的正的n次方根用如图符号表示：
            • 负的n次方根用如图符号表示：
            • 合并写成如图形式：
          • 0的n次方根等于0.
        • 如图式子叫作根式（radical），其中n叫作根指数，a叫作被开方数。
        • 对于n∈N*，n>1，
          • 当n为奇数时，
          • 当n为偶数时，
      • 指数幂的拓展
        • 给定正数a和正整数m，n（n>1，且m,n互素），若存在唯一的正数b，使得b^n=a^m，则称b为a的m/n次幂，记作如图。这就是正分数指数幂。
        • 一般地，规定
        • 仿照负整数指数幂的意义，我们规定
          • 且０的正分数指数幂为０，０的负分数指数幂没有意义。
        • 有了分数指数幂的意义以后，指数幂的概念就从整数指数推广到有理数指数．对于有理数指数幂，原整数指数幂的运算性质保持不变，即
          • 其中s,t∈Q，a>0，b>0.
        • 一般地，当a>0且x是一个无理数时，a^x也是一个确定的实数。有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用。 这样，指数幂的概念从有理指数幂推广到实数指数幂。
    • 4.2. 对数
      • 对数的概念
        • 一般地，如果
          • 那么就称b是以a为底N的对数（logarithm），记作如图， 其中，a叫作对数的底数，N叫作真数。
            • 由对数的定义可知，这两个等式所表示的是a,b,N这3个量之间的同一个关系。
        • 通常将以10为底的对数称为常用对数（common logarithm）。为了方便起见，对数简记为lg N.
        • 在科学技术中，常常使用以e为底的对数，这种对数称为自然对数（natural logarithm）。e=2.71828…是一个无理数。正数N的自然对数一般简单记为ln N.
      • 对数的运算性质
        • 根据对数的定义，有
        • 其中a>0, a≠1, M>0, N>0, n∈R.
        • • 其中a>0, a≠1, M>0, c>0, c≠1.
    • 4.3. 问题与探究　秘诀在对数
    • 4.4. 阅读　对数概念的形成和发展
  • 5. 第5章　函数概念与性质
    • 5.1. 函数的概念和图象
      • 一般地，给定两个非空实数集合A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的每一个实数x，在集合B中都有唯一的实数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作 　　y=f(x), x∈A. 其中，x叫作自变量，y称为因变量，集合A叫作函数的定义域（domain）。
        • 若A是函数y=f(x)的定义域，则对于A中的每一个x（输入值），都有一个y（输出值）与之对应。我们将所有输出值y组成的集合｛y|y=f(x), x∈A｝称为函数的值域。
      • 由函数定义还可知，虽然两个函数的表达形式不同，但如果其对应关系相同，定义域相同，那么这两个函数就是同一个函数。
      • 如果两个函数的表达式相同，即其对应关系相同，但定义域不同，那么这两个函数就是不同的函数。
      • 给定函数时要指明函数的定义域。对于用表达式表示的函数，如果没有指明定义域，那么，就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合。
      • 狄利克雷函数
        •   
      • 将自变量的一个值X₀的值作为横坐标，相应的函数值f(x₀)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点（x₀，f(x₀)）。当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点。所有这些点组成集合（点集）为 　　｛（x，f(x)）｜x∈A｝， 即｛(x，y)｜y= f(x), x∈A｝， 所有这些点组成的图形就是函数y= f(x)的图像。
    • 5.2. 函数的表示方法
      • 用列表来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法。
        • 不必通过计算就可以知道自变量取某个值时，相应的函数值是多少。
      • 用等式来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法。这个等式通常叫作函数的解析表达式，简称解析式。
        • 便于用解析式研究函数的性质。
      • 用图象表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法。
        • 可以从整体上直观而形象地表示出函数的变化情况。
      • 列表法、解析法、图象法是表示函数的３种常用方法。
      • 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式。像这样的函数，通常叫作分段函数（piecewise function）。
        • 
        • 分段函数是一个函数，而不是几个函数。
    • 5.3. 函数的单调性
      • 一般地，设函数y= f(x)的定义域为A，区间Ｉ ⊆A. 如果对于区间Ｉ内的任意两个值x₁, x₂，当x₁<x₂时，都有 　　f(x₁)<f(x₂)， 那么称y= f(x)在区间Ｉ上单调递增，Ｉ称为y= f(x)的增区间（increasing interval）. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称f(x)是增函数（increasing function）。 如果对于区间Ｉ内的任意两个值x₁, x₂，当x₁<x₂时，都有 　　f(x₁)>f(x₂)， 那么称y= f(x)在区间Ｉ上单调递减，Ｉ称为y= f(x)的减区间（decreasing interval）. 特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，称f(x)是减函数（decreasing function）。
      • 如果函数y= f(x)在区间Ｉ上单调递增或单调递减，那么称函数y= f(x)在区间Ｉ上具有单调性。增区间和减区间统称为单调区间。
      • 一般地， 设 y= f(x) 的定义域为A. 如果存在 x₀∈A，使得对于任意的 x∈A，都有 　　f(x)≤f(x₀)， 那么称 f(x₀) 为 y= f(x) 的最大值（maximum value），记为 　　ymax=f（x₀）； 如果存在 x₀∈A，使得对于任意的 x∈A，都有 　　f(x)≥f(x₀)， 那么称 f(x₀) 为 y= f(x) 的最小值（maximum value），记为 　　ymin=f（x₀）.
      • 立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)
    • 5.4. 函数的奇偶性
      • 一般地， 设函数 y= f(x) 的定义域为A. 如果对于任意的 x∈A，都有 - x∈A，并且 　　f(-x)=f(x)， 那么称函数 y= f(x) 是偶函数（even function）； 如果对于任意的 x∈A，都有 - x∈A，并且 　　f(-x)=-f(x)， 那么称函数 y= f(x) 是奇函数（odd function）；
      • 如果函数 f(x) 是奇函数或偶函数，那么我们称函数 f(x) 具有奇偶性。
      • 根据奇偶性的定义可知，偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
    • 5.5. 映射的概念
      • 一般地，设A,B是两个非空集合，如果按某种对应关系f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，那么这样的对应称为从集合A到集合B的映射（mapping），记为f:A→B．
        • 
    • 5.6. 问题与探究　f(x)+g(x), f(x)g(x)和f(g(x))的单调性
    • 5.7. 阅读　函数概念的形成与发展
  • 6. 第6章　幂函数、指数函数和对数函数
    • 6.1. 幂函数
      • 我们把形如图中的函数称为幂函数（power function），其中x是自变量，ɑ是常数。
        • 一般地，对于如图函数，当ɑ>0时，具有如下性质 ：
          • （1） 函数的图象都过点（0，0）和（1，1）；
          • （2） 在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在区间[0，+∞）上单调递增。
        • 一般地，对于如图函数，当ɑ<0时，具有如下性质 ：
          • （1） 函数的图象都过点（1，1）；
          • （2） 在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在区间（0，+∞）上单调递减。
      • GeoGebra（简称GGB）是一款用于大中小学数学教与学的免费开源软件，主界面包括代数区、绘图区、3D绘图区、表格区等。
        • 
        • 代数区除了可以进行数值计算，还可以进行符号运算（如因式分解、求方程的根等）；
        • 绘图区可以作出各种平面几何图形或函数的图象；
        • 3D绘图区能够作出空间三维图形；
        • 表格区具有类似Excel的功能，可以像Excel那样进行操作。
    • 6.2. 指数函数
      • 如图函数叫做指数函数（exponential function），它的定义域是R.
        • 图象与性质
      • 复利是把前一期的利息和本金加在一起作本金，再计算下一期利息的一种计算利息的方法。
    • 6.3. 对数函数
      • 如图函数叫做对数函数（logarithmic function），它的定义域是（0，+∞）.
        • 图象与性质
      • 当a>0, a≠1时，y=logax 称为 y=a^x 的反函数。反之， y=a^x 也称为 y=logax 的反函数。一般地，如果函数 y=f(x) 存在反函数，那么它的反函数记作：
      • 一般地，设A，B分别为函数 y=f(x) 的定义域和值域，如果由函数 y=f(x) 可解得唯一 x=φ(y) 也是一个函数（即对任意一个y∈B，都有唯一的x∈A与之对应）是函数 y=f(x) 的反函数（inverse function），记作：
        • 中，y是自变量，x是y的函数。习惯上改写成下面的形式：
      • 互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称
    • 6.4. 问题与探究　钢琴与指数曲线
    • 6.5. 阅读　“怎样解题”表
  • 7. 第7章　三角函数
    • 7.1. 角与弧度
      • 任意角
        • 按一定规律不断重复出现的现象称为周期现象。周期现象一般与周期运动有关。
        • 一个角可以看作平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边。
        • 为了表示不同旋转方向所形成的角，联想到用正负数可表示具有相反意义的量，我们作如下规定：
          • 按逆时针方向旋转所形成的角叫作正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫作负角。如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作零角。
            • 这样就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。
        • 如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角。
        • 对于两个任意角α，β，将角α的终边旋转角β（β是正角时，按逆时针方向旋转；当β是负角时，按顺时针方向旋转；当β是零角时，不旋转），这时终边所对应的角称为α与β的和，记作α+β。射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为互为相反角。角α的相反角记为-α，于是有 α-β=α+(-β).
        • 为了便于研究，今后我们常以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角。
        • 一般地，与角α终边相同的角的集合为｛β｜β=k•360°+α，k∈Z｝.
      • 弧度制
        • 规定周角的1/360为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制（degree measure）。除了采用角度制外，在科学研究中还经常采用弧度制。
        • 以角的顶点为圆心画单位圆（半径为单位长度1的圆），用这个角在此圆上所对应的弧的长度来度量这个角。 一般地，弧度数与实数一一对应。正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
          • 
        • 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作１弧度（radian）的角，记作1rad。其单位用符号rad 表示，读作弧度。（通常“弧度”或“rad”省略不写）。
        • 假设角α作为圆心角所在的圆有两个，其半径分别为r₁,r₂，所对应的弧长分别为l₁，l₂，则如图： 上式表明，角α的弧度数由角α的大小唯一确定，而与其为圆心所在圆的大小（半径）无关。这种用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制（radian measure）。
        • 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数为0.
          • 
        • 由１弧度的意义可知，对任一角α，其弧度数的绝对值等于α所对应的弧长l与半径r的比，即|α|=l/r. 上式中，l与r用相同的长度单位。 例如，如果α所对应的弧长l=2r，那么α的弧度数l/r=2r/r=2，即α的弧度为2 rad. 再如，如果α所对应的弧长l=2πr，那么α的弧度数l/r=2πr/r=2π，即α的弧度为2π rad. 　　360°=2π rad.
          • 从而，有
            • 一些角的弧度数与角度数之间的关系： 用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，可以省略单位。例如 1 rad，2 rad，π rad，可分别写成1，2，π.
              • 
        • 对于任意角，每一个角β都可以表示成　β＝α＋ｋ•360°(0°≤α<360°，k∈Z). 而360°角对应2π弧度角，因此只需把角α用弧度α' 表示，就可以得到角β的弧度角β'，即　β' =α' +2kπ(0≤α' <2π，k∈Z).
        • 如图，设长度为ｒ的线段OA绕端点O旋转形成角α（α为任意角，单位为弧度）。 若将此旋转过程中点A所经过的路径看成是圆心角α所对的弧，设弧长为l，则有 　　｜α｜＝l／ｒ，　即 l＝｜α｜r. 特别地，若取 r=1，则有 l＝｜α｜. 若｜α｜≤2π，则圆心角为α的扇形的面积为
        • 引入弧度制后，在｜θ｜＝l/r 中，不妨取r=1(这时的圆也称单位圆)，那么当θ 为正角时，θ 的弧度数即为其所对应的弧长 l的数量；当θ 为负数时，θ 的弧度数即为其所对应的弧长 l的数量的相反数；当θ 为零角时，θ 的弧度数为0.
        • 角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系，即角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系：每一个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角。
    • 7.2. 三角函数概念
      • 任意角的三角函数
        • 一般地，对任意角α，在平面直角坐标系中，设α的终边上异于原点的任意一点P的坐标为（x，y），它与原点的距离是r，则r=根号下（x²+y²）。此时，点P是角α的终边与半径为r的圆的交点。根据相似三角形知识可知，比值y/r，x/r，y/x与α的终边上的点P的位置无关。我们规定：
          • （1） 比值y/r叫做α的正弦（sine），记作sin α，即
          • （2） 比值x/r叫做α的余弦（cosine），记作cos α，即
          • （3） 比值y/x叫做α的正切（tangent），记作tan α，即
        • 把α的值看作横坐标，对应的sin α的值看作纵坐标，在平面直角坐标系中描出点（α，sin α）。可得：
          • 把α的值看作横坐标，对应的sin α的值看作纵坐标，在平面直角坐标系中描出点（α，sin α）,如图所示：
            • 可知，对于每一个实数α，都有唯一实数sin α与α对应，故sin α是α的函数。同理，cos α也是α的函数。当α=π/2+kπ(k∈Z) 时，角α的终边在y轴上。故有x=0，这时tan α无意义。除此之外，对于每一个实数α（α≠π/2+kπ(k∈Z)），有唯一实数tan α与α对应，因此tan α也是α的函数。 sin α，cos α，tan α分别叫作角α的正弦函数、余弦函数、正切函数。以上三种函数都称为α的三角函数（trigonometric function）。
              • 由定义可知，正弦函数、余弦函数、正切函数的值在各个象限的符号如图所示：
        • 由于sin α=y/r，cos α=x/r与点P(x，y)在角α终边上的位置无关，为简单起见，取r=1，即选取角 α终边与单位圆（圆心在原点，半径等于单位长度的圆）的交点P(x，y)，则sin =y，cos =x.如图， 过点P作x轴的垂线，垂足为M，显然，线段OM的长度为｜x｜. 为了去掉绝对值符号，引入有向线段的概念。
          • 规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称为有向线段。类似地，可以把规定了正方向的直线称为有向直线。若有向线段AB在有向直线l上或与有向直线l平行，根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上正号或负号，这样所得的数，叫作有向线段的数量，记为AB。 如图，x轴上有三点A，B，C，则AB=3，BC=2，CB=-2. 引入有向线段的概念后，如果x>0，有向线段OM与x轴同向，其数量为x；如果x<0，有向线段OM与x轴反向，其数量也为x．故总有OM=x. 同理可知MP=y. 所以，sin α=MP，cos α=OM． 这表明，有向线段MP，OM的数量分别等于α的正弦、α的余弦。因此，我们把有向线段MP，OM分别叫作角α的正弦线、余弦线。
          • tan α=AT． （假如角α的终边在y轴右侧是指第一象限或第四象限角，或终边与x轴正半轴重合的角。） 有向线段AT叫作角α的正切线。
            • 
          • 有向线段MP，OM，AT都称为三角函数线。
            • 当角α终边在不同象限时，其三角函数线如图所示：
        • 当角α的终边在x轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，因此，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数。在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域如下表所示：
      • 同角三角函数关系
        • 设角α的终边与单位圆交于P 点（如左图），则点P 坐标为（cos α，sin α）, 由PO长为1，得　 sin²α+cos²α=1. 由正切函数的定义知，当α≠π/2+kπ(k∈Z)时，有右图。tan α=(sin α)/(cos α).
          • 由此可得，如图同角三角函数之间的基本关系式：
      • 三角函数的诱导公式
        • 由三角函数定义可以知道：终边相同的角的同一三角函数值相等。即有
          • （公式一）
        • 特别地，角－α与角α的终边关于x轴对称，则有
          • （公式二）
        • 特别地，角 π－α 与角 α 的终边关于y轴对称，则有
          • （公式三）
        • 特别地，角 π＋α 与角 α 的终边关于原点O对称，则有
          • （公式四）
        • 利用上面四组公式可将关于任意角的三角函数转化为区间 [0，π/2]内的角的三角函数。
        • 特别地，角α与 π/2－α 的终边关于直线 y＝x 对称，因此
          • （公式五）
        • 利用公式二和公式五，可得
          • （公式六）
        • 公式一、二、三、四、五、六都叫作三角函数的诱导公式。 诱导公式揭示了终边具有某种对称关系的两个角三角函数之间的关系。换句话说，诱导公式实质是将终边对称的图形关系“翻译”成三角函数之间的代数关系。
    • 7.3. 三角函数的图象和性质
      • 三角函数的周期性
        • 三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么，“周而复始”的基本特征必定蕴含在三角函数的性质之中。
        • 由单位圆中的三角函数线可知，正弦、余弦函数值的变化呈现出周期现象．每当角增加（或减少）２π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同，即有 sin（２π＋x）＝sin x，cos（２π＋x）＝cos x.
          • 正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性。
        • 用数学语言刻画函数的周期性
          • 若记 f(x)＝sin x，则对于任意x∈R，都有 f(x＋２π)＝ f(x)．
            • 设函数 y＝ f(x) 的定义域为A． 如果存在一个非零的常数T，使得对于任意的 x∈A，都有 x＋T∈A，并且 　　 f(x＋T)＝f(x)， 那么函数 f(x) 就叫作周期函数（periodic function），非零常数T叫作这个函数的周期（period）．
              • 易知２π是正弦函数和余弦函数的周期，且４π，６π，...以及－２π，－４π，...都是正弦函数和余弦函数的周期，即每一个常数２kπ（k∈Z且k≠０）都是这两个函数的周期.
              • 对于一个周期函数 f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么，这个最小的正数就叫作 f(x) 的最小正周期（minimum positive period）. (如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.)
                • 例如，２π是正弦函数的所有周期中的最小正数，所以２π是正弦函数的最小正周期；同样地，２π也是余弦函数的最小正周期。 因此，正弦函数和余弦函数都是周期函数，２kπ（k∈Z且k ≠０）都是它们的周期，它们的最小正周期都是２π.
                • 通过观察正切线不难发现，正切函数y＝tan x 也是周期函数，并且最小正周期是π.
          • 函数 y＝Asin（ωx＋φ）及y＝Acos（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠０，ω＞０）的周期为２π/ω，函数y＝Atan（ωx＋φ）（其中A，ω，φ为常数，且A≠０，ω＞０）的周期为π/ω.
            • 
        • ２π是正弦函数的最小正周期
          • 反证法证明
      • 三角函数的图象与性质
        • 作一个点到作一系列点，再用光滑曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数y=sin x在[0，2π]上的图像，如图
          • 最后我们只要将函数 y＝sinx，x ∈［０，２π］的图象向左、右平移（每次２π个单位），就可以得到正弦函数 y＝sinx，x ∈R的图象（如图）。正弦函数的图象叫作正弦曲线（sine curve）。
            • 以上是借助正弦线描点来作出正弦曲线，也可以通过列表描点来作出正弦曲线，或利用图形计算器、计算机来作出正弦曲线。
              • 在 Excel 中可用“描点连线”的方法绘制正弦曲线，步骤如注释。 由图可看出，函数 y=sin x，x∈[0，2π]的图象上起着关键作用的点有以下五个： 　　（0，0），（π/2，1），（π，0），（3π/2，-1），（2π，0） 事实上，描出五点后，函数y＝sin x，x∈［０，２π］的图象形状就基本确定了。因此在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到函数的简图。这种作图方法称为“五点法”。
                • 
        • 由cos x＝sin(x＋π/２)，知 y＝cos x 图象可由 y＝sin x 图象向左平移π/２个单位得到。余弦函数的图像叫作余弦曲线（cosine curve）。
        • 观察正弦曲线和余弦曲线，得到正弦函数、余弦函数有以下主要性质。
          • （1） 定义域
            • 正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R.
          • （2） 值域
            • 由正弦曲线和余弦曲线可以发现 　　　　　　-1≤sin x≤1，-1≤cos x≤1， 而且sin x，cos x都可以取[-1，1]中的一切值。这说明正弦函数、余弦函数的值域都是[-1，1]。其中正弦函数当且仅当 x=π/2+2kπ(k∈Z) 时取得最大值1，当且仅当x=-π/2+2kπ(k∈Z) 时取得最小值-1；而余弦函数当且仅当 x=2kπ(k∈Z) 时取得最大值1，当且仅当 x=(2k+1)π(k∈Z) 时取得最小值-1.
          • （3） 周期性
            • 正弦函数和余弦函数都是周期函数，并且周期都是２π.
          • （4） 奇偶性
            • 正弦函数是奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数是偶函数，其图象关于y轴对称。
          • （5） 单调性
            • 由正弦曲线可以看出，当x 由－π/２ 增大到π/２ 时，曲线逐渐上升，sin x 的值由－１增大到１；当x 由π/２ 增大到３π/２ 时，曲线逐渐下降，sin x 的值由１减小到－１.
              • 由正弦函数的周期性可知：正弦函数在每一个闭区间 [-π/2+2kπ，π/2+2kπ](k∈Z) 上都单调递增，其值由－１增大到１；在每一个闭区间[π/2+2kπ，3π/2+2kπ](k∈Z) 上都单调递减，其值由１减小到－１．
        • 由于正切函数y＝tan x 是以π为周期的周期函数，故只需先画出一个周期内的图象，然后由周期性，就可得出整个图象。
          • 先利用正切线来画出函数 y=tan x(x∈(-π/2，π/2))的图象（如图）
            • 把上述图象向左、右平移（每次π个单位），就可得到正切函数的图象（如图），并把它称为正切曲线（tangent curve）.
              • 由正切函数的图象可以得到正切函数的主要性质如下：
                • （1） 定义域：{x|x∈R且x≠π/2+kπ，k∈Z}.
                • （2） 值域：实数集R.
                • （3） 周期性:：正切函数是周期为π的周期函数。
                • （4） 奇偶性：奇函数。图象关于原点对称。
                • （5） 单调性：每个开区间 (-π/2+kπ，π/2+kπ)(k∈Z) 都是函数 y=tan x的增区间。
      • 函数y=Asin(ωx+φ)
        • 一般地，函数y＝sin（x＋φ）的图象可以看作是将函数y＝sin x的图象上所有的点向左（当φ ＞０时 ）或向右（当φ ＜０时 ）平移｜φ｜个单位长度而得到的。
        • 一般地，函数y＝Asin x（A＞０且A≠１）的图象，可以看作是将函数y＝sin x 的图象上所有点的纵坐标变为原来的A 倍（横坐标不变）而得到的。
        • 一般地，函数y＝sin ωx（ω＞０且ω≠１）的图象，可以看作是将函数y＝sin x 的图象上所有点的横坐标变为原来的１/ω 倍（纵坐标不变）而得到的。
        • 一般地，函数y＝sin （ωx＋φ）（ω＞０，φ≠０）的图象，可以看作是将函数 y＝sin ωx 的图象上所有的点向左（当φ＞０时）或向右（当φ ＜０时）平移|φ/ω| 个单位长度而得到的。
        • ＧＧＢ中绘制
          • 
    • 7.4. 三角函数应用
      • 利用这些函数可以刻画一些周期现象，建立一些周期性运动的数学模型。
      • 匀速圆周运动的圆周上点P的纵坐标为y ＝Asin(ωt＋φ)（其中，A 表示圆的半径，ω 表示圆周转动的角速度，φ表示点P的初始位置所对应的角）。 点P 的横坐标为 x＝Acos(ωt＋φ).
      • 当物体做简谐运动（单摆、弹簧振子等）时，也是一种周期运动。
        • 图是单摆的示意图．点O为摆球的平衡位置，如果规定摆球向右偏移的位移为正，那么当摆球到达点C时，摆球的位移y达到最大值A；当摆球到达点O时，摆球的位移y为０；当摆球到达点D时，摆球的位移y达到反向最大值－A；当摆球再次到达点O时，摆球的位移y又为０；当摆球再次到达点C时，摆球的位移y又一次达到最大值A．这样周而复始，形成周期变化，其运动规律可以用三角函数表达为 　　　　y=Asin（ωx＋φ）.　 其中， x表示时间，y表示相对于平衡位置的偏离； A表示物体运动时离开平衡位置的最大距离，称为振幅； 往复运动一次所需的时间T＝２π/ω 称为这个运动的周期； 单位时间内往复运动的次数 f=1/T=ω/(２π) 称为运动的频率； ωx＋φ 称为相位，x＝０时的相位φ 称为初相位。
    • 7.5. 问题与探究　港口水深的变化与三角函数
    • 7.6. 阅读　欧拉
  • 8. 第8章　函数应用
    • 8.1. 二分法与求方程近似解
      • 函数的零点
        • 一般地，我们把使函数 y=f(x) 的值为0的实数x称为函数 y=f(x) 的零点（zero point）。 因此，函数 y=f(x) 的零点就是方程 f(x)=0的实数解。从图象上看，函数 y=f(x) 的零点，就是它的图象与x轴交点的横坐标。
        • 函数零点存在定理：
          • 若函数y＝f（x）在区间［a，b］上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜０，则函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点。
      • 用二分法求方程的近似解
        • 对于区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法（bisection）。 运用二分法的前提是要先判断某解所在的区间。
          • 
        • 用二分法求方程的一个近似解的操作流程是：
          • 在以上操作过程中，如果存在c，使得f（c）＝０，那么c就是方程f（x）＝０的一个精确解。
    • 8.2. 函数与数学模型
      • 几个函数模型的比较
        • “指数爆炸“：当a＞１时，指数函数y＝a^x 随着x 的增大而增大，且增大的速度越来越快，呈“爆炸”的趋势；当０＜a＜１时，指数函数y＝a^x 随着x 的增大而减小，并逐步趋向于０.
          • 
        • 对于指数函数y＝a^x（a＞１），幂函数y＝x^α（α＞０）和对数函数y＝logax （a＞１），当x 足够大时，总有 a^x ＞x^α ＞logax.
          • 指数爆炸、对数增长、直线增长  
      • 函数的实际应用
        • 边际函数是经济学中一个基本概念，通常记为 Mf(x).
        • 解决实际问题通常按如下程序进行，其中建立数学模型是关键。
          • 实际问题 → 建立数学模型 → 求解数学模型 → 解决实际问题
    • 8.3. 问题与探究　体重与脉搏
    • 8.4. 阅读　Ｇ大调的正弦函数
    • 8.5. 专题　数学建模与数学探究
      • 数学模型（mathematical model）是用数学语言模拟现实世界的一种模型，是解决实际问题时所用的一种数学结构。
      • 数学建模（mathematical modeling）是对现实问题进行数学抽象， 用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建数学模型解决问题的 过程。数学建模的过程可用图１来表示
      • 数学探究（mathematical inquiry）是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作研究并最终解决数学问题的过程。
        • 数学探究具体表现为：发现和提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，提出解决问题的思路和方案，通过自主探索或合作研究论证数学结论。
      • 案例分析
        • 1. 停车距离问题
        • 2. 函数的不动点与迭代法求方程的近似解
          • 对于定义在D 上的函数f（x），如果存在实数x₀，使得f（x₀）＝x₀，那么称x₀是函数f（x）的一个不动点。 如果将方程g（x）＝０改写为x＝f（x），那么函数f（x）的不动点就是方程g（x）＝０的解。
          • 迭代法是探求函数不动点的一种有趣方法，基本步骤是：
            •  
      • 课题研究
        • 数学建模活动和数学探究活动可以用课题研究的形式展开。课题研究的过程一般包括选题、开题、做题和结题四个环节。
          • 选题
          • 开题
          • 做题
          • 结题
  • 9. 第9章　平面向量
    • 9.1. 向量概念
      • 本章学习的向量都是平面内的自由向量．它们仅由方向和大小确定，而与起点位置无关。
      • 在现实生活中，有些量（如距离、身高、质量等）只有大小，而另外一些量（如力、速度、加速度、位移等）既有大小又有方向。 我们把既有大小又有方向的量叫作向量（vector）。
        • 向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。以A为起点、B为终点的向量记为如图。
        • 向量也可用小写字母a,b,c来表示。 用小写字母a 表示向量时，印刷用粗体a，书写用如图.
      • 向量
        • 的大小称为向量的长度（或称为模），记作
          • 我们规定，长度为０的向量称为零向量（null vector），记作0，零向量的方向是任意的。
          • 长度等于１个单位长度的向量，叫作单位向量（unit vector）。
          • 方向相同或相反的非零向量叫作平行向量（parallel vectors）。在图中，向量a，b，c是一组平行向量。向量a与向量b平行，记作a∥b。我们规定零向量与任一向量平行。
          • 所有长度相等且方向相同的向量都看作相同的向量，而不管它们的起点位置如何。向量a与b是相同的向量，也称a与b相等，记作a=b.
          • 由此可知，将一个向量平移后所得的向量与原向量是相同的向量。如图，向量a，b，c两两平行，可以通过平移使得a，b，c落在同一直线上，所以，任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上。因此平行向量又称为共线向量（collinear vectors）。
          • 对于两个非零向量 a 和 b ，在平面内任取一点O，作
            • 当θ =0°时，a与b同向；
            • 当θ =180°时，a与b反向；
            • 当θ =90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b；
          • 我们把与向量a长度相等，方向相反的向量叫作a的相反向量，记作-a，a与-a互为相反向量，并且规定零向量的相反向量仍是零向量。于是，对任意一个向量a，总有　-（-a）=a．
    • 9.2. 向量运算
      • 向量的加减法
        • 类比实数的加法，我们联想到，物理中位移的合成，以及速度的合成和力的合成，都可以看成向量的加法。
        • 求两个向量和的运算叫作向量的加法。
          • 
          • 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
          • 任一向量与其相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.
          • 对于零向量和任一向量a，我们规定 a＋０＝０＋a＝a．
          • 向量的加法满足交换律、结合律，即 a＋b＝b＋a，（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.
          • 通过作图方式加以验证
            • 
          • 还可以通过作平行四边形来求这两个向量的和。把这种方法叫作向量加法的平行四边形法则。
        • 与实数的减法类似，我们定义，向量的减法是向量加法的逆运算。
        • 若b＋x＝a，则向量x叫作a与b的差，记为a－b．求两个向量差的运算，叫作向量的减法。
          • 根据向量减法的定义和向量加法的三角形法则，我们可以得到向量a－b的作图方法。
            • 
          • 由向量加法的结合律可知，[a+(-b)]+b=a+[(-b)+b]=a，所以 a-b=a+(-b). 这表明：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量
      • 向量的数乘
        • a+a+a记作3a，即
          • 由向量的几何意义可知，3a的长度是a的长度的3倍，即 |3a|=3|a|，3a的方向与a的方向相同。
        • (-a)+(-a)=2(-a)，即 |2(-a)|=2|a|，2(-a)的方向与a的方向相反，于是 2(-a)=-2a.
        • 一般地，实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa，它的长度和方向规定如下：
          • （1） |λa|=|λ||a|.
          • （2） 若a≠0，则当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反。
        • 实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘。
          • 特别地，当λ=0时，0a=0；当a=0时，λ0=0.
          • 向量数乘 λa 的几何意义是：当λ>0时，把向量a沿着a的相同方向放大或缩小；当λ<0时，把向量a沿着a的相反方向放大或缩小。
          • 设a,b为向量，λ,μ为实数，可以验证向量的数乘满足下面的运算律：
            • （1） λ(μa)=(λμ)a；
            • （2） (λ+μ)a=λa+μa；
            • （3） λ(a+b)=λa+λb.
        • 如果两个向量共线，那么其中的一个向量可以由另一个（非零）向量的数乘来表示，即线性表示。 一般地，对于两个向量a(a≠0)，b，有如下的向量共线定理：
          • 设a为非零向量，如果有一个实数λ，使 b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使 b＝λa.
      • 向量的加法、减法和数乘统称为向量的线性运算。
      • 向量的数量积
        • 数量积亦称为“内积”或“点积”。
        • 已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量 |a||b|cosθ 叫作向量a和b的数量积（scalar product），记作a·b，即a·b= |a||b|cosθ . 我们规定：零向量与任一向量的数量积为０. a·0=0·a=0 不是零向量，而 0a=0 是零向量。
          • 点乘的结果是一个数量（标量）
          • 根据向量数量积的定义，两个非零向量a和b的夹角θ，可以由如图公式求得.
          • 根据定义，还可以得到：a⊥b ⇔ a·b=0(a，b是两个非零向量)，
            • 
        • 投影向量（projection vector）
          •  
          • 综上，对于向量 a，b，向量a在向量b上的投影向量为
            • 
            • 又推出
              • 因此，向量a和b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积。
          • 单位向量：b/|b| 为向量b方向上的单位向量。
        • 设向量a，b，c和实数 λ ，向量的数量积满足下列运算律：
          • （1） a·b=b·a；
          • （2） (λa)·b=a·(λb)=λ(a·b)=λa·b；
          • （3） (a+b)·c=a·c+b·c.
    • 9.3. 向量基本定理及其坐标表示
      • 平面向量基本定理
        • 平面向量基本定理　如果e₁，e₂ 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ₁，λ₂，使 a＝λ₁e₁＋λ₂e₂.
          • 我们把两个不共线的向量e₁，e₂ 叫作这个平面的一组基底（base）。
          • 由平面向量基本定理知，平面内任一向量a 可以用一组基底e₁，e₂表示成 a＝λ₁e₁＋λ₂e₂的形式。我们称 λ₁e₁＋λ₂e₂为向量a的分解．当e₁，e₂ 所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量a的正交分解（orthogonal decomposition）。
      • 向量坐标表示与运算
        • 1. 向量的坐标表示
          • 我们把有序实数对（x，y）称为向量 a 的（直角）坐标，记作 a=(x，y).
            • 
        • 2. 向量线性运算的坐标表示
          • 当向量用坐标表示时，向量的和、差以及向量数乘也都可以用相应的坐标来表示．
            •  
            • 于是，有
          • 一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标。
            • 
          • 线段定比分点的坐标公式
            • 
            • 证明
              •   
              • 9.2.2例4
                • 
        • 3. 向量数量积的坐标表示
          • 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即
            • 
            • 特别地，设a=(x，y)，则a²=x²+y²，即
          • 设两个非零向量a=(x₁，y₁)，b=(x₂，y₂)，它们的夹角为θ，由向量数量积的定义，可得
            • 特别地， 若a⊥b，则 x₁x₂+y₁y₂=0； 若x₁x₂+y₁y₂=0，则a⊥b.
      • 向量平行的坐标表示
        • 一般地，设向量a=(x₁，y₁)，b=(x₂，y₂)(a ≠ 0)， 则 a∥ b ⇔ x₁y₂- x₂y₁=0.
          • 
          • 当 a=0 时，由于0与任意向量平行，故 x₁y₂- x₂y₁=0 恒成立。
    • 9.4. 向量应用
      • 向量是既有大小又有方向的量，它既有代数特征，又有几何特征。通过向量可以实现代数问题与几何问题的互相转化，所以向量是数形结合的桥梁。同时，向量也是解决许多物理问题的有力工具。
      • • 
      • 方向向量
        • 
      • 法向量
        • 我们把与直线 l垂直的向量称为直线 l的法向量。借助直线的法向量，我们可以方便地计算点到直线的距离。
    • 9.5. 问题与探究　由平面向量到空间向量的推广
    • 9.6. 阅读　向量源自力学
  • 10. 第10章　三角恒等变换
    • 10.1. 两角和与差的三角函数
      • 两角和与差的余弦
        • 两角差的余弦公式
          •  
        • 两角和的余弦公式
          • 
        • 学习过许多诱导公式，这些诱导公式都可以看成和（差）角公式的特例，因此也可以由和（差）角公式推出．
      • 两角和与差的正弦
        • 两角和的正弦公式
          • 
        • 两角差的正弦公式
          • 
      • 两角和与差的正切
        • 两角和的正切公式
          • 
        • 两角差的正切公式
          • 
      • S(α+β)，C(α+β)，T(α+β) 统称为和角公式，S(α-β)，C(α-β)，T(α-β) 统称为差角公式。
    • 10.2. 二倍角的三角函数
      • 事实上，只要在S(α+β)，C(α+β)，T(α+β) 公式中，令 α=β，就可以得到：
        • • 还可变形为：
        • 以上这些公式都叫作倍角公式。倍角公式是和角公式的特例。 （这里的“倍角”，实际上专指“二倍角”，遇到“三倍角”等名称时，“三”字等不能省去。）
          • 
    • 10.3. 几个三角恒等式
      • • 由①＋②，得
        • 由①－②，得
        • 由③＋④，得
        • 由③－④，得
        • 这组公式中，每个等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边为三角函数和与差的形式，通常称之为三角函数的积化和差公式。
      • • 同样可得其它三个公式。 |把等式中的字母θ，φ换成α，β，就有
          • 这组公式中，每个等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右边为三角函数乘积的形式，通常称之为三角函数的和差化积公式。
      • • 所以
          • 当α/2所在的象限能够确定时，这三个公式中根号前的符号可以确定．一般情况，应保留“±”。这组公式通常称为三角函数的半角公式。
        • 另外
          • • 
      • 一般地，由下列函数 1，cos kx，cos 2kx，cos 3kx，…sin kx，sin 2kx，sin 3kx，…中的若干个函数的和所得到的函数仍是周期函数。法国数学家傅里叶发现，几乎所有的周期函数都能用这些函数的和（一般为无穷和）来表示。
    • 10.4. 问题与探究　正弦函数与余弦函数的叠加
      • 一般地，把 asin x+bcos x（其中实数a,b不全为0）称为正弦函数与余弦函数的叠加。
      • 任意的正弦函数与余弦函数的叠加函数 f(x) 都可以化成 Asin(x+θ )或 Acos(x+θ )的形式，而且周期不变。
        • 
      • 两个同频率的正弦交流电相加，得到的是一个同频率的正弦交流电。
        • 可以这样分析：Y₁=A*sinx，Y₂=B*sin(x+n) ，n是相位差，为一个常数, Y₁+Y₂=A*sin x+B*sin x*cos n+B*cos x*sin n=(A+Bcos n)sin x+Bsin n*cos x 相当于 C*sin x+D*cos x 的形式 这个是可以化成正弦函数的， 因此，这是正确的。
    • 10.5. 阅读　弦表与托勒密定理
    • 10.6. 化归的数学思想和方法
      • cos 3x=4cos³x-3cosx.
        • 
      • 切比雪夫多项式
        • 
  • 11. 第11章　解三角形
    • 本章如无特别说明，a，b，c分别表示△ABC 中角A，B，C 所对边的长。
    • 11.1. 余弦定理
      • 许多实际问题都可以转化为三角形中边与角的计算问题，而边和角分别涉及长度和方向两个要素，这让我们想到数形结合的有力工具——向量。
      • 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。这样，我们得到余弦定理（cosine theorem）。
        • a²=b²+c²-2bc cos A.
          • 也可表示成：
        • b²=c²+a²-2ca cos B.
          • 也可表示成：
        • c²=a²+b²-2ab cos C.
          • 也可表示成：
      • 余弦定理可以看作勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。
      • 我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形。
      • 利用余弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题：
        • （1） 已知三边，求三个角；
        • （2） 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
      • 在△ABC中，已知acos B=bcos A，求证：△ABC为等腰三角形。
        • 
      • 如图，AM是△ABC 的边BC上的中线，求证
      • 平行四边形各边的平方和等于两条对角线的平方和。
        • 用平面几何的方法证明
          • 
        • 用余弦定理证明
          •  
    • 11.2. 正弦定理
      • 正弦定理（sine theorem）：三角形的各边与它所对角的正弦的比相等。
        •  
      • 利用正弦定理，可以解决以下两类解三角形的问题：
        • （1） 已知两角和任一边，求其他两边和一角；
        • （2） 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）。
      • 在△ABC中，已知 a/cos A=b/cos B=c/cos C，则在△ABC为正三角形。
        • 证明
          • 
    • 11.3. 余弦定理、正弦定理的应用
      • 余弦定理、正弦定理体现了三角形中边角之间的关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用。
      • 应用余弦定理、正弦定理解决实际问题时，首先，要根据题意建立数学模型——三角形；其次，利用余弦定理、正弦定理来解三角形；最后，根据问题的实际意义，对解三角形所得的结论加以检验、取舍．在运算过程中，应根据实际需要进行近似计算。
      • 方位角是从指北方向线顺时针转到目标方向线的角。
    • 11.4. 问题与探究　海伦－秦九韶公式
      • 海伦公式：由三角形的三边长 a，b，c 计算面积的公式
      • 秦九韶公式：三斜求积术。 式中，"大""中"和"小"分别指"大斜""中斜"和"小斜"。
        • 如果三边的长用字母a，b和c表示，那么三角形的面积为
        • “三斜求积”公式的证明已经失传，吴文俊教授根据我国古代几何证明的传统特点作了一个补证。
          •   
    • 11.5. 阅读　流星不是地球蒸发物
  • 12. 第12章　复数
    • 12.1. 复数的概念
      • 从社会生活来看，为了满足生活和生产实践的需要，数的概念也在不断地发展着：为了计数的需要产生了自然数，为了测量等需要产生了分数，为了刻画具有相反意义的量产生了负数，为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数，等等。 从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的。
      • 从自然数集、整数集、有理数集到实数集，每一次数的概念的发展，新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的。在新的数集中，原有的运算及其性质仍然适用，同时解决了某些运算在原来数集中不是总可以实施的矛盾。
      • 为了使方程x²＋１＝０ 有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集的扩充就从引入平方等于－1 的“新数”开始。 为此，我们引入一个新数ｉ，叫作虚数单位（imaginary unit），并规定：
        • （1） ｉ²=-1；
        • （2） 实数可以与ｉ进行四则运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立。
      • 在这种规定下，ｉ可以与实数b相乘，再与实数a相加。由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成 a+bｉ。这样，数的范围又扩充了，出现了形如 a+bｉ(a，b∈R)的数，我们把它们叫作复数（complex number）。全体复数所组成的集合叫作复数集（set of complex numbers），记作 C.
        • 复数通常用字母ｚ表示，即 z=a+bｉ(a，b∈R)，其中a与b分别叫作复数z的实部（real part）与虚部（imaginary part）。
        • 当且仅当 b=0 时，z 是实数 a；当b≠0时，z 叫作虚数（imaginary number）
        • 特别地，当a=0且b≠0时，z=bi叫作纯虚数（pure imaginary number）。
      • 具体说来， （本章如无特别说明，a，b，c，d均表示实数．）
      • 如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即如右侧公式。这就是说，两个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等。
    • 12.2. 复数的运算
      • 设 z₁=a+bｉ，z₂=c＋dｉ是任意两个复数，复数的加法按照以下的法则进行运算。复数的加法法则：
        • 显然，两个复数的和仍是一个复数．
      • 容易验证，复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z₁，z₂，z₃∈C，有
      • 复数的减法法则：
        • 
        • 复数的减法是复数的加法的逆运算。
      • 由此可见，两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减）．
      • 复数的乘法法则：
        • 
        • 显然，两个复数的积仍是一个复数。
        • 复数的乘法法则与多项式的乘法法则是类似的，只是在运算过程中要把ｉ² 换成 －1，然后把实部与虚部分别合并。
      • 容易验证，复数的乘法满足交换律、结合律以及分配律，即对任何z₁，z₂，z₃∈C，有
      • 我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数。复数 z=a+bi 的共轭复数记作：
        • 当复数 z=a+bi 的虚部 b=0 时，
          • 也就是说，实数的共轭复数是它本身。
      • 复数的乘方是相同复数的积。根据复数乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立。即对任何z，z₁，z₂∈C及m，n∈N*，有
        • 在计算复数的乘方时，要用到虚数单位ｉ的乘方，对于ｉ的正整数指数幂，易知： ｉ¹=ｉ，ｉ²=-1，ｉ³=ｉ² •ｉ=-ｉ，ｉ⁴=(ｉ²)²=1.
          • 一般地，如果 n∈N*，那么有：
      • 我们把满足 (c+dｉ)(x+yｉ)=a+bｉ(c+dｉ≠0) 的复数 x+yｉ(x，y∈R) 叫作复数 a+bi 除以 c+di 所得的商，记作 (a+bｉ)÷(c+dｉ) 或
        • 根据复数相等的充要条件，运用待定系数法求复数，是常用的方法之一。
          • • 解法１
              • 
            • 解法２
              • 
      • 一般地，有 复数的除法法则：
        • 因为c+di≠0，所以c²+d²≠0.
        • 由此可见，两个复数的商仍是一个复数。
      • 在复数集C内解方程 z²-10z+40=0.
        •  
    • 12.3. 复数的几何意义
      • 根据复数相等的定义可知，任何一个复数z＝a＋bｉ都可以由一个有序实数对（a，b）唯一确定，而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的。因此，可以用直角坐标系中的点 Z（a，b）来表示复数z＝a＋bｉ。
        • 如图，原点 O (0，0)表示实数0，x轴上的点A(-2，0)表示实数-2，y轴上的点B(0，1)表示纯虚数ｉ，点C(1，2)表示复数1+2ｉ等。
          • 我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复平面（complex plane），x轴叫作实轴（real axis），y 轴叫作虚轴（imaginary axis）．实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数。复数的这种几何表示也称为阿甘得图（Argand diagram）。
      • 因为复平面内的点 Z(a，b)与以原点为起点、以 Z(a，b)为终点的向量→OZ一一对应(原点O(0，0)与零向量对应)，所以复数z=a+bｉ也可以用向量→OZ来表示（如图）。
        • 因此，复数 z=a+bｉ、复平面内的点 Z(a，b)和平面向量→OZ之间的关系可用右图来表示。三者之间存在着一一对应的关系。 为方便起见，常把复数 z=a+bｉ 说成点 Z 或向量→OZ，并且规定相等的向量表示同一个复数。
          • 图中，向量→OZ的模叫做复数的模（module）(或绝对值)，记作 |z|或|a+bｉ|. 如果b=0，那么z=a+bｉ就是实数a，它的模等于|a| (即实数a的绝对值)。
            • 由模的定义可知
      • 复数加法的几何意义
        • 
      • 复数减法的几何意义
        • 
      • 设z₁=a+bｉ，z₂=c+dｉ，则 z₁-z₂=(a-c)+(b-d)ｉ，故
        • 这表明：两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离。
    • 12.4. 复数的三角形式
      • 如图，以x轴的非负半轴为始边、向量→OZ所在的射线（起点是原点O）为终边的角θ 叫作复数 z=a+bｉ的辐角（argument）。
        • 例如，π/４就是复数 z=1+ｉ的一个辐角，而 π/4+2kπ(k∈Z)也都是复数z=1+ｉ的辐角。
      • 很明显，任一非零的复数 z＝a＋bｉ的辐角有无限个值，这些值相差２π的整数倍．我们把其中适合于０≤θ＜２π的辐角θ的值叫作复数 z＝a＋bｉ的辐角主值，记作arg z，即０≤arg z＜２π．易知，每一个非零的复数z＝a＋bｉ都有唯一确定的模与辐角主值；反过来，复数的模与辐角主值可以唯一确定这个复数。
        • 由此可以得到，两个非零的复数相等，当且仅当它们的模与辐角主值分别相等。
        • 复数z＝０在复平面内与原点O（０，０）对应，向量→OZ是零向量，这时复数的模为０，辐角是任意的。
      • 由任意角三角函数的定义知道：设复数z=a+bｉ(z≠0)的辐角为θ ，则：
        • 确定复数 z 的辐角后，就可以进一步确定该复数的辐角主值 arg z.
        • 得
      • 故 a+bｉ=r cos θ+ir sin θ=r(cos θ+isin θ). 因此，复数z=a+bｉ也就可以用复数的模 r 和辐角θ来表示：
        • r(cos θ +isinθ )称为复数z的三角形式，而a+bｉ称为复数z的代数形式。
      • 知道了一个复数的代数形式，就可以求出它的模和辐角（通常只要写出一个辐角），从而可以将这个复数表示为三角形式。
      • 两个复数相乘，其积的模等于这两个复数的模的积，其积的辐角等于这两个复数的辐角的和。
      • 复数乘法的几何意义
        • 
      • 两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。
      • 若 =r(cos θ+isin θ)， z^n=r^n(cos nθ+isin nθ) (n∈N*).
    • 12.5. 问题与探究　复数的开方
    • 12.6. 阅读　复数系是怎样建立的
  • 13. 第13章　立体几何初步
    • 13.1. 基本立体图形
      • 棱柱、棱锥和棱台
        • 一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱（prism）。平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的侧面。平移前后的两个面互相平行。（本章所说的多边形包括它的内部。将一个图形上所有的点按某一确定的方向及相同距离移动就是平移。）
          • 底面为三角形、四边形、五边形......的棱柱分别称为三棱柱、四棱柱、五棱柱......
            • 三棱柱，记作棱柱ABC-A'B'C'.
              • 六棱柱，记作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'.
          • 根据棱柱形成的过程，我们可以看出棱柱具有如下特点：两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形。
        • 当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥（pyramid）。
          • 四棱锥，记作棱锥S-ABCD.
          • 根据棱锥形成的过程，我们可以看出棱锥具有如下特点：底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形。
        • 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分称之为棱台（frustum of pyramid）。
          • 棱台
            • 四棱台，记作棱台ABCD-A'B'C'D'.
        • 被遮挡的线要画成虚线.
        • 棱柱、棱锥和棱台都是由一些平面多边形围成的空间图形。由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体（polyhedron）。在现实世界中，存在着形形色色的多面体，如食盐、明矾、石膏等晶体都呈多面体形状。多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体。
      • 圆柱、圆锥、圆台和球
        • 将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形分别叫作圆柱（circular cylinder）、圆锥 （circular cone）、圆台 （circular truncated），这条直线叫作轴。垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面。不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线。 半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面（sphere），球面围成的空间图形叫作球体（spheroid），简称球（ball）。
          • 圆柱，记作圆柱OO'.
            • 圆锥，记作圆锥SO.
              • 圆台，记作圆台OO'.
                • 球，记作球O.
        • 一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面（surface of revolution），封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体（solid of revolution）。圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体。
        • 一些复杂的空间图形是由简单空间图形组合而成的。
      • 直观图的斜二测画法
        • 斜二测画法的规则是：
          • （1） 在空间图形中取互相垂直的x 轴和y轴，两轴交于O 点，再取z轴，使 ∠xOz＝ 90°，且 ∠yOz＝90°．
          • （2） 画直观图时把它们画成对应的x′轴、y′轴和z′轴，它们相交于点O′，并使 ∠x′O′y′＝45°（或135°），∠x′O′z′＝90°，x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面。
          • （3） 已知图形中平行于x 轴、y 轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴、y′轴或z′轴的线段。
          • （4） 已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半。
      • 正等测画法：圆柱、圆锥和圆台的底面都是圆，在画直观图时一般不用斜二测画法，而采用正等测画法。正等测画法的规则是：
        • （1） 如图，取互相垂直的直线Ox，Oy作为已知图形⊙O所在平面内的直角坐标系的x 轴和y 轴，画直观图时将它们画成对应的x′轴和y′轴，并使 ∠x′O′y′＝120°（或60°），x′轴和y′轴所确定的平面表示水平面；
        • （2） 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段；
        • （3） 平行于x轴或y轴的线段，在直观图中保持长度不变。
        • 这样得到的圆的直观图是椭圆。 这种画椭圆的方法比较麻烦， 在实际画水平放置的圆的直观图时， 可用如图所示的椭圆模板。
    • 13.2. 基本图形位置关系
      • 平面的基本性质
        • 平静的湖面给我们以平面的形象。和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的几何概念。平面通常用平行四边形来表示，当平面水平放置的时候，一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图。
        • 平面通常用希腊字母α，β，γ，...表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如图中的平面 α、平面 AC 等。
        • 在生产与生活中，人们经过长期的观察与实践，总结出关于平面的三个基本事实。我们将它们作为进一步推理的基础。基本事实也称为公理。
          • 基本事实１：过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面（如图）。
          • 基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内。
            • 空间中点、直线和平面的位置关系，可以借用集合中的符号来表示。
              • 
            • 用符号表示为： a ⊂α，表示直线a在平面α内。 a ⊄α，表示直线a不在平面α内。
          • 基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
            • 若两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫作这两个平面的交线。教室里相邻的墙面在地面的墙角处有一个公共点，那么它们就相交于过该点的一条直线。
            • 用符号表示为：
        • 根据上述基本事实，可以得出下面的推论：
          • 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
          • 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
          • 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
        • 空间若干点或直线都在同一个平面内，就称它们共面。
      • 空间两条直线的位置关系
        • 在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种。空间两条直线除了相交、平行两种位置关系外，还有第三种位置关系。例如，A1B1与BC、直线A1B1与CC1等既不相交又不平行，即不同在任何一个平面内．我们把不同在任何一个平面内的两条 直线叫作异面直线（skew lines）。
        • 因此，空间两条直线的位置关系有以下三种：
        • 平行直线
          • 基本事实４：平行于同一条直线的两条直线平行。
            • 用符号表示为
          • 平行且相等符号
          • 定理
            • 如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
        • 异面直线
          • 既不相交又不平行，即异面。
          • 定理
            • 过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。
              • 用符号表示为（如图）： 若 l⊂α，A∉α，B ∈α，B ∉l，则直线AB 与l是异面直线。
          • 如图，a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a'∥ a，b'∥ b，我们把直线a'和b'所成的锐角（或直角）叫作异面直线a,b所成的角或夹角。
          • 若异面直线a，b所成的角是直角，则称异面直线a，b互相垂直，记作a⊥b。在图中，蜗杆和蜗轮的轴线是互相垂直的异面直线，它表明由蜗杆到蜗轮的传动方向变90°的角.
          • 探求异面直线所成的角，实际上是通过平移，将异面直线转化为相交直线，即将空间图形问题转化为平面图形问题，这是研究空间图形的一种基本思想——转化思想。
      • 直线与平面的位置关系
        • 如果一条直线a和一个平面α没有公共点，那么称直线a 与平面α平行；如果直线a与平面α有且只有一个公共点，那么称直线a与平面α相交；如果直线a与平面α有无数个公共点，那么称直线a在平面α内。
        • 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：
          • 我们把直线a与平面α相交或平行的情况统称为直线在平面外，记作a ⊄ α
        • 直线与平面平行
          • 直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行那么该直线与此平面平行。
            • 用符号表示为（如图）：
          • 直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行。
          • 如果三个平面两两相交，并且三条交线中两条直线平行，那么第三条直线也和它们平行。
        • 直线与平面垂直
          • 如果直线a 与平面α 内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直，记作a⊥α．直线a 叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足。
          • 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。
          • 直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
          • 过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直。
          • 从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离。
          • 一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离。
          • 一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线与平面的交点叫作斜足，斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段。
          • 如图，过平面外一点P 向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q 和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影，线段P１Q 就是斜线段PQ在平面α内的射影。
          • 平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角。
          • 如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是０°.
      • 平面与平面的位置关系
        • 如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行。
        • 如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实３可知，它们相交于经过这个点的一条直线，此时称这两个平面相交。
        • 两个平面的位置关系有：
        • 两平面平行
          • 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行。
          • 两个平面平行的性质定理：两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行。
          • 与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段。两个平行平面的公垂线段都相等。我们把公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。
        • 两平面垂直
          • 平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面，当其中一个半平面绕着这条直线旋转时，两个半平面就形成了一定的“角度”。 一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角（dihedral angle），这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面。
            • 如图，棱为AB、面为α，β的二面角，记作二面角α-AB-β，也可以记作 M-AB-N.
            • 一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角（plane angle）。如图，OA⊥l，OB⊥l，故∠AOB就是二面角α-l-β的平面角。
          • 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角α的大小范围是０°≤α≤180°．平面角是直角的二面角叫作直二面角.
          • 一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直。
          • 平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
          • 平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直。
    • 13.3. 空间图形的表面积和体积
      • 对空间图形割补或将其展开为平面图形，是求空间图形面积或体积的一种重要的方法。
      • 空间图形的表面积
        • 棱柱、棱锥和棱台这些简单空间图形属于简单多面体，它们的表面是由平面图形构成的。我们一般把多面体展开成平面图形得到这个多面体的展开图，通过计算展开图的面积求多面体的表面积。
        • 直棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积
          • 侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱（right prism）.特别地，底面为正多边形的直棱柱叫作正棱柱（regular prism）。直棱柱的侧棱长就是直棱柱的高（两底面所在平面之间的距离）。
          • 直棱柱的侧面积是 c为直棱柱的底面周长（矩形的长）， h为直棱柱的高（矩形的宽）。
          • 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥（regular pyramid）。正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形。
          • 正棱锥的侧面积是 c为正棱锥的底面周长， h'为斜高（即侧面等腰三角形底边上的高）。
            • 
          • 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台（regular frustum of pyramid）。正棱台的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰梯形。
          • 正棱台的侧面积是 c为下底面周长， c'为上底面周长， h'为斜高。
          • 正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的关系可用图表示：
        • 圆柱、圆锥和圆台的侧面积
          • 圆柱、圆锥和圆台的侧面积公式之间的关系可用图表示：
          • 圆锥、圆台侧面积公式的推导
            •   
      • 空间图形的体积
        • 柱、锥、台和球的体积
          • • 
          • 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系可用图表示：
        • 球的表面积
          • 
          • 它表明球的表面积是球的大圆面积的４倍。（球面被经过球心的平面截得的圆叫作球的大圆，大圆的半径等于球半径。）
        • 祖暅(ɡèng)原理
          • “幂势既同，则积不容异。”这里“幂”指水平截面的面积，“势”指高。因此，这句话的意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等。祖暅不仅首次明确地提出了这一原理，还成功地将其应用于球体积的推算。我们把这条原理称为祖暅原理。 祖暅原理在西方文献中称“卡瓦列利原理”，它在1635年由意大利数学家卡瓦列利（Ｂ.Cavalieri，1598-1647）独立提出，对微积分的建立有重要影响。
            • 
    • 13.4. 应用与建模　拟柱体体积公式
      • 如图，所有顶点都在两个平行平面内的多面体叫作拟柱体（prismatoid）。在这两个平面内的面叫作拟柱体的底面，其余各面叫作拟柱体的侧面，两底面之间的垂直距离叫作拟柱体的高．像图右所示的两底面是矩形并且对应边平行的拟柱体也称为长方台。
      • 拟柱体的体积为 S'为上底面的面积， S为下底面的面积， S0为中截面的面积， h为拟柱体的高。
        •   
    • 13.5. 阅读　几何学的发展
      • 几何学的起源
      • 欧几里得的《原本》
      • 非欧几何的产生
      • 射影几何学的繁荣
      • 几何学的统一
      • 中西方几何学发展的差异
  • 14. 第14章　统计
    • 14.1. 获取数据的基本途径及相关概念
      • 在统计分析时获取数据非常重要，而获取数据的途径有很多种，如统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样调查、互联网等。
      • 一般地，在获取数据时，我们把所考察对象（某一项指标的数据）的全体叫作总体（population），把组成总体的每一个考察对象叫作个体（subject），从总体中所抽取的一部分个体叫作总体的一个样本（sample），样本中个体的数目叫作样本容量（size of sample）。
      • 普查的样本就是总体，由总体推出结论的可靠性最大，但是，当总体量很大时，调查的工作量也大，特别是检查具有破坏性（如测试某种产品的使用寿命）时，就不能使用普查的方法了。 当然，样本容量太小也会影响统计分析的可靠性。
      • 样本的选取具有随机性，相对于总体而言，一个好样本必须具有好的代表性。
      • 那么，如何选择合理的样本容量呢？这在统计学上有具体的计算公式。根据样本容量计算公式可以知道，样本容量的大小不取决于总体中个体数的多少，而取决于研究对象的变化程度（总体中个体之间的差异度）、所允许的误差大小（即样本的精度要求）和要求推断的置信程度（即把握大小、可信程度）。
      • 统计分析的基本步骤为：
        • 获取数据
          • 分析数据
            • 作出估计
      • 统计分析的基本思想是：抽取具有较好代表性的样本，由样本数据的特征、规律估计总体的状况。
    • 14.2. 抽样
      • 抽样调查是获取数据的重要途径，而样本具有随机性，其好坏直接影响着统计分析结论的可靠性。必须合理地抽取样本。
      • 简单随机抽样
        • 一般地，从个体数为N 的总体中逐步不放回地取出n个个体作为样本（n＜N），如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样（simple random sampling）。 抽签法和随机数表法都是简单随机抽样。
        • 1. 抽签法
          • 一般地，用抽签法从个体个数为N 的总体中抽取一个容量为k的样本的步骤是：
            • （1） 将总体中的N个个体编号（也可以利用已有的编号）；
            • （2） 将这N个号码写在形状、大小相同的号签上；
            • （3） 将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；
            • （4） 从箱中每次抽出 １ 个号签，连续抽取k次；
            • （5） 将总体中与抽到的号签的编号一致的k个个体取出.
            • 用抽签法能使每个个体被抽中的概率相等。
          • 抽签法简单易行，适用于总体中个体数不多的情形。
        • 2. 随机数表法
          • 制作一个表，这个表由０，１，２，３，４，５，６，７，８，９这10个数字组成，表中任一位置出现任一数字的概率相同，且不同位置的数字之间是独立的。这样的表称为随机数表，其中的每个数都称为“随机数”。于是，我们只要按一定的规则从随机数表中选取号码就可以了。这种抽样方法叫作随机数表法。
          • 用随机数表法抽取样本的步骤是：
            • （1） 对总体中的个体编号（每个号码位数一致）。
            • （2） 在随机数表中任选一个数。
            • （3） 从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过。 如此继续下去，直到取满为止。
            • （4） 根据选定的号码抽取样本。
          • 随机数表的制作
            • 随机数表是人们根据需要编制出来的，由０，１，２，３，４，５，６，７，８，９这１０个数字组成，表中每一个数都是用随机方法产生的．随机数的产生方法主要有抽签法、抛掷骰子法和计算机生成法。
              • （1） 抽签法
              • （2） 抛掷骰子法
              • （3） 计算机生成法
                • EXCEL
                  • 在单元格A1内输入随机函数“=RAND()”，就能得到一个0与1之间的随机数。
                  • 如果要生成从０到99的随机数，且随机数为整数，那么可在单元格内输入“＝INT(100*RAND())“。
                • GeoGebra
                  • 在输入框中输入”random()“，就能得到一个0与1之间的随机数。通过”序列[random(),i,1,10]“就可以生成10个随机数。
        • 一般地，从个体数为N 的总体中逐步不放回地取出n个个体作为样本（n＜N），如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样（simple random sampling）。 抽签法和随机数表法都是简单随机抽样。
      • 分层抽样
        • 一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样（stratified sampling），所分成的各个部分称为“层”。
        • 分层抽样的步骤是：
          • 若按比例计算所得的个体数不是整数，可作适当的近似处理。
          • （1） 将总体按一定标准分层；
          • （2） 计算各层的个体数与总体的个体数的比；
          • （3） 按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量；
          • （4） 在每一层进行抽样（可用简单随机抽样）。
      • 为了使样本相对总体具有很好的代表性，就必须使得总体中每个个体被抽取的概率相等。如果一个样本是按这种规则抽取的，那么称这个样本为随机样本。 以上我们学习的２种抽样方法所获取的样本都为随机样本，它们的特点和适用范围可归纳如表所示。
    • 14.3. 统计图表
      • 扇形统计图、折线统计图、频数直方图
        • 扇形统计图能够直观地反映各个类别在总体中所占的比例。
        • 折线统计图可以看出变化趋势。
        • 频数直方图既能够反映分布状况，又可以表示变化趋势。
      • 频率直方图
        • 把横轴均分成若干段，每一段对应的长度称为组距，然后以此段为底作矩形，它的高等于该组的频率/组距，这样得出一系列的矩形，每个矩形的面积恰好是该组的频率，这些矩形就构成了直方图。我们将这种直方图称为频率直方图（frequency　histogram）。
        • 将频率直方图中各个矩形的上底边的中点顺次连接起来，并将两边端点向外延伸半个组距，就得到频率折线图（frequency line chart），简称折线图。
    • 14.4. 用样本估计总体
      • 用样本估计总体的集中趋势参数
        • 1. 平均数
          • 一般地，我们把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值（mean），它通常可以代表总体的水平。在进行统计分析时，我们经常用样本平均数估计总体均值。 当 x=(a1+a2+a3+…+an)/n时，离差的平方和最小，故可以 (a1+a2+a3+…+an)/n作为表示这个量的理想近似值，称为这n个数据a1,a2,a3,…,an的平均数（average），一般记为
            •  
            • n个实数a1,a2,a3,…,an的和简记为
          • 组中值：各组区间中点的数值，用于近似计算。
          • 一般地，若取值为x１，x２，...，xn 的频率分别为p１，p２，...，pn，则其平均数为 x１p１＋x２p２＋...＋xnpn.
          • 如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1, xj2, …, xjnj，第j层的样本量为nj，样本平均数为：（j=1,2,…,k.）
            • • 则所有数据的样本平均数为
        • 2. 众数与中位数
          • 一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数（mode）。众数是一种刻画数据集中趋势的度量值。
          • 中位数（median）：一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数。中位数也是一种刻画数据集中趋势的度量值。
          • 某些情况下我们无法获知原始样本数据，如在报纸、网络上获得的往往是现成的统计图表，如何根据样本的统计图表估计总体的中位数和众数呢？
            • 根据中位数的定义，在样本中有50％个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数。因此，在频率直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等。 在直方图中，无法知道每个组内的数据是如何分布的，我们通常假设它们在组内是均匀分布的，故可设中位数为x求解得到中位数的值。
            • 根据直方图发现，在某一区间内的数据最多时，可用这个区间的中点对应的横坐标（组中值）作为总体的众数的估计值。
      • 用样本估计总体的离散程度参数
        • 点线图（lineplot）
        • 我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差（range）。运用极差对两组数据进行比较，操作简单方便，但当两组数据的离散程度差异不大时，就不容易得出结论。
        • 我们还可以考虑每一抗拉强度与平均抗拉强度的离差。每一抗拉强度与平均抗拉强度的离差的平方和越小，稳定性就越高。由于两组数据的容量可能不同，因此应将上述平方和除以数据的个数，我们把由此所得的值称为这组数据的方差（variance）。
        • 因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，所以我们将方差的算术平方根 称为这组数据的标准差（standard deviation）。标准差是样本数据到平均数的一种平均距离。
        • 极差、方差、标准差都是刻画数据离散程度的度量值。
        • 一般地，设一组样本数据x1,x2,…,xn，其平均数为x拔，
          • 则称这个样本的方差（简称样本方差）为
          • 样本的标准差（简称样本标准差）为方差的算术平方根
        • 一般地，若取值为x１，x２，...，xn 的频率分别为p１，p２，...，pn，则其方差为
        • 一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1, xj2, …, xjnj，第j层的样本量为nj，样本平均数为xj拔，样本方差为sj² , j=1, 2 , …, k.
          • 记
            • 那么，所有数据的样本方差为
        • 分层抽样数据的方差计算
          •        
      • 用频率直方图估计总体分布
      • 百分位数
        • 一般地，一组数据的k百分位数（percentile）是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有k％的数据小于或等于pk，且至少有（100-k）%的数据大于或等pk 。 如果将样本数据从小到大排列成一行，那么k百分位数pk所处位置如图所示：
        • 通常，我们按如下方法计算有n个数据的大样本的k百分位数：
          • （1） 第1步　将所有数值按从小到大的顺序排列；
          • （2） 第2步　计算
          • （3） 第3步　如果结果为整数，那么k百分位数位于第 n•(k/100) 位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为 k 百分位数。
          • （4） 第4步　如果 n•(k/100) 不是整数，那么将其向上取整（即其整数部分加上1），在该位置上的数值即为k百分位数。
        • 显然，中位数即为50百分位数，我们也把中位数、25百分位数和75百分位数称为四分位数。25百分位数和75百分位数分别称为下四分位数和上四分位数。
    • 14.5. 应用与建模　阶梯电价的设计
    • 14.6. 阅读　恩格尔系数
      • 恩格尔系数（Engel's Coefficient）是食品支出总额占个人消费支出总额的比重。19世纪德国统计学家恩格尔根据统计资料，对消费结构的变化得出一个规律：一个家庭收入越少，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的支出所占的比例就越大，随着家庭收入的增加，家庭收入中（或总支出中）用来购买食物的支出比例则会下降。推而广之，一个国家越穷，每个国民的平均收入中（或平均支出中），用于购买食物的支出所占比例就越大，随着国家的富裕，这个比例呈下降趋势。
  • 15. 第15章　概率
    • 15.1. 随机事件和样本空间
      • 在一定条件下，事先就能断定发生或不发生某种结果，这种现象就是确定性现象。在一定条件下，某种结果可能发生，也可能不发生，事先不能断定出现哪种结果，这种现象就是随机现象。在自然界和人类社会的生产与生活中，存在着大量的确定性现象和随机现象。
      • 对某随机现象进行的实验、观察称为随机试验（random experiment），简称试验。在相同条件下，试验可以重复进行，试验的结果有多个，全部可能结果在试验前是明确的，但不能确定会出现哪一个结果。例如，抛掷一枚硬币，观察正、反面出现的情况。
      • 我们把随机试验的每一个可能结果称为样本点（sample point），用ω表示，所有样本点组成的集合称为样本空间（sample space），用Ω表示。如果样本空间Ω是一个有限集合，则称样本空间Ω为有限样本空间。样本空间的子集称为随机事件（random event），简称事件。事件一般用A，B，C等大写英文字母表示。当一个事件仅包含单一样本点时，称该事件为基本事件（elementary event）。 显然，Ω（全集）是必然事件，Ø（空集）是不可能事件。
      • 引入样本空间的概念后，我们可以方便地运用集合的语言来刻画事件。
      • 一个事件的完整表述分为两部分，前一部分为试验的条件，后一部分为试验的结果。
      • 并 和
        • 
      • 交 积
        •  
    • 15.2. 随机事件的概率
      • 将事件记为A，用P（A）表示事件A 发生的概率，则P（A）满足如下基本性质：0≤P(A)≤1.
      • 概率满足的第三个基本性质：对于必然事件Ω和不可能事件Ø，显然 P(Ω)=1，P(Ø)=0.
      • 满足特点1样本空间Ω 只含有有限个样本点和特点2每个基本事件的发生都是等可能的，我们将满足上述条件的随机试验的概率模型称为古典概型（classical probability model）。
        • 在古典概型中，如果样本空间Ω＝｛ω１，ω２，...，ωn｝（其中，n为样本点的个数），那么每一个基本事件｛ωk｝（k＝１，２，...，n）发生的概率都是１/n．如果事件A 由其中m 个等可能基本事件组合而成，即A中包含m 个样本点，那么事件A 发生的概率为
          • 在古典概型问题中，求事件A的概率的关键是弄清样本空间中样本点的总数（n），以及事件A 所包含的样本点的个数（m）。
      • 同时抛掷两颗骰子，观察向上的点数
      • 获得随机事件发生的概率最直接的方法就是试验或观察。
      • 一般地，对于给定的随机事件A，在相同条件下，随着试验次数的增加，事件A 发生的频率会在随机事件A 发生的概率P（A）的附近摆动并趋于稳定。我们将频率的这个性质称为频率的稳定性。因此，若随机事件A 在n次试验中发生了m 次，则当试验次数n很大时，可以用事件A 发生的频率mn来估计事件A 的概率，即P（A）≈m/n.
      • 对于随机现象，虽然事先无法确定某个随机事件是否发生，但是在相同条件下进行大量重复试验时，可以发现随机事件的发生与否呈现出某种规律性。概率论正是研究随机现象的数量规律的一个数学分支。
    • 15.3. 互斥事件和独立事件
      • 1. 互斥事件
        • 事件A与B不可能同时发生。这时，我们称A，B 为互斥事件（exclusive events）。
        • 互斥事件A，C中必有一个发生。这时，我们称A，C为对立事件（complementary events），记作
        • 显然，对立事件必为互斥事件，但反之不然．对立事件是必有一个发生的互斥事件。
        • 概率满足的第三个基本性质（亦称概率的加法公式）：如果事件A，B 互斥，那么事件A＋B 发生的概率，等于事件A，B 分别发生的概率的和，即 P（A+B）=P（A）+P（B）.
        • 互斥事件可以推广到n个事件的情形（n∈），n>2：如果事件A1，A2，…，An中任何两个事件都是互斥事件，那么称事件A1，A2，…，An两两互斥。如果事件A1，A2，…，An两两互斥，那么P（A1+A2+…+An）=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
        • 随机事件的概率还具有以下常用性质：
          • （1）
          • （2）
          • （3） 当A，B不互斥时，P（A+B）=P(A)+P(B)-P(AB).
        • 通过事件的运算，将较复杂的事件用简单的事件来表示，然后根据概率的性质，将较复杂事件的概率转化为简单事件的概率，这既是求解概率的基本方法，也是数学研究的基本方法。
      • 2. 独立事件
        • 一般地，对于两个随机事件A，B，如果P（AB）=P(A)P(B)，那么称A，B为相互独立事件（independent events）。事件A 发生与否不影响事件B 发生的概率，即事件A发生与否，事件B发生的概率都相同。 若事件A 发生与否影响事件B 发生的概率，则A，B 不相互独立。
        • 独立事件可以推广到n个事件的情形(n∈N，n>2)。一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么 P（A1A2…An）=P（A1）P（A2）…P（An）.
    • 15.4. 问题与探究　确定公平的规则
    • 15.5. 阅读　制作杨辉三角形
      • 杨辉三角形
        • 《从杨辉三角谈起》华罗庚
        • 应用
          • 二项式：杨辉三角可以看做是二项式的乘方经过分离系数法后列出的表。可以证明这样的事实：一般来说，(a+b)^n的展开式的系数就是杨辉三角中第 n+1 行的数字。
            • 二项式定理：
              • 由二项式定理可以得出一些有趣的等式，例如：
            • (a+b)⁰=1
            • (a+b)¹=a+b
            • (a+b)²=a²+2ab+b²
            • (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³
            • (a+b)⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
            • (a+b)⁵=a⁵+5a⁴b+10a³b²+10a²b³+5ab⁴+b⁵
            • ……
          • 手算开方
          • 弹珠概率
            • 
    • 15.6. 专题　数学建模与数学探究
      • 案例分析
      • 课题研究
  • 16. 附录　随机数表（部分）
• 数学选择性必修 第一、二册
  • 1. 第1章　直线与方程
    • 1.1. 直线的斜率与倾斜角
      • 对于直线上 l 上的任意两点 P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，如果 x₁≠x₂（如图），那么由相似三角形的知识可知，(y₂-y₁)/(x₂-x₁)是一个定值，称其为直线 l 的斜率（slope）。
        • 如果 x₁=x₂（如图），那么直线的斜率不存在。
        • 当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜
        • 当直线的斜率为负时，直线从左上方向右下方倾斜；
        • 当直线的斜率为零时，直线与 x 轴平行或重合。
      • 在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线，把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线重合时，所转过的最小正角 ɑ 也能刻画直线的倾斜程度，把这个角 ɑ 称为这条直线的倾斜角（angle of inclination），并规定：与 x 轴平行或重合的直线的倾斜角为０.
        • 由定义可知，直线的倾斜角 ɑ 的取值范围是 { ɑ | 0≤ɑ<π}.
          • 当直线的斜率为正时，直线的倾斜角为锐角（如图），此时，
          • 当直线的斜率为负时，直线的倾斜角为钝角（如图），此时，
          • 因此，当直线与 x 轴不垂直时，该直线的斜率 k 与倾斜角 ɑ 之间的关系为
      • 当点 P 在直线 l 上时，其坐标 (x，y) 满足方程 F(x，y)=0，并且以方程 F(x，y)=0的解 x，y 为坐标的点 (x，y) 都在直线 l 上 。这时，我们将方程 F(x，y)=0称为直线l 的方程，也称直线l 为方程 F(x，y)=0 的直线。
      • 一般地，当点 P 在曲线 C 上时，其坐标 (x，y) 满足方程 F(x，y)=0，并且以方程 F(x，y)=0的解 x，y 为坐标的点 (x，y) 都在曲线 C 上 。这时，我们将方程 F(x，y)=0称为曲线 C 的方程，也称曲线 C 为方程 F(x，y)=0 的曲线。
    • 1.2. 直线的方程
      • 直线的点斜式方程
        • 直线的点斜式方程（equation of point slope form）：
          • 直线l经过点P₁(x₁，y₁)，斜率为k，求直线l的方程。
          • 当直线 l 与 x 轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示。但因为 l 上每一点的横坐标都等于x₁，所以它的方程是 x=x₁.
        • 直线的斜截式方程（equation of slope intercept form）： 　　　　　　　　由 y-b=k(x-0) ⇒ y=kx+b. 我们把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b称为直线l在y轴上的截距（intercept）。这个方程由直线l的斜率和它在y轴上的截距确定，所以这个方程也叫作直线的斜截式方程。
          • 直线l的斜率为k，与y轴的交点是P(0，b)，求直线l的方程。
      • 直线的两点式方程
        • 直线的两点式方程(equation of two-point form)： 如果x₁≠x₂，直线l的斜率k=(y₂-y₁)/(x₂-x₁). 由 y-y₁=(y₂-y₁)/(x₂-x₁)•（x-x₁）在y₁≠y₂时，⇒ (y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁). 若直线l经过两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，，则直线l唯一确定。
          • 直线l经过两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，求直线l的方程。
          • 当y₁=y₂时，由x₁≠x₂知直线l与y轴垂直，它的直线为 y=y₁.(斜率为0)
          • 如果x₁=x₂，那么y₁≠y₂，直线l与x轴垂直，它的方程为 x=x₁.（斜率不存在）
        • 作直线的截距式方程（equation of intercept form）；直线l经过两点A(a,0),B(0,b)，其中a≠0，b≠0，由直线的两点式方程，得 (y-0)/(b-0)=(x-a)/(0-a) 即 x/a+y/b=1. 我们把直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a称为直线l在x轴上的截距，此时直线l在y轴上的截距为b.方程x/a+y/b=1由直线在x轴和y轴上的非零截距所确定，所以这个方程也叫作直线的截距式方程。
          • 直线l经过两点A(a，0)，B(0，b)，其中a≠0，b≠0，求直线l的方程。 
      • 直线的一般式方程
        • 事实上，在平面直角坐标系中，直线可以分成两类：
          • 一类是与x轴不垂直的直线：直线的斜率存在，于是经过点P₁(x₁，y₁)，斜率为k的直线的方程为y-y₁=k(x-x₁)，即kx-y+y₁-kx₁=0，此方程是关于x,y的二元一次方程。
          • 另一类是与x轴垂直的直线：直线的斜率不存在，于是经过点P₁(x₁，y₁)的下直线的方程为x=x₁，即x+0×y-x₁=0，此方程也可看作是关于x，y的二元一次方程。
          • 因此，平面直角坐标系中的任意一条直线的方程都可以用关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)来表示。
        • 直线的一般式方程（equation of general form）： 　　　　　　　　　　Ax+By+C=0(A,B不全为0) 在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示一条直线。 方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)也称为关于x，y的线性方程。
          • 当B≠0时，方程Ax+By+C=0可以写成图式，它表示斜率为-A/B，在y轴上的截距为-C/B的直线。
          • 当B=0时，A≠0，方程Ax+By+C=0可以写成图式，它表示垂直于x轴的直线。
          • 因此，在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不全为0)都表示一条直线。
    • 1.3. 两条直线的平行与垂直
      • 当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相平行，那么它们的斜率相等；反之，如果两条直线的斜率相等，那么它们互相平行。 不重合的两条直线 l₁∥l₂⇔ k₁=k₂(k₁，k₂均存在).
      • 如果直线的斜率都不存在，那么它们都与x轴垂直，所以 l₁∥l₂.
      • 当两条直线的斜率都存在时，如果它们互相垂直，那么它们斜率的乘积等于-１；反之，如果它们斜率的乘积等于-１，那么它们互相垂直。 l₁⊥l₂⇔ k₁•k₂=-1(k₁，k₂均存在).
        •   
      • 在平面直角坐标系中，直线的斜率刻画了直线的倾斜程度，而两条直线平行或垂直的位置关系与它们的倾斜程度密切相关。
    • 1.4. 两条直线的交点
      • 设两条直线的方程分别是 　　l₁：A₁x+B₁y+C₁=0，l₂：A₂x+B₂y+C₂=0 如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l₁和l₂的交点。
        • 二元一次方程组的解
          • （1） 一组：当A₁/A₂≠B₁/B₂(即A₁B₂-A₂B₁≠0)时，方程组有唯一的一组解，解为
          • （2） 无数组：当A₁/A₂=B₁/B₂=C₁/C₂时，此时两个方程等效，因此方程组有无数组解。
          • （3） 无解：当A₁/A₂=B₁/B₂≠C₁/C₂时，此时两个方程是矛盾的，因此方程组无解。
    • 1.5. 平面上的距离
      • 平面上两点的距离
        • 平面上P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)两点间的距离公式：
        • 对于平面上的两点P₁(x₁，y₁)，P₂(x₂，y₂)，线段P₁P₂的中点是M(x₀，y₀)，则
      • 点到直线的距离
        • 点P(x₀，y₀)到直线l：Ax+By+C=0的距离为
          •       
      • 两条平行直线之间的距离
        • l₁：Ax+By+C₁=0，l₂：Ax+By+C₂=0(C₁≠C₂). 则直线l₁和l₂之间的距离
          • 设 
      • 等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高。
        •        
    • 1.6. 问题与探究　向量方法在直线中的应用
      • 如图，设P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)是直线l上不同的两点，直线l上的向量→PQ以及与它平行的非零向量都称为直线l的方向向量。直线l的一个方向向量的坐标是(x₂-x₁，y₂-y₁).
      • 当直线l′⊥l时，直线l′的方向向量称为直线l的法向量。
      • 对于直线l：Ax+By+C=0(A，B不同时为0)，则如右图式， 从而得A(x₂-x₁)+B(y₂-y₁)=0，即向量(x₂-x₁，y₂-y₁)与向量(-B，A)平行，与向量(A，B)垂直，因此向量(-B，A)是直线l的一个方向向量，向量(A，B)是直线l的一个法向量。
      • 已知直线l₁：A₁x+B₁y+C₁=0(A₁，B₁不同时为0)，l₂：A₂x+B₂y+C₂=0(A₂，B₂不同时为0)，利用向量的方法探究两直线平行和垂直的条件的条件。 l₁∥l₂⇔ A₁B₂-A₂B₁=0. l₁⊥l₂⇔ A₁A₂+B₁B₂=0.
    • 1.7. 阅读　解析几何的产生
  • 2. 第2章　圆与方程
    • 
    • 2.1. 圆的方程
      • 建立圆的方程的思路：
      • 单位圆：以原点为圆心，半径为１的圆。
      • 圆的标准方程(standard equation of circle)： 方程(x-a)²+(y-b)²=r²(r>0)叫作以点(a，b)为圆心，r为半径的圆的标准方程。确定圆的标准方程，只要确定方程中的三个常数a，b，r.
      • 由圆的标准方程(x-a)²+(y-b)²=r²(r>0) 得x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0， 由此可见，圆的方程具有如下形式：x²+y²+Dx+Ey+F=0，其中D,E,F为常数。
      • 由x²+y²+Dx+Ey+F=0 ① 得(x+D/2)²+(y+E/2)²=1/4(D²+E²-4F). 与圆的标准方程比较，可知：
        • （1） 当D²+E²-4F>0时，方程①表示以点(-D/2，-E/2)为圆心，半径为图式的圆；
        • （2） 当D²+E²-4F=0时，方程①只有一解，表示一个点(-D/2，-E/2)；
        • （3） 当D²+E²-4F<0时，方程①无实数解，不表示任何图形。
      • 圆的一般方程(general equation of circle)： 方程x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F>0)叫作圆的一般方程。 确定圆的一般方程，只要确定方程中的三个常数D，E，F.
    • 2.2. 直线与圆的位置关系
      • 在平面几何中，直线与圆有三种位置关系，即相离、相切和相交。而圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的大小关系决定了直线与圆的位置关系。
      • 根据方程来判断直线与圆的位置关系
        • 设直线l和圆C的方程分别为Ax+By+C=0，x²+y²+Dx+Ey+F=0. 如果直线l与圆C有公共点，那么公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个方程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是直线l与圆C的公共点。
        • 直线l与圆C的方程建立方程组
    • 2.3. 圆与圆的位置关系
      • 在平面几何中，圆与圆的位置关系有：外离、外切、相交、内切和内含。这五种位置关系可以通过下面的步骤来判断： 第一步　计算两圆的半径r₁，r₂； 第二步　计算两圆的圆心距d； 第三步　根据d与r₁，r₂之间的关系，判断两圆的位置关系。
      • 根据方程来判断圆与圆的位置关系
        • 设圆C₁和圆C₂的方程分别为 x²+y²+D₁x+E₁y+F₁=0，x²+y²+D₂x+E₂y+F₂=0. 如果圆C₁和圆C₂有公共点，那么公共点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，这两个方程有公共解，那么，以公共解为坐标的点必是圆C₁和圆C₂的公共点。
        • 圆C₁和圆C₂的方程联立方程组
    • 2.4. 问题与探究　圆的切线与切点弦
      • 若P₀(x₀，y₀)是圆O：x²+y²=r²上一点，则圆O的过点P₀的切线方程是x₀x+y₀y=r².
        •  
      • 若点P₀(x₀，y₀)在圆O外时，过P₀作圆O的两条切线，则切点弦所在直线方程是x₀x+y₀y=r².
        •    
      • 当点P₀(x₀，y₀)在圆O内(异于O)时，则方程x₀x+y₀y=r²所表示的直线与圆O相离。y=-x₀/y₀ •x+r²/y₀.
        • 
    • 2.5. 阅读　数学问题（节选）
  • 3. 第3章　圆锥曲线与方程
    • 我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截面与圆锥面的交线是一个圆。改变平面与圆锥轴的夹角，会得到不同的截面，截面与圆锥面的交线可以是椭圆、双曲线、抛物线，因此，我们通常把椭圆、双曲线和抛物线称为圆锥曲线。 
    • 3.1. 椭圆
      • 
      • 平面内到两个定点F₁，F₂的距离之和等于常数(大于F₁F₂)的点的轨迹叫作椭圆(ellipse)，两个定点F₁，F₂叫作椭圆的焦点(focus)，两个焦点间的距离叫作椭圆的焦距(focal distance)。
        • 
      • 椭圆的标准方程
        • 以F₁，F₂所在的直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy(如图)，则F₁，F₂的坐标分别为(-c，0)，(c，0). 设P(x，y)为椭圆上任意一点，根据椭圆的定义知PF₁+PF₂=2a 得(a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²)．因为a²-c²>0， 所以可设a²-c²=b²(b>0), 得，焦点为F₁(-c，0)，F₂(c，0)的椭圆的方程为
          •    
        • 类似地，如图的直角坐标系中， 得，焦点为F₁(0，-c)，F₂(0，c)的椭圆的方程为
        • 以上两种方程都叫作椭圆的标准方程(standard equation of ellipse)，其中b²=a²-c².
      • 椭圆的几何性质
        • 1. 范围
          • 椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内(如图)。
            • 
        • 2. 对称性
          • 坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心。椭圆的对称中心叫作椭圆的中心。
            • 
        • 3. 顶点
          • 在椭圆的标准方程中，令x=0，得y=±b，这说明B₁(0，-b)，B₂(0，b)是椭圆与y轴的两个交点。同理，点A(-a，0)，A(a，0)是椭圆与x轴的两个交点。这四个点是对称轴与椭圆的交点，称为椭圆的顶点。
          • 线段A₁A₂，B₁B₂分别叫作椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫作椭圆的长半轴长和短半轴长。
        • 4. 离心率
          • 焦距与长轴长的比c/a叫作椭圆的离心率(eccentricity)，记为e.显然，0<e<1．随着离心率e的增大，椭圆越来越扁。
            • 
      • 椭圆的中点弦问题
        • 设椭圆方程x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)，弦AB的端点坐标为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x≠₁x₂)，且AB中点为M(x₀，y₀)，直线OM和直线AB的斜率分别为kOM，kAB，则
    • 3.2. 双曲线
      • 平面内到两个定点F₁，F₂的距离之差的绝对值等于常数(小于F₁F₂的正数)的点的轨迹叫作双曲线(hyperbola)，两个定点F₁，F₂叫作双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫作双曲线的焦距。
        • 
      • 双曲线上的点到两个定点距离之差的绝对值等于常数。
      • 双曲线的标准方程
        • 设双曲线的焦距为2c，双曲线上任意一点到焦点F₁，F₂的距离之差的绝对值等于常数2a(2c>2a)。 以F₁，F₂所在的直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy(如图)，则F₁，F₂的坐标分别为(-c，0)，(c，0). 设P(x，y)为双曲线上任意一点，根据双曲线的定义知|PF₁-PF₂|=2a， 得(c²-a²)x²-a²y²=a²(c²-a²). 因为c²-a²>0，所以可设c²-a²=b²(b>0)， 得，焦点为F₁(-c，0)，F₂(c，0)的双曲线的方程为
          •     
        • 类似地，焦点为F₁(0，-c)，F₂(0，c)的双曲线的方程为
        • 以上两种方程都叫作双曲线的标准方程(standard equation of a hyperbola)，其中b²=c²-a².
      • 双曲线的几何性质
        • 1. 范围
          • 双曲线位于不等式x≥a与x≤-a所表示的平面区域内(如图)。
            •  
          • 双曲线还应在以直线y=b/a•x和y=-b/a•x为边界的平面区域内(如图)。
            •   
        • 2. 对称性
          • 双曲线分别关于y轴、x轴和原点都是对称的。这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心。双曲线的对称中心叫作双曲线的中心。
        • 3. 顶点
          • 在双曲线的标准方程中，令y=0，得x=±a．这说明A₁(-a，0)，A₂(a，0)是双曲线与x轴的两个交点，且A₁是左支上最右边的点，A₂是右支上最左边的点。我们把这两个点称为双曲线的顶点。
          • 令x=0，得y²=-b²，这个方程没有实数根，说明双曲线与y轴没有交点，但为了便于画图，我们把B₁(0，-b)，B₂(0，b)也画在y轴上。
          • 线段A₁A₂叫作双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫作双曲线的实半轴长；线段B₁B₂叫作双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫作双曲线的虚半轴长。
        • 4. 渐近线
          • 我们把两条直线y=±b/a•x叫作双曲线x²/a²-y²/b²=1的渐近线(asymptote)。渐近线方程：x²/a²-y²/b²=0
            •       
          • 利用直线x=±a和y=±b所围成的矩形，先画出双曲线的两条渐近线，就可以画出双曲线的简图(如图)。
          • 在双曲线的标准方程x²/a²-y²/b²=1中，如果a=b，那么方程可化为 x²-y²=a²，此时，双曲线的实轴长和虚轴长都等于2a，且两条渐近线互相垂直。实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线。
        • 5. 离心率
          • 焦距与实轴长的比c/a叫作双曲线的离心率，记为e．显然，双曲线的离心率e>1．ｅ越大，渐近线斜率越大，双曲线的开口就越大(阔)。
      • 双曲线的中点弦问题
        • 设双曲线x²/a²-y²/b²=1(a>0，b>0)，弦AB的端点坐标为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x≠₁x₂)，且AB中点为M(x₀，y₀)，直线OM和直线AB的斜率分别为kOM，kAB，则
        • 设双曲线渐近线方程x²/a²-y²/b²=0(a>0，b>0)，渐近线上弦CD的端点坐标为A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)(x≠₁x₂)，且CD中点为E(x₀，y₀)，直线OE和直线CD的斜率分别为kOE，kCD，则
        • 双曲线上以M为中点的中点弦存在的条件
          • 存在条件：
          • 不存在的情况：
      • 以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线。
        • 双曲线与它的共轭双曲线有共同的渐近线。
        • 双曲线与它的共轭双曲线的焦点在同一个圆上。
    • 3.3. 抛物线
      • 平面内到一个定点F和一条定直线l（F不在l上）的距离相等的点的轨迹叫作抛物线（parabola），定点F叫作抛物线的焦点，定直线l叫作抛物线的准线（directrix）。
      • 抛物线的标准方程
        • 抛物线的焦点为F，准线为l，过F作直线FN⊥直线l，垂足为N．以直线NF为x轴，线段NF的垂直平分线为y轴，建立如图的直角坐标系xOy． 设焦点F到准线l的距离为p，则F(p/2，0)．又设P(x，y)为抛物线上任意一点．过点P作PH⊥l，垂足为H，则PF=PH，得y²=2px． 得焦点为(p/2，0)的抛物线的方程为
        • 类似地，我们可以建立如下表所示的坐标系，从而得到抛物线方程的另外三种形式 y²=-2px，x²=2py，x²=-2py(p>0)．
        • 这四种方程都叫作抛物线的标准方程(standard equation of parabola)。
      • 抛物线的几何性质
        • 抛物线y²=2px(p>0)的主要性质归纳如下：
          • （1） 范围
            • 在y轴的右侧。
          • （2） 对称性
            • 关于x轴对称。（抛物线的对称轴叫作抛物线的轴）
          • （3） 顶点
            • 原点。
          • （4） 开口方向
            • 向右。
        • 关于抛物线的焦点弦的常见结论：
          • 在抛物线的标准方程y²=2px(p>0)中，令x=p/2，则y=±p．这就是说，通过抛物线的焦点且垂直于x轴的直线与抛物线交于点M₁(p/2，-p)和M₂(p/2，p)．线段M₁M₂叫作抛物线的通径，它的长为2p．这样，利用抛物线的几何性质和通径的两个端点，可以方便地画出反映抛物线基本特征的简图（如图）。
          • 如图，AB是抛物线y²=2px(p>0)过焦点的一条弦。记A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，AB中点为M(x₀，y₀)，则有以下结论：
            • （1） 所有的焦点弦中，通经最短。
            • （2） 以AB为直径的圆必与准线相切。
              • 通径|AB|=2p，相切圆r=p．
              • 非通径|AB|=x₁+x₂+p，相切圆r=x₀+p/2．
            • （3） |AB|=2(x₀+p/2)=x₁+x₂+p．
            • （4） 若AB的倾斜角为α，则|AB|=2p/sin²α．
            • （5） 抛物线的弦长公式
              • 当弦AB的斜率k存在时，弦长
              • 当弦AB的斜率k存在且非零时，弦长
            • （6） x₁x₂=p²/4，y₁y₂=-p²．
            • （7）
            • （8） 若AB的倾斜角为α，(α≠0，π/2)，则 焦半径|AF|=x₁+p/2=P/(1-cosα)， 焦半径|BF|=x₂+p/2=P/(1+cosα)，
            • （9）
            • （10） 设过抛物线y²=2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，A，B在抛物线准线上的射影分别为C，H，则∠CFH是直角。
            • （11） 延长AO交准线于点H(-p/2，yH)，则HB∥x轴。
            • （12） 从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线都垂直于准线；反之，沿着垂直于准线的方向向抛物线开口发出的光线，经过抛物线反射后，反射光线都聚交于抛物线的焦点上。
              • 
              • 抛物面反射器是一个轴对称二次曲面反射镜，当光源位于焦点处时，光源发出的光线，经反射器反射得到平行光束。
            • （13） 设准线与x轴交于E点(-p/2，0)，则∠AEF=∠BEF.
            • （14） 以焦半径AF的中点K点为圆心，|AF|为直径的圆与y轴相切。
            • （15） 抛物线的中点弦斜率公式为
    • 3.4. 圆锥曲线的统一定义
      • 平面内到一个定点F和到一条定直线l（F不在l上）的距离之比等于常数e的点的轨迹。当０＜e＜１时，它是椭圆；当e＞１时，它是双曲线；当e＝１时，它是抛物线。其中e是圆锥曲线的离心率，定点F是圆锥曲线的焦点，定直线l是圆锥曲线的准线。 根据图形的对称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆或双曲线，与焦点F₁(-c，0)，F₂(c，0)对应的准线方程分别为
      • 离心率相同的二次曲线“形状都相同”。
      • 圆锥曲线的光学性质
        • 椭圆形的反射面能使从一个焦点发出的信号在另一个焦点汇聚，如从一个焦点发出的光线将汇聚到另一个焦点处。
        • 平行于抛物线的对称轴的光线经抛物线壁的反射，光线汇聚于焦点处，这就是“焦点”名称的来源。反过来，从焦点处发出的光线，经过抛物线反射后将变成与抛物线的对称轴平行的光线射出。
        • 从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们好像是从另一个焦点射出的一样，因此，用双曲线绕实轴旋转形成的曲面（双叶旋转双曲面）应用也很广泛。
    • 3.5. 应用与建模　双曲线时差定位法
    • 3.6. 阅读　圆锥曲线的起源
    • 3.7. 阅读图像
      • 椭圆
        • x²/a²+y²/b²>1(a>b>0)
        • x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
        • x²/a²+y²/b²<1(a>b>0)
      • 双曲线
        • x²/a²-y²/b²>1(a>0，b>0)
        • x²/a²-y²/b²=1(a>0，b>0)
        • x²/a²-y²/b²<1(a>0，b>0)
        • 0<x²/a²-y²/b²<1(a>0，b>0)
        • x²/a²-y²/b²<0(a>0，b>0)
      • 抛物线
        • y²<2px(p>0)
        • y²=2px(p>0)
        • y²>2px(p>0)
      • 直线与双曲线公共点个数与位置关系（定性分析）
      • 直线与双曲线公共点个数与位置关系（定量分析）
  • 4. 第4章　数列
    • 4.1. 数列
      • 按照一定次序排列的一列数称为数列（sequence of number），数列中的每个数都叫作这个数列的项（term）。项数有限的数列叫作有穷数列，项数无限的数列叫作无穷数列。
        • 数列的一般形式可以写成a1, a2, a3, …, an,…，简记为
          • 其中a1称为该数列的第1项或首项（leading term），a2称为第2项……an称为第n项。
          • 在该数列中，对于每一个正整数n（或n∈ ｛１，２，...，k｝），都有一个数an 与之对应，因此，数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集｛１，２，...，k｝）为定义域的函数an ＝f（n），当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值。反过来，对于函数y＝f（x），如果f（i）（i＝１，２，３，...）有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1), f(2), f(3), …, f(n), ….
      • 一般地，如果数列 {an} 的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式。
        • 数列可以由通项公式来给定，也可以通过列表或图象来表示。
      • 一般地，如果已知一个数列 {an} 的第1项（或前几项），且任一项 an 与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫作这个数列的递推公式。
        • 递推公式也是给定数列的一种方法。
      • 求数列的通项公式，就是求 an 与 n 的对应关系 an=f(n).
      • 在GGB中，可用“序列[]”得到数列及图象。例如，在输入框中输入“序列[(n,n/(n+1)),n,1,20]”就可得到数列an=n/(n+1)的20个序对（n, an）及图象。
    • 4.2. 等差数列
      • 等差数列的概念
        • 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等差数列（arithmetic progression），这个常数叫作等差数列的公差（common difference），公差通常用d表示。
          • 在等差数列 {an} 中，始终有an+1-an=d.
          • 在等差数列 {an} 中， 其中an叫作an-1和an+1的等差中项。
            • 
          • 在数列中，如果对于任意的正整数n(n≧2)，都满足图中等式，那么数列 {an} 一定是等差数列。
            •  
      • 等差数列的通项公式
        • 等差数列 {an} 的通项公式，其中a1为首项，d为公差：一般地 ，对于等差数列 {an} 的第n项an，有
          • 
      • 等差数列的前n项和
        • 一般地，对于数列 {an} ，把a1+a2+…+an称为数列的前n项和，记作Sn.
        • 等差数列 {an} 的前n项和公式： 等差数列前n项的和等于首末两项和的一半的n倍。
          • 代入等差数列的通项公式，又得
    • 4.3. 等比数列
      • 等比数列的概念
        • 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫作等比数列（geometric progression），这个常数叫作等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母 q 表示。
          • 在等比数列 {an} 中，始终有：
          • 在等比数列 {an} 中，有： 称an为an-1和an+1的等比中项。
            • 
          • 如果数列 {an} 中，对于任意的正整数n（n≥2），都有右图等式，那么数列 {an} 不一定是等比数列。 例如，对于数列0，0，0，…，总满足该等式，但这个数列不是等比数列。
            • 
      • 等比数列的通项公式
        • 等比数列 {an} 的通项公式，其中a1为首项，q为公比：一般地，对于等比数列 {an}的第n项an，有
          • 
      • 等比数列的前n项和
        • 已知等比数列 {an} 的第1项a1和公比q，它的前n项和为Sn，
          •  
          • 当q≠1时，
            • 根据等比数列的通项公式，又可得到
          • 当q=1时，Sn=na1.
      • 分期付款的数学模型
        • 为解决该问题，我们先考察一般情形。设某商品一次性付款的金额为a元，以分期付款的形式等额地分成n次付清，每期期末所付款是x元，期利率为r，则分期付款方式可表示为
          • 
        • 运用等比数列求和公式，化简得
      • 现值与终值
        • “现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，掌握好这两个概念，对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的。
        • 所谓“现值”是指在n期末的金额，把它扣除利息后，折合成现时的值。而“终值”是指n期后的本利和。它们计算的基点分别是存期的起点和终点。
          • 例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则 S=A(1+r)^n，其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为 A=S/(1+r)^n.
      • EXCEL
        • （1） PMT 函数，在固定利率的等额分期付款方式中，计算投资或贷款的每期付款额。
        • （2） FV 函数，在固定利率的等额分期付款方式中，计算某项投资的终值。
        • （3） PV 函数，计算一系列未来付款的现值累积和。
      • GGB
        • 在GGB中，与Excel类似，可用“每期付款额[]”“未来值[]”“现值[]”等函数处理财务问题。
    • 4.4. 数学归纳法*
      • 一般地，证明一个与正整数n有关的数学命题，可按如下两个步骤进行： 根据(1)(2)就可以断定命题对于从 n0 开始的所有正整数 n 都成立。 上述证明方法叫作数学归纳法（mathematical induction）。
        • （1） 证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立；
        • （2） 假设当 n=k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
      • 数学归纳法是证明与正整数有关的命题的常用方法。
      • 数学归纳法是一种重要的证明方法，应用十分广泛。一般说来，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项的和等问题，都可以考虑用数学归纳法证明。
    • 4.5. 问题与探究　数列的转化※
    • 4.6. 阅读　斐波那契数列
      • 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….
        • 从第三项开始，每一项都是它的前两项的和。
      • 许多问题也都与之有关
        • （1） 兔子繁殖问题
        • （2） 树木的生长模式
        • （3） 观察蜜蜂爬过六角形蜂房所取的不同路线
        • （4） 由正方形可以构成一系列的长方形，其边长为斐波那契数列的连续项。在正方形内绘出一个圆的1/4，就可以近似地得到等角螺线。
          • 等角螺线因它的性质而得名，因为在等角螺线中，自某一个定点画出的每一条射线与等角螺线相交成等角。
      • 斐波那契数列最值得注意的性质是：相邻两数的比交替地大于或小于黄金比，并且该比值无限趋近于黄金比。
        • 
  • 5. 第5章　导数及其应用
    • 5.1. 导数的概念
      • 平均变化率
        • 一般地，函数f(x)在区间[x1, x2]上的平均变化率（average rates of change）为
          • 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，或者说，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”。
        • 平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势。
      • 瞬时变化率——导数
        • 1. 曲线上一点处的切线
          • 点P附近的曲线被看作直线l，那么我们可以用直线l的斜率来刻画曲线经过点P时上升或下降的“变化趋势”。
          • 如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线（secant line）。随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l称为曲线在点P处的切线（tangent line）。
          • 利用这种割线逼近切线的方法，我们来计算曲线上一点处切线的斜率。如图，设曲线上一点 P(x,f(x))，过点P的一条割线交曲线C于另一点Q(x+△x, f(x+△x))，则割线PQ的斜率为
            • 当点Q沿曲线C向点P运动，并无限逼近点P时，割线PQ逼近点P的切线l，从而割线的斜率逼近切线l的斜率，即当△x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于点P（x, f(x)）处的切线的斜率。
        • 2. 瞬时速度与瞬时加速度
          • 在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，它反映了物体在某段时间内运动的快慢程度。
          • 一般地，如果当△t无限趋近于0时，运动物体位移 S(t) 的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 t=t0 时的瞬时速度，也就是位移对于时间的瞬时变化率。 类似地，我们还可以求出某一时刻物体运动的瞬时加速度。
            • 精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度。
          • 一般地，如果当△t无限趋近于0时，运动物体速度 v(t) 的平均变化率无限趋近于一个常数，那么这个常数称为物体在 t=t0 时的瞬时加速度，也就是速度对于时间的瞬时变化率。
            •  
        • 3. 导数
          • 前面的实际问题都涉及了函数在某一点处的瞬时变化率——导数。
          • 设函数 y=f(x) 在区间 (a，b)上有定义，x0∈（a，b），若△x无限趋近于0时，比值 △y/△x 无限趋近于一个常数A，则称 f(x) 在 x=x0 处可导（derivable），并称该常数 A 为函数 f(x) 在 x=x0 处的导数（derivative）（也称为瞬时变化率），记作 f'(x0)。（△x表示自变量x的该变量，△y表示相应的函数的该变量。）
            • 若用符号“→”表示“无限趋近于”，则“当△x无限趋近于0时， [f（x0+△x）-f(x0)]/△x 无限趋近于常数 A”就可以表示为：
              • 通常又可表示为
                • 即
          • 导数 f'(x0) 的几何意义就是曲线 y=f(x) 在点 P(x0,f(x0)) 处的切线的斜率。
          • 若 f(x) 对于区间（a, b）内任一点都可导，则 f(x) 在各点处的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为 f(x) 的导函数（derived function），记作 f'(x).
          • 在不引起混淆时，导函数 f'(x) 也称为 f(x) 的导数。
            • 瞬时速度是运动物体的位移 S(t) 对于时间 t 的导数，即 v(t)=S'(t)；
            • 瞬时加速度是运动物体的速度 v(t) 对于时间 t 的导数，即 a(t)=v'(t).
          • f（x）在x=x0 处的导数 f'(x0) 就是导函数 f'(x) 在 x=x0 处的函数值。
      • 边际函数
        •    
    • 5.2. 导数的运算
      • 基本初等函数的导数
        • 根据导数的概念，求函数导数的过程可以用下面的流程图来表示：
        • 为方便叙述，我们把函数 y=x^α(α为常数)，y=a^x(a>0，a≠1)，y=logax(a>0，a≠1)，y=sin x，y=cos x等称为基本初等函数。
        • 归纳求导公式
          • （1）
            • 
          • （2）
          • （3）
          • （4）
            •  
          • （5）
            • 
          • （6）
            • 
          • （7）
            •  
          • （8）
          • （9）
          • （10）
          • （11）
          • （12）
          • （13）
          • （14）
      • 函数的和、差、积、商的导数
        • 函数和的求导法则：
          • 即两个函数的和的导数，等于这两个函数的导数的和。
        • 函数的差、积、商的求导法则：
        • 有了函数的和、差、积、商的求导法则，我们就可以直接运用基本初等函数的求导公式求出较为复杂的函数的导数。
      • 简单复合函数的导数
        • 一般地，对于两个函数 y=f(u) 和 u=g(x)，如果通过中间变量 u，y 可以表示成关于 x 的函数，那么称这个函数为函数 y=f(u) 和 u=g(x) 的复合函数（composite function），记作 y=f(g(x)).
        • 一般地，对于由函数 y=f(u) 和 u=g(x) 复合而成的函数 y=f(g(x))，它的导数与函数 y=f(u)，u=g(x) 的导数间的关系为
        • 特别地，若 y=f(u)，u=ax+b，则
          • 即
        • 阅读　f(ax+b)的导数的一种解释
    • 5.3. 导数在研究函数中的应用
      • 单调性
        • 对于函数 y=f(x)，
          • 如果在某区间上 f'(x)>0，那么 f(x) 在该区间上单调递增；
          • 如果在某区间上 f'(x)<0，那么 f(x) 在该区间上单调递减.
          • 如果在某区间上 f'(x)≥0，且只在有限个点处 f(x)=0，那么 f(x) 在该区间上单调递增；
          • 如果在某区间上 f'(x)≤0，且只在有限个点处 f(x)=0，那么 f(x) 在该区间上单调递减.
      • 极大值与极小值
        • 一般地，若存在δ>0，当 x∈（x1-δ, x1+δ）时，都有 f(x)≤f(x1)，则称 f(x1) 为函数 f(x) 的一个极大值，x1 称为函数 y=f(x) 的极大值点。 类似地，图中 f(x2) 为函数的一个极小值，x2 称为函数 y=f(x) 的极小值点。函数的极大值、极小值统称为函数的极值，极大值点、极小值点统称为极值点。 这里，x1 左（右）侧是指以 x1 为右（左）端点的一个小区间。 符号“↗”“↘”分别表示“单调递增”和“单调递减”。
      • 最大值与最小值
        • 如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的 x∈I，总有f(x)≤f(x0)，那么 f(x0) 为函数在定义域上的最大值。最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值唯一。
        • 求 f(x) 在区间 [a，b] 上的最大值与最小值可以分两步：
          • 第一步　求 f(x) 在区间 (a，b) 上的极值；
          • 第二步　将第一步中求得的极值与 f(a)，f(b) 比较，得到 f(x) 在区间 [a，b] 上的最大值与最小值。
      • 圆锥曲线的光学性质（续）
    • 5.4. 应用与建模　三次样条模型
    • 5.5. 阅读　微积分的建立
    • 5.6. 专题　数学建模与数学探究
      • 案例分析
      • 课题推荐
  • 6. 第6章　空间向量与立体几何
    • 6.1. 空间向量及其运算
      • 空间向量：在空间，我们把像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量，叫作空间向量（space vector）。
      • 空间向量的线性运算
        • 与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示。凡是方向相同且长度相等的有向线段都表示相同的向量。类比平面向量的运算，空间向量也有加法、减法和数乘运算。
        • 由O，A，B三点确定一个平面或三点共线可以知道，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段来表示。
        • 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算。
          • 与平面向量的运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算的意义为
          • 同样，空间向量的加法和数乘运算满足如下运算律：
            • （1） a+b=b+a
            • （2） (a+b)+c=a+(b+c)
            • （3） λ(a+b)=λa+λb(λ∈R)
          • 可以借助空间四边形来验证空间向量的加法满足结合律
        • 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫作共线向量或平行向量。向量a与b平行，记作a∥b.
          • 我们规定零向量与任意向量共线。
          • 共线向量的方向相同或相反。
        • 平面向量共线的充要条件在空间也是成立的，即有 共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(a≠0)，b与a共线的充要条件是存在实数λ，使b=λa.
      • 空间向量的数量积
        • 非零向量a与向量b的夹角，记作〈a,b〉
          •  
          • 根据两个向量夹角的定义，容易知道〈a,b〉=〈b,a〉.
          • 如果〈a,b〉=0，那么向量a与b同向；
          • 如果〈a,b〉=π，那么向量a与b反向；
          • 如果〈a,b〉=π/2，那么称a与b互相垂直，并记作a⊥b.
        • 设a,b是空间两个非零向量，我们把数量|a||b|cos〈a,b〉叫作向量的数量积，记作a•b，即
          • 规定：零向量与任一向量的数量积为０.
          • 由此可见，空间两个非零向量a,b的夹角〈a,b〉可以由下式求得
          • a⊥b ⇔ a•b=0（a,b是两个非零向量）
          • |a|²=a•a=a².
        • 与平面向量一样，空间向量的数量积也满足下列运算律：
          • （1） a•b=b•a
          • （2） (λa)•b=λ(a•b)(λ∈R)
          • （3） (a+b)•c=a•c+b•c
        • 空间任意非零向量a在向量b上的投影向量（projection vector）
          •  
          • 与平面向量的情形类似，我们有
            • 即向量a，b的数量积就是向量a在向量b上的投影向量与向量b的数量积。
        • 向量m在平面α上的投影向量。
          •  
          • 对于平面α内的任一向量n，有
            • 也就是说，空间向量m,，n的数量积就是向量m在平面α上的投影向量与向量n的数量积。
      • 共面向量定理
        • 一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量（coplanar vectors）。显然，任意两个空间向量都是共面向量。
        • 空间向量满足共线向量定理。同样，空间向量也满足共面向量定理。 共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组（x，y），使得p=xa+yb.
          • 这就是说，向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示
          • 与平面向量一样，对于空间向量p，a，b，若p=xa+yb成立，则称p由a，b线性表示。
        • 平面向量中的三点共线定理
          • 
        • 空间向量中的四点共面定理
          •    
          • •  
    • 6.2. 空间向量的坐标表示
      • 空间向量基本定理
        • 平面向量基本定理表明，平面内任一向量可以用该平面的两个不共线向量来线性表示。
        • 空间向量基本定理：如果三个向量e₁，e₂，e₃不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使p=xe₁+ye₂+ze₃.
          • 对于空间向量p，e₁，e₂，e₃，若p=xe₁+ye₂+ze₃成立，则称p由e₁，e₂，e₃线性表示。
          • 空间向量基本定理告诉我们，如果三个向量e₁，e₂，e₃不共面，那么空间的每一个向量都可由向量e₁，e₂，e₃线性表示。我们把｛e₁，e₂，e₃｝称为空间的一个基底，e₁，e₂，e₃叫作基向量。
          • 如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底。特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用｛i，j，k｝表示。
        • 推论 设O，A，B，C 是不共面的四点，则对空间任意一点P，都存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得
      • 空间向量的坐标表示
        • 空间直角坐标系O-xyz
          • 
          • 在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一个向量a，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a₁，a₂，a₃），使a=a₁i+a₂j+a₃k. 有序实数组（a₁，a₂，a₃）叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作a=（a₁，a₂，a₃）.
          • 事实上，记向量a在i，j，k上的投影向量分别为ai，aj，ak，则 a=ai+aj+ak=(a•i)i+(a•j)j+(a•k)k，即 a₁=a•i，a₂=a•j，a₃=a•k.
          • 如图，在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任意一点P，我们称向量→OP为点P的位置向量。于是，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得
            • 因此，向量→OP的坐标为
            • 此时，我们把与向量→OP对应的有序实数组（x，y，z）叫作点P的坐标，记作P(x，y，z). (x,y,z分别叫作点P的横坐标、纵坐标和竖坐标。)
        • 类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则 设a=(x₁，y₁，z₁)，b=(x₂，y₂，z₂)，则
        • 空间向量平行的坐标表示为
        • 与平面向量一样，若A（x₁，y₁，z₁），B（x₂，y₂，z₂），则
          • 这就是说，一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标。
        • 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
          • 对于平面内两个非零向量a=(x₁，y₁)和b=（x₂，y₂），有a•b=x₁x₂+y₁y₂.
          • 对于空间两个非零向量a=(x₁，y₁，z₁)和b=（x₂，y₂，z₂），则 a•b=x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂.
            •  
            • 空间中，任意两点A(x₁，y₁，z₁),B(x₂，y₂，z₂)的距离公式
            • 特别地，当b=a时，可以得到向量a的长度公式：
        • 设空间两个非零向量a=(x₁，y₁，z₁)和b=（x₂，y₂，z₂），它们的夹角为〈a,b〉。由向量数量积的定义，可得
          • 由此，我们可以得到空间向量垂直的坐标表示为 a⊥b ⇔ a•b=0 ⇔ x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂=0.
        • 已知A=(x₁，y₁，z₁)和B=（x₂，y₂，z₂），线段AB的中点M的坐标为
    • 6.3. 空间向量的应用
      • 直线的方向向量与平面的法向量
        • 为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先要用向量来表示直线和平面的“方向”。
        • 我们把直线l上的向量e（e ≠０）以及与e共线的非零向量叫作直线l的方向向量（direction vector）。
        • 由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，所以，我们可以考虑用平面的垂线的方向向量来刻画平面的“方向”。
        • 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α。此时，我们把向量n叫作平面α的法向量（normal vector）。
        • 与平面垂直的直线叫作平面的法线。因此，平面的法向量就是平面的法线的方向向量。
        • 在空间直角坐标系中，我们可以用待定系数法来求平面的法向量。
          •  
        • 在空间直角坐标系中，平面可以用关于x,y,z的三元一次方程来表示。
          •   
      • 空间线面关系的判定
        • 用向量的方法来研究空间线面的平行和垂直关系。设空间两条直线l₁，l₂的方向向量分别为e₁，e₂，两个平面α₁，α₂的法向量分别为n₁，n₂，则有下表：
        • 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
          •  
        • 直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
          •   
        • 直线的方向向量与平面的法向量垂直，这条直线可能与平面平行，也可能在该平面内。
      • 空间角的计算
        • 在定义了平面的法向量之后，我们就可以用平面的法向量来求两个平面所成的角。 由于平面的法向量垂直于平面，这样，两个平面所成的二面角就可以转化为这两个平面的法向量所成的角．因为二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°，所以二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角相等或互补。
          • 二面角的表示：例如图二面角A₁-BD-C₁
      • 空间距离的计算
        • 空间两条平行直线间的距离、一条直线到与它平行的平面的距离、两个平行平面间的距离可以转化为点到直线的距离或点到平面的距离。
        • 用向量的方法分别研究点到直线的距离及点到平面的距离。
          • 点到平面的距离
            •  
          • 点到直线的距离
            •   
            • •    
        • 用向量方法研究空间距离问题的一般步骤：
          • 1. 第一步，确定法向量；
          • 2. 第二步，选择参考向量；
          • 3. 第三步，确定参考向量到法向量的投影向量；
          • 4. 第四步，求投影向量的长度．
      • 运用空间向量求异面直线间的距离
        •  
    • 6.4. 问题与探究　平面方程
      • 过点A(a,0,0)，B(0,b,0)，C(0,0,c)（其中a，b，c均是不等于0的常数）的平面ABC的方程为
      • 已知n=(A,B,C)是平面α的一个法向量，且平面α经过P₀(x₀,y₀,z₀)，则平面α的方程为
        • 
      • 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，则向量(A,B,C)是平面α的法向量。
      • 点P₀(x₀,y₀,z₀)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为
    • 6.5. 阅读　向量的向量积
      • 两个空间向量除了数量积运算外，还有一种称为向量积的运算。
        • 1. 向量积的定义
          •  
          • 两个空间向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b。向量的向量积也称为外积或叉积。
            • 若a，b不共线，则a×b的模是：|a×b|=|a||b|sinθ ，其中θ是向量a和b的夹角，a×b的方向是：垂直于a,b，且a,b和a×b按照这个顺序成右手系。
            • 若a,b共线，则a×b=0。
        • 2. 向量积的性质
          • 
        • 3. 向量积的运算律
          • 
        • 4. 向量积的坐标表示
          • 
  • 7. 第7章　计数原理
    • 排列、组合、二项式定理等知识，不仅能帮助我们解决社会生活中的计数问题，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用，它们是概率论和数理统计的基础。
    • 7.1. 两个基本计数原理
      • 分类计数原理 / 加法原理
        • 如果完成一件事，有n类方式，在第１类方式中有m₁种不同的方法，在第２类方式中有m₂种不同的方法......在第n类方式中有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法。
      • 分步计数原理 / 乘法原理
        • 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第１步有m₁种不同的方法，做第２步有m₂种不同的方法......做第n步有mn 种不同的方法，那么完成这件事共有N种不同的方法。
    • 7.2. 排列
      • 一般地，从n个不同的元素中取出 m(m≤n) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列（arrangement）。（如无特别说明，取出的 m 个元素都是不重复的。）
      • 可利用树形图例出排列。
      • 处理排列问题可分步进行。
      • 一般地，从n个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有排列的个数，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用如图符号表示。
      • 一般地，为了求出从 n 个不同元素中任意取出 m 个元素的排列数，可以把这 m 个元素所排列的位置划分为第1位、第2位……第m位。如图
        • 第一步　第1位从n个元素中任取１个来填，有n种不同的方法；
        • 第二步　第2位只能在余下的 n-1 个元素中任取１个来填，有 n-1 种不同的方法；
        • 第三步　第3位只能在余下的 n-2 个元素中任取１个来填，有 n-2 种不同的方法；
        • ……
        • 第m步　第m位只能在余下的 n-(m-1) 个元素中任取１个来填，有 n-m+1 种不同的方法。
        • 根据分步计数原理，得到排列数公式，如图。其中 n,m∈N*，且m≤n.
          • 规定
      • n 个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排列。在排列数公式中，当m=n时，即有
        • n(n-1)(n-2)×…×3×2×1 称为n的阶乘（factorial），通常用 n! 表示，即
      • • 
        • 为了使上述结论在 m=n 时也成立，规定 0！=1.
          • 由此，排列数公式还可以写成
      • •   
      • (n+1)! - n!=n•n!
        • 1×1！+2×2！+3×3！+…+10×10！=11！-1！
    • 7.3. 组合
      • 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素并成一组，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（combination）。
      • 从 n 个不同元素中取出 m(m≤n) 个元素的所有组合的个数，叫作从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，用如图符号表示。（如无特别说明，取出若干个元素都是指无重复地选取。）
      • 组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果。
      • 一般地，求 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数
        • 可分为两步：
          • 第一步　求出从这 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数
          • 第二步　求每一个组合中 m 个元素的全排列数
      • 根据分步计数原理，得到
        • 因此，得到组合数公式
          • 也可写成
      • 组合数的两个重要性质：
        • 为了使第一个性质在 m=n 时也能成立，规定
      • 解决计数问题，关键是设计完成一件事情的合理过程，建立适当的模型，灵活运用两个基本计数原理。具体地说，要分清需要完成的事情与顺序是否有关，要优先考虑特殊的元素或特殊的位置，还要多角度思考问题，用多种方法验证计算结果。
    • 7.4. 二项式定理
      • 二项式定理（binomial theorem）
        •      
        • • 右边的多项式叫作 (a+b)^n 的二项展开式，它一共有 n+1 项，其中二项展开式的第 r+1 项（也称通项）如图，用 Tr+1 表示，即
            • • 第 r+1 项的二项式系数为
        • 展开式中某一项的系数与该项的二项式系数是两个不同的概念。
          •   
      • 二项式系数的性质及应用
        • 二项式系数的特点：
          • 
          • （1） 每一行中的二项式系数是“对称”的。
          • （2） 图中每行两端都是１，而且除１以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和。
            • 杨辉三角 
          • （3） 图中每行的二项式系数从两端向中间逐渐增大。
          • （4） 第n+1行的各数之和为2^n。
        • 一般地，(a，b)^n 展开式的二项式系数有如下性质：
          • （1）
          • （2）
          • （3）
            •    
          • （4）
            • 
        • 在 (a+b)^n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。
          • 当n为偶数时，
    • 7.5. 问题与探究　算两次
      • •   
    • 7.6. 阅读　杨辉三角
      • 我国北宋数学家贾宪（约11世纪）有一部著作《黄帝九章算法细草》，其中有“开方作法本源”图。贾宪的书已失传，杨辉（约13世纪）在《详解九章算法》一书中征引了贾宪的材料，说明“出释锁算书，贾宪用此术”。“开方作法本源”图现称为“杨辉三角”（或“贾宪三角”），它实际上是一张二项式系数表，我国数学家发现这张表不晚于11世纪。元朝数学家朱世杰《四元玉鉴》（1303）卷首的“古法七乘方图”也给出二项式系数。欧洲把这种二项式系数表称为帕斯卡三角形。
        • 
        • “左袤乃积数，右袤乃隅算”，“袤”字本是“衺”字，衺是古“邪”字，通“斜”。就是说，左边斜线上的数字（一、一、一......）是各次开方积（常数a^n）的系数，右边斜线上的数字（一、一、一......）是各项开方的“隅算”（x^n）的系数。第三句“中藏者皆廉”是说图中各横行中的“二”，“三、三”，“四、六、四”等分别是二次方、三次方、四次方时除“积”“隅”以外各项的系数（“廉”）。“以廉乘商方”是说用各次廉乘商（一位得数）的相应次方。“命实而除之”是说从被开方数“实”中减去最后所得的廉与商的乘积。
          • 
      • • ……
  • 8. 第8章　概率
    • 8.1. 条件概率
      • 条件概率
        • 两个事件A,B相互独立的充要条件是 P(AB)=P(A)P(B).
        • 一般地，设A,B为两个事件，P(A)>0，我们称 P(AB)/P(A) 为事件 A 发生的条件下事件 B 发生的条件概率（conditional probability），记为 P(B|A)，读作“A发生的条件下 B 发生的概率”，即 （在竖线“|”之后的部分表示条件.）
          •   
          • 由上述公式可知： 通常将此公式称为概率的乘法公式。 既可以用于求条件概率，也可以用于求两个事件同时发生的概率。
          • 条件概率有如下性质：
            • （1）
            • （2）
            • （3） 若B₁，B₂互斥，则
      • 全概率公式
        • 若事件 A₁，A₂，An 两两互斥，且它们的和
          • P（Ai）>0，i=1,2,…,n，则对于Ω中的任意事件B，有右图公式，该公式称为全概率公式（total probability formula）。
      • 贝叶斯公式
        • 一般地，若事件 A₁，A₂，…，An 两两互斥，且 A₁∪A₂∪…∪An=Ω，P(Ai)>0，i=1,2,…,n，则对于 Ω 中的任意事件 B ，P(B)>0，有
          • 因此
            • 再由全概率公式得 这个公式称为贝叶斯公式。
    • 8.2. 离散型随机变量及其分布列
      • 随机变量及其分布列
        • 随机事件是样本空间的子集，如果在样本空间与实数集之间建立某种对应，那么就能方便我们表示和研究随机事件。
        • 样本空间是以样本点为元素的集合，很多情况下的样本点容易与实数建立对应关系。
        • 当随机试验的样本点不涉及实数时，我们可以通过适当的方式，为每个样本点指定一个实数。
        • 通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来建立样本点和实数的对应关系，从而实现了样本点的数量化。由于随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性。
        • 一般地，对于随机试验样本空间Ω 中的每个样本点ω，都有唯一的实数X（ω）与之对应，则称X 为随机变量（random variable）。通常用大写英文字母X，Y，Z（或小写希腊字母ξ，η，ζ）等表示随机变量，而用小写英文字母x，y，z（加上适当下标）等表示随机变量的取值。
          • 
          • 植树成活的树苗数、抛掷骰子向上的点数......像这种取值为离散的数值的随机变量称为离散型随机变量（discrete random variable）。
          • 而接听电话的时长、降雨量......取值为连续的实数区间，具有这种特点的随机变量称为连续型随机变量（continuous random variable）。
        • 引入随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示了。复杂的随机事件也可以用随机变量的取值来表示。
          •   
        • 既然随机事件可以用随机变量表示，那么随机事件发生的概率就可以用随机变量的取值的概率表示了。
          •  
        • 一般地，随机变量 X 有 n 个不同的取值，它们分别是 x₁x₂,…, xn，且 　　　　　　　　　　　P(X=xi) =pi，i=1,2,…，n， 称该式为随机变量 X 的概率分布列，简称为 X 的分布列。该式也可以用如图表的形式来表示。该表称为随机变量 X 的概率分布表。它和概率分布列都叫作随机变量 X 的概率分布。随机变量的概率分布给出了随机试验所有基本事件对应的概率。 通常将 P({X=xi}) 简记为 P(X=xi)
          • 显然，这里的 pi(i=1,2,…，n)满足条件 pi≥0，p1+p2+…+pn=1.
        • 随机变量 X 只取两个可能值０和1的这一类概率分布称为 0-1分布或两点分布，并记为 X~0-1分布或 X~两点分布。此处“~”表示“服从”。
      • 离散型随机变量的数字特征
        • 随机变量的概率分布完整地描述了随机变量的取值规律，但在实际问题中往往不容易求出精确的分布规律。而对于很多此类问题，并不需要了解这个规律的全貌，只要知道能揭示其分布特征的某些重要数字就够了。
        • 1. 离散型随机变量的均值
          • 一般地，随机变量 X 的概率分布如表所示，其中 pi≥0，i=1,2,…，n， p1+p2+…+pn=1. 我们将 p1x1+p2x2+…+pnxn 称为随机变量 X 的均值（mean）或数学期望（mathematical expectation），记为 E(X)或μ.
          • 期望损失
            •     
        • 2. 离散型随机变量的方差与标准差
          • 当样本平均数相差不大时，可以利用样本方差考察样本数据与样本平均数的偏离程度。同样可以用一个类似于样本方差的量来刻画随机变量的波动程度。
          • 一般地，若离散型随机变量 X 的概率分布如表所示，其中 pi≥0，i=1,2,…，n， p1+p2+…+pn=1，则 (xi-μ)²(μ=E(X)) 描述了 xi(i=1,2,…，n) 相对于均值 μ 的偏离程度，故 　　　　　　　　　　(x1-μ)²p1+(x2-μ)²p2+…+(xn-μ)²pn （其中 pi≥0，i=1,2,…，n，p1+p2+…+pn=1）刻画了随机变量 X 与其均值 μ 的平均偏离程度，我们将其称为离散型随机变量 X 的方差，记为 D(X)或σ².即 　　　　　　　Ｄ(X)=σ²=(x1-μ)²p1+(x2-μ)²p2+…+(xn-μ)²pn.
            • 方差也可用如图公式计算
          • 随机变量 X 的方差也称为 X 的概率分布的方差，X 的方差 D(X) 的算术平方根称为 X 的标准差，即
          • 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度。方差或标准差越小，随机变量偏离于均值的平均程度就越小。
          • 随机变量的方差和样本方差有何区别和联系?
            • 区别：随机变量可以看成刻画某一总体的量,它的方差也就是该总体的方差，是一个确定的常数，而不同的抽样一般会得到不同的样本，样本的方差就会改变。
            • 联系：对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本方差越来越接近总体方差，因此常用样本方差来估计总体方差。
      • 二项分布
        • n 次独立重复试验是由伯努利首先研究的，故又称伯努利概型。 我们把只包含两个可能结果的试验叫作伯努利试验（Bernoulli trials）。将一个伯努利试验独立地重复进行 n 次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。 在n重伯努利试验中，事件A恰好发生 k(0≤k≤n) 次的概率如图，它恰好是(q+p)^n的二项展开式中的第 k+1 项。
        • 若随机变量 X 的分布列如图，其中 0<p<1，p+q=1，k=0，1，2，…，n，则称 X 服从参数为 n，p的二项分布（binomial distribution），记作 X~B(n，p).
          • 其概率分布如下表：
        • 一般地，当 X~B(n，p) 时，
          • 证明：https://www.bilibili.com/read/cv15001428/ 
      • 超几何分布
        • 一般地，若一个随机变量 X 的分布列为图式，其中 r=0,1,2,3,…,l，l-min{n, M}，则称 X 服从超几何分布（hypergeometric distribution），记为 X~H(n，M，N)，并将 P(X=r)=图式记为 H(r;n,M,N).
        • 一般地，当 X~H(n, M, N) 时，
        • 超几何分布与二项分布的区别与联系
          • http://www.qikan.com.cn/newarticleinfo/jsxj202221172.html
      • 二项分布、超几何分布是刻画离散型随机变量分布的数学模型。
    • 8.3. 正态分布
      • 二项分布、超几何分布是刻画离散型随机变量分布的数学模型，在实际应用中，还有许多随机变量可以取某一区间中的一切值。这类随机变量就是连续型随机变量。
      • 概率密度曲线：如果数据无限增多且组距无限缩小，那么频率直方图上的折线将趋于一条光滑的曲线，我们将此曲线称为概率密度曲线。
      • 如图函数P(x)的图象与上述曲线非常吻合，我们将该函数的图象称为正态密度曲线。这里有两个参数 μ 和 σ，其中 σ>0，μ∈R.
        • 
        • 不同的μ和σ对应着不同的正态密度曲线。
          • 
        • 正态密度曲线具有如下特征：
          • （1） 当x＜μ时，曲线上升；当x＞μ时，曲线下降；当曲线向左右两边无限延伸时，以x轴为渐近线。
          • （2） 曲线关于直线x＝μ对称。
          • （3） σ越大，曲线越扁平；σ越小，曲线越尖陡。
          • （4） 在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为１。
      • 设 X 是一个随机变量，若对任给区间（a，b］，P（a＜X≤b）是正态密度曲线下方和x轴上（a，b］上方所围成的图形的面积（如图），则称随机变量 X 服从参数为 μ 和 σ² 的正态分布（normal distribution），简记为X～N(μ，σ²)
        • 现实世界中的很多随机变量遵循正态分布。
        • 若 X～N（μ，σ²），则随机变量X 在μ 的附近取值的概率很大，在离 μ 很远处取值的概率很小。 落在区间（μ－σ，μ＋σ）内的概率约为68.3％； 落在区间（μ－２σ，μ＋２σ）内的概率约为95.4％； 落在区间（μ－３σ，μ＋３σ）内的概率约为99.7％。 事实上，μ 就是随机变量X的均值，σ² 就是随机变量 X 的方差，它们分别反映 X 取值的平均大小和稳定程度。
      • 我们将正态分布 N（０，１）称为标准正态分布（如图，其中A栏为x的取值，B栏为P（x）的值），通过查标准正态分布表可以确定服从标准正态分布的随机变量的有关概率。（标准正态分布表是针对 Z≥0设计的，若 Z<0，则须转换再查。查表前，可画个草图，以帮助查表。）
      • 在实际生活中遇到的很多随机现象，随机变量大体满足其取值以某个值为中心且左右对称这种特性，一般都可以尝试用正态分布来描述这个随机变量的取值规律。
        • 数学家们发现，在多种微小因素影响下，如果没有一种影响占主导地位，那么这样的随机变量服从正态分布。特别是在独立地大数量重复试验时，就平均而言，任何一个随机变量的分布都将趋近于正态分布。
      • 二项分布与正态分布
        • 二项分布是离散型的，而正态分布是连续型的，它们是不同的概率分布。但是，随着二项分布的试验次数的增加，便会发现它们之间的内在关系。
        • 因为二项分布的概率计算公式较为繁琐，所以在试验次数较大时，可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题。
    • 8.4. 问题与探究　你的彩票被扔掉了吗
    • 8.5. 阅读　高斯与概率统计
  • 9. 第9章　统计
    • 9.1. 线性回归分析
      • 变量的相关性
        • 自变量及相应的因变量
        • 在多次重复观测中，自变量取一定值，因变量不一定取一个确定的值与之对应，而是有或多或少的差异。这是因为作为因变量的事物，除受问题中的自变量的影响外，还受到其他许多因素的影响。这些因素中有的是可知的，有的难以明确。 像这样，两个变量之间具有一定的联系，但又没有确定性函数关系，这种关系称为相关关系（correlativity）。
          • 线性相关关系：线性相关就是一些数据画在坐标轴上的点大致呈一条线（直线或曲线）。如图正相关散点图
            • 
            • 正相关：散点呈从左下向右上方向发展的趋势，我们称这两个变量之间正相关。
            • 负相关：同理，如果具有相关关系的两个变量的散点图呈从左上逐渐向右下方向发展的趋势，则称这两个变量之间负相关。
        • 用向量的方法来研究数据的相关性。根据向量的数量积a•b=|a||b|cosθ可知 cos=(a•b)/(|a||b|)，其中θ为向量a,b的夹角。
          • 对于向量a=(a₁,a₂)，b=(b₁,b₂)，
          • 对于向量a=(a₁,a₂,a₃)，b=(b₁,b₂,b₃)，
          • 一般地，对于向量a=(a₁,a₂,…,an)，b=(b₁,b₂,…,bn)，
          • 由图式知，|cosθ|越大（越接近于1），a,b的夹角θ就越接近于0或π，这时，向量a,b趋于共线。
            •      
            • 一般地，对于n对数据(x₁,y₁),(x₂,y₂)…,(xn,yn)，设点A₁(x₁,y₁),A₂(x₂,y₂)，…,An(xn,yn)，取
            • 构造向量a与b,并记〈a,b〉=θ，
              • 则
            • 当a,b共线时，存在非零实数λ，使得b=λa，即
              • 这说明，向量→MA₁,→MA₂,…,→MAn趋于共线，即点A₁,A₂,…,An,M这n+1个点接近于共线（如图）。
        • 我们将图式称为n对数据(x₁,y₁),(x₂,y₂)…,(xn,yn)的相关系数（correlation coefficient），记为r.
          • 相关系数r具有下列性质：
            • （1） -1≤r≤1；
            • （2） r>0时y与x呈正相关关系，r<0时y与x呈负相关关系；
            • （3） |r|越接近1，y与x相关的程度就越强，|r|越接近0，y与x相关的程度就越弱。
            • 通常情况下，当|r|>0.5时，认为线性相关关系显著；当|r|<0.3时，认为几乎没有线性相关关系。
      • 线性回归方程
        • 如图，可以看出，这些点在一条直线附近，但并不都在这条直线上。也就是说，上述直线并不能精确地反映x与y之间的关系，y的值不能由x确定，在此，我们将两者之间的关系表示为y=a+bx+ε，其中a+bx是确定性函数，ε称为随机误差（random error）。 我们将y=a+bx+ε称为线性回归模型（linear regression model）。
          • 随机误差产生的主要原因有：所用的确定性函数不恰当引起的误差；忽略了某些因素的影响；存在观测误差。
          • 对于这样的线性回归模型，我们需要考虑下面两个问题：
            • I. 模型是否合理
              • 可用线性相关性检验的方法处理。如根据相关系数作出判断。
            • II. 在模型合理的情况下，如何估计a，b （运用最小二乘法求回归直线方程）
              •  
        • 线性回归方程（equation of linear regression）：如图直线方程称为对应n对数据的回归直线，此直线方程称为线性回归方程。
          • 称为回归截距，
          • 称为回归系数，
          • 推导
            •           
            • 方法1：（配方法）
            • 方法2：（求导法）
              •    
          • 称为回归值。
        • 回归现象：英国著名统计学家高尔顿（F.Galton，1822-1911）研究发现，高个子父亲有生高个子儿子的趋势，但一群高个子父亲的儿子们的平均身高要低于父亲们的平均身高。类似地，矮个子父亲有生矮个子儿子的趋势，但一群矮个子父亲的儿子们的平均身高要高于父亲们的平均身高。高尔顿将这种后代的身高向中间值靠近的趋势称为“回归现象”。
        • 一般地，我们将观测值与对应的估计值之差称为残差（residual）。残差是随机误差ε的估计结果
          • 以观测值为横坐标，残差为纵坐标作点，可以画出残差图。
          • 统计学中也用决定系数R²的统计量来比较两个模型的拟合效果。
        • 一般地，一个合理的回归模型应该满足这样的条件：作为随机变量的误差项ε，它是一个均值为０，方差为σ²的正态分布。因此，根据正态分布的特点，残差图中的点比较均匀地分布在横轴的两边，残差值中有不低于95％的数据在区间（-2σ，2σ）内，这可以作为判断回归模型是否合理的标准。此时，在绝大多数数据满足上述条件的前提下，可以将样本中使得残差值在区间（-2σ，2σ）之外的数据作为异常值，在作进一步研究时通常可以将其剔除。
        • •      
    • 9.2. 独立性检验
      • 用χ²统计量研究这类问题的方法称为独立性检验（test of independence）。
        • 用样本估计总体时，由于抽样的随机性，结果并不唯一。因此，由某个样本得到的推断有可能正确，也有可能错误。利用χ²进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率做出估计，n（统计样本容量）越大，这个估计越准确。
    • 9.3. 应用与建模　区分蠓蚊
    • 9.4. 阅读　世界一流的统计学家——许宝騄
    • 9.5. 专题　数学建模与数学探究
      • 计算机随机模拟方法，又称为蒙特卡罗（Monte Carlo）方法。
      • 案例分析
      • 课题推荐
  • 10. 附录　标准正态分布P（Z≤z）数值表