公务员备考_江苏省考_行测80分系列_数量关系

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数字推理

数量关系-数字推理-特征数列

1、多重数列也经常考察多级数列 2、分数数列： ①可能涉及：作商数列、机械化分 ②分开看包括：左右两分数四则运算、分子分母全部放在一起看(eg:2/3 5/7 11/13 17/19→质数) ③反约分的目的是形成单调性 3、幂次数列中，特殊的是1和分数 ①1可以视作a的0次方（a≠0） ②分数可以视作b的-n次方或1/b的n次方 4、无赖打法： ①有单调性→视作个体：作差作和作积作商→和差倍比 ②无单调性→寻求整体/作商数列有奇效 5、作商数列 a b c d...运算时有前推后or后推前，注意养成习惯！ ①×：b/a c/b d/c ②÷：a/b b/c c/d 6、没有中心的圆： 凑等量关系→数字按从大到小的顺序排序：a b c d 可能的考法有： ①ab组队：a+b=c×d ②a/小=f(b,小)

一、 做题思路：找特征！

1. 常见6种

特征

思路

二、 多重数列

1. 特征

项数较多：≥7（含未知项）

7的意志！

可能出现多个括号

2. 思路

①交叉

奇数项、偶数项

-1,4,-3,-4,-9,4,(),()

(-27),(-4)

奇数项：3的倍数

偶数项：-4和4交替出现

②分组

两两分组/三三分组

视作整体

内部解决

和差倍比

eg:47,53,49,51,40,60,38,()→62

2种表达形式

①②-③④-⑤⑥

47,53,49,51,40,60,38,()

①②-②③-③④

-1,2,6,21,43→两两相加得：1,8,27,64

三三分组自身能形成一个等式：y=f(a,b)

两两分组是两者构成一个数，新的数之间构成规律

三、 机械划分数列

1. 特征

均为：小数、多位数、特殊符号（+/根号/lg/e）

2. 思路

①每个部分拆开看

2,2+√2,4+√3,10,16+√5,()

②若拆开无规律→一起看

①389,569,479,587,299；②14,23,37,46,69,()

四、 分数数列

1. 特征

全部/大部分是分数（一半以上）

2. 思路

观察分子/分母的单调性

单调规律√

分开看：上看下看→分子分母分别成规律

一起看：左看右看→两分数之间四则运算

2/3→5/6

5=2+3

6=2×3

单调规律×

反约分→单调规律

两分数之间四则运算

也可能考察作商数列

五、 作商数列

1. 特征

相邻两项之间倍数明显

两两作商

方向保持一致：前÷后、后÷前

商有正有负

商有整数有小数

有小数也能视为作商数列

六、 幂次数列

1. 特征

数字

=幂次数

→幂次数

26=5²+1=3³-1

60=64-4

2. 思路

普通幂次

= a^n

修正幂次

= a^n +/- 小数字（修正项）

3. 幂次数背诵

平方数

立方数

四次方

2^(1-10)

七、 图形数列

1. 特征

三角形：有中心

圆形：有中心/无中心

方阵

2. 技巧

三角形、圆形：有中心

凑中心

对角线→上下/左右→整体

圆形：无中心

凑相等

优先考虑对角线→上下/左右

方阵

大数在同一行/列→优先按列/行凑大数

大数不在同一行/列→优先按行/列全部加和

八、 后续总结

数列本身自带数字：1、2、3...

要勇于放弃某一种规律，一眼看不出就换思路

九、 题目

1. 例题

256 25 1 1/49

16² 5² 1² (1/7)²→底数之间无任何规律

1/49→7^(-2) 1→x^0

4^(4) 5^(2) x^(0) 7^(-2) → 8^(-4）

389 569 479 587 299 ()

多位数→机械划分

①拆开看

每个数字拆成3个部分：3/8/9→分开看→×

每个数字拆成2个部分，38/9或3/89→×

②一起看

每项相加均为20

0 6 24 60 120

老子真的想不到这是幂次数列

依次加n→1 8 27 64 125→1³ 2³ 3³ 4³ 5³

考场上实在想不出来的话，观察是单调递增→和/乘/幂挨个试

加法也是有规律的：都是加6的倍数

乘法× 首项是0

60附近只有64

数列本身自带数字！

2 2+√2 4+√3 10 16+√5 ()

把2和10拆分成a+√b的形式→32+√6

大数都在第4行→按列凑大数

(4+2)×6=36√

a=7

b=121

2. 习题

2 3 3/2 1/4 ()

分数数列→反约分：无规律→作差作积作和：无规律 →作商：1.5 0.5 1/6（公比是3的等比数列）→1/4×1/18=1/72

5/7 1/4 2/3 6/25 20/31 ()

分数数列→无单调性→以“形成单调性为目的”进行反约分： 1/4=2/8=3/12 2/3=6/9=10/15=12/18 发现规律：12=5+7 3=7-15+1→12/51=4/17

看到6/25→无论如何反约分，分子绝逼没有单调性→

①考虑分母的单调性

②完全不考虑单调性→纯四则运算！

11-09

仅凭6+25=31就能得到分母规律→以此反约分：5/7 3/12 10/15 6/25 20/31

4 2 2 3 6 15 ()

多重数列：奇偶/两两/多级无规律→其他：作商数列、幂级数（分数、机械划分×）

作商数列：0.5 1 1.5 2 2.5→3√

245 168 249 164 254 159 260 ()

153

多重数列：奇偶

多重数列：两两为一组，和都是413

2/3 5/7 11/13 17/19 ()

分数数列→单调性：分子分母单调递增→分开看：无规律→整体看：四则运算× →整体看：分子分母全列出→质数数列表

30

凑中心→对角线/上下/左右：无规律→整体！24=2×全部相加√

-6

图形数列：凑相等→对角线/上下左右→6×9=28+26→?=-6

32

方阵：找大数→都在最右列→4+13-1=16√

出现问号→直接略过第三行、第三列 即：行看1、2，列看1、2

简单到我不敢相信我没做出来

7

推测可能用到的和差倍比

对角

20、1和6、4→×

上下

20、6和4、1→×

没有可能性

左右

20、4和6、1→20/4=6-1√→?=7

数量关系-数字推理-非特征数列

优先考虑多级（数量较多）

一、 多级数列

特征

无其他明显特征

变化平缓

思路

两两作差

一般做2次

两两作和

注意

方向性保持一致

万金油解题思路：没规律就作差

二、 递推数列

特征

无明显特征

非多级数列→最后的选择！

简单递推

和差积商

①&②=③

复杂递推

①圈3个数字

要求不大不小

小→规律较多

2,3,5

2+3=5

2³-3=5

2×3-1=5

大→计算困难

②找规律

递增

和、倍、方、积

递减

差、商

③做验证

把圈的3个数字发现的规律套用到其他3个数字中

三、 题目

例题

28,30,33,38,45,()

2,3,5,7→质数数列→45+11=56

2,12,28,56,102,172,()

272

思路

多重数列

两两交叉×

两两分组×

三三分组×

多重数列×

作商数列→倍数关系

仅①2和12②28和56之间存在倍数关系×

幂次数列×

非特征数列！

非特征数列→多级数列→优先考虑作差

10,16,28,46,70

6,12,18,24√

1,-1,2,2,25,-9,()

先观察特征→×

非特征数列→多级数列

作差：-2,3,0,23,-34→5,-3,23,-57×

作和：0,1,4,27,16→幂次数

4=2^2

27=3^3

16=2^4或4^2→取4^2

-9+x=5^3=125→134

3,2,10,24,(),184

特征数列

多机分，商幂图×

非特征数列

多级数列

作差×

作和：5,12,34→2×(5+12)=34

验证

5,12,34,92,252

24+x=92→x=68→68+184=252

其实就是递推数列

递推数列

圈3数

2,10,24

找规律

2×(2+10)=24

验证

2×(3+2)=10√

2×(10+24)=68

80,56,52,30,37,()

圈3数：52,30,37→52-0.5×30→验证√→30-18.5=11.5

nA+B=C A+nB=C n(A+B)=C n(A-B)=C

n可以取2、0.5、-2、-0.5...

习题

-23,-3,20,44,72,105,147,()

203

多重数列×

多级数列：作差

20,23,24,28,33,42→3,1,4,5,9√

没写出来之前根本想不到

147+(42+14)=203

3,4,5,11,14,107,()

14→107：增长过快→积/幂→14+107=11²→11+14=5²

5和11：没有规律→题干中的规律！

14²-107=89

变化这么大，多级数列很难实现，毕竟变化平缓→递推数列：取3数

1,1,5,7,13,()

递推数列×

多级数列

作差→0,4,2,6

继续作差：4,-2,4

盲猜一手-2→4→17

改成作和：4,6,8

10→4→17

①大胆猜想 ②可以先做差，再作和/或先作和，再作差

作和：2,6,12,20

改成作差：4,6,8

a,b,c,d

先作和，再做差

a+b,b+c,c+d→c-a,d-b

先作差，再作和

b-a,c-b,d-c→c-a,d-b

第(n+1)项-第(n-1)项→规律

2,2,4,8,(),26,48

14

长个见识吧，4个数字的递推：2+2+4=8

34,41,46,56,64,(),88

77

递推数列：先减后加/先加后减→12,15,18,(),24→21→77

连减2次：7,5,10,8→-2,5,-2→大胆猜想是两数循环→验证√

4,7,10,16,34,106,()

作差：3,3,6,18,72

作差后有明显的倍数关系→作商：1,2,3,4→106+72×5=466

1,-3,4,1,25,()

1→25：变化大→多级数列×

递推数列取3数：4,1,25→(4+1)²=25→验证√→26²=625+50+1=676

5,126,175,200,209

多级数列作差：121,49,25,9→11,7,5,3：质数→209+2²=213

多级数列一般变化平缓，但也不一定

20,40,30,10,-5,()

多级数列×

递推数列

-0.5a+b=c

-5-5=-10

题目

1||| -1,2,6,21,43,()

82

递推数列

1 8 27 64 → 5³=125

2||| 7 23 -1 35 -19 ()

62

多级数列

依然选择作差：16 -24 -36 -54

①正负号变换 ②1.5倍→+81→62

作差成倍数的是幂级数

3||| 3 5 2 2 -3 () -12

-5

多级数列：作差+作和→隔1位规律

-1,-3,-5,(),-9

x-2=-7

4||| 23 14 37 55 78 ()

机械后独立： 十位数：2 1 3 5 7→无规律 个位数：3 4 7 5 8→无规律

机械后联立：十位数字+个位数字→5 5 10 10 15√

机械划分是一种思路：拆成独立的个体！

5||| 6/6,4/6,3/6,2/5,()

1/3

分数数列

化为：1/1,2/3,3/6,4/10，分子是1,2,3,4...分母是1,3,6,10...可得5/15

化为：12/12,12/18,12/24,12/30，可得12/36

自行构建规律！

6||| 1，3，7/2，5/2，31/24，（ ） A. 8/15 B. 21/40 C. 127/120 D. 5

B

难点在于反约分的思路！

反约分思路：观察选项！

观察选项：分母的最小公倍数是120

24→120：×5

反约分为：1/1 3/1 7/2 15/6 31/24

分子

递推数列：31×2+1=63

分母

多级数列：1,1,2,6,24→120

分数数列中，1→1/1

7||| 5/6 1/12 11/20 3/10 1/2

21/56=3/8

找特殊数字：11

11=12-1

反约分为：5/6 1/12 11/20 9/30 21/42

分子

42-21=21

分母

多级数列：6,12,20,30,42→56

21/56=3/8

8||| 11,14,26,44,65,()

86

多级数列

3 12 18 21→9 6 3→常数-3

65+(21+(3-3)=86

9||| 20,21,23,26,31,(),52

39

多级数列

1 2 3 5→猜测是1+2=3,2+3=5→代入验证后续为3+5=8,8+5=13→规律成立

括号后有值：用于验证

10||| 36,24,24,12,18,(),16.5

3

递推数列

36-24/2=24→12-18/2=3

11||| 123,465,987,(),456,897,231,645,789

机械划分：大数

数字相加的和依次为6、15、24循环

12||| 1 √2 √6 2√6 2√30

12√5

全部换成根号形式：1 2 6 24 120→720=144×5

13||| 3,35,99,195,()

323

作差：32 64 96→常数36→195+128=323

3=4-1 35=36-1 99=100-1 195=196-1→2 6 10 14→18^2-1=323

14||| 1 0 1 5 4 5 9

8

无规律，依然先作差：-1 1 4 -1 1 4...周期数列→9-1=8

数量较多，考虑递推数列

两两相加无规律

三三相加：2 6 10 14...→22-14=8

15||| 3,9,18,30,45,()

63

多级数列

6 9 12 15→常数3

45+18=63

16||| 12,25,310,417,()

526

机械划分：变化幅度大+多位数

首位：1,2,3,4,5

其他：2,5,10,17→多级数列

17||| √2,√27,10,7√5,√486

11√7=√847

机械划分：存在整数和根号

1√2,3√3,5√4,7√5,9√6

18||| 2.5 2.4 8.9 56.13 560.22

7280.35

整数部分：2,2,8,56,560倍数关系明显→作商数列：1,4,7,10→13

小数部分：5,4,9,13→递推数列：9+13=22

数学运算

数量关系-数学运算-工程问题

一、 类型

1. 常规

时间√

①赋总量（最小公倍数）→②算效率：效率=总量/时间→③建立等量关系

eg：某工程甲20天完成、乙30天完成

效率√

①赋效率（比例法）→②算总量：总量=效率×时间→③建立等量关系

eg：甲乙工作效率之比为3:2，合作完成某项工程需要12天

效率

直接→甲:乙=3:2

间接→甲2天的工作量是乙3天的工作量

特殊→农场有36台收割机

知1设1求1

2. 具体单位型

P：甲每小时比乙...

W：甲的任务比乙...

设未知量→建立等量关系

3. 同时开工同时结束

①整体分析：总时间=总量和/效率和→②细分各个人头的工作量

小仝A工程，小陈B工程，小刘来回帮忙 三人同时开工，同时结束...小刘帮小陈多久？

感觉真正会的东西，根本不需要去思考这些套路，完全就是本能好吧

二、 题目

1. 需生产1033套物品，甲生产5天后，乙再生产4天，刚好完成任务。 甲比乙每天多生产23套，则甲生产多少？

设未知量

5x+4(x-23)=1033→x=125

极端法

乙每天生产和甲一样多，则9甲=1033+23×4=1125

2. 某工程，甲工程队施工，工期为60天，费用为144万元；若由乙工程队施工，工期为40天，费用为158万元。若工期不能超过30天，为此需要甲、乙两工程队合作施工，则完成此项工程的费用最少是：

单位工程量的价格：甲＜乙→甲30天（50%），乙剩下的工程量50%

费用=0.5×(144+158)=151万元

3. 甲组单独制作需要10小时，乙组单独制作需要15小时，现两组一起做，期间乙组休息了1小时40分，完成时甲组比乙组多做300朵。问这批花有多少朵？

设为30x→甲3x，乙2x

乙休息5/3小时→甲先生产5/3小时→之后两人一起生产！ 即：甲生产5x后，剩余花费25x/5x=5小时→甲共生产20x，乙10x

x=30，共900朵

数量关系-数学运算-和差倍比

1、ax+by=M中，系数a奇b偶： x和M的奇偶性一致

一、 重要性

1. 考频高：1-3道题目

二、 基础知识

1. 概述：涉及和、差、倍、比

2. 常见方法

代入排除

方程法

三、 解题方法及策略

1. 代入排除

适用范围

典型题目：年龄、余数、多位数（位数变化）

选项信息充分

甲乙分别是多少

所有题目都能用代入排除解答！无非快慢与否

解题思路

先排除（奇偶、倍数、尾数）→再代入（最值原则、好算原则）

尾数法：选项尾数各不相同→只要算到尾数即可！

2. 数字特性

奇偶特性

考察范围少，常见于不定方程

倍数特性

整除型

A=B×C（3者都是整数）

A是BC的倍数，BC是A的约数

整除判定技巧

口诀法：1-13

拆分法：273/13→273=260+13

因式分解：能否被45整除→能被5、9整除（必须互质：没有公约数）

余数型

答案=ax +/- b→答案 -/+ b是a的倍数

比例性

A:B=m:n(m、n互质）→xA+yB是(xm+yn)的倍数

3. 方程和方程组

找等量关系→设未知数→列方程→解方程

设未知数技巧

设小不设大：避免分数

设中间量：出现次数多，方便列式

设比例份数：如比例4比3，设为4x、3x

方便列式

求谁设谁：避免陷阱→x并非所求量→设好x后直接表达出所求量！

4. 不定方程和不定方程组

不定方程

存在多个解（未知数数量＞方程数量）:ax+by=M

分析：奇偶、倍数、尾数等数字特性

a、b一奇一偶

考虑奇偶特性：3x+4y=25

考虑左右÷4→3x/4余数为1→即3×y=9、21... ①÷大数 ②找出第一个数9后，后学加上3×4=12均符合要求

a或b尾数是0或5

考虑尾数：3x+10y=29

3x尾数是9→3x=9、39、69...

左右÷10→3x/10余数是9→3x=9、39

a或b与M有公因子

考虑倍数特性：3x+7y=49

3x是7的倍数→x=7、14...

不定方程组

未知数是整数

消元→不定方程

未知数不一定是整数

特值法：赋0（①出现次数多②系数大）

四、 题目

1. 已知2017年、2018年和2019年全球共发射卫星1132颗，2019年发射的卫星数量是2017年的1.5倍还多2颗，2018年比2017年多31颗，则2019年全球共发射卫星： A. 314颗 B. 345颗 C. 452颗 D. 473颗

D

设2017年为x，则直接表达出所求量=1.5x+2

列方程：x+x+31+1.5x+2=3.5x+33=1132→0.5x=1099/7=157

选项尾数各不相同→0.5x的尾数是7→1.5x+2尾数是3→473

2. 某部门正在准备会议材料，共有153份相同的文件，需要装到大小两种文件袋里送至会场，大的每个能装24份文件，小的每个能装15份文件。如果要使每个文件袋都正好装满，则需要大文件袋（ ）个。 A. 2 B. 3 C. 5 D. 7

A

8x+5y=51

余数法

傻逼才用

但还是得练：8x%5=1→3×(x%5)=6→x%5=2→x=2、7...→x=2

余数法：同÷大数！ 此题应该同÷8（道理不赘述，记住即可） y%8=7

4x+7y=79，且x+y是偶数

同÷7→x%7=4 要练到一眼看出这样的程度！

奇偶法

x是偶数，但具体不知道是多少→代入排除

尾数法

5y的尾数是0或5，不可能是0→8x的尾数是6→x=2、7、12

11-09

8x+5y=51→16x+10y=102→16x尾数是2→代入验证：3和5×，7的话＞102

总之越快越好

3. “数艺杯”绘画比赛的决赛规则如下：由3位评委对11件作品进行投票，每位评委对每件作品可以投一票或者不投票；得3票的作品为一等奖，得2票的作品为二等奖，得1票的作品为三等奖，不得票的作品为鼓励奖。已知三位评委分别投出了6票、7票、8票，且有3件作品为鼓励奖，那么（ ）。 A. 一等奖作品比三等奖作品多5件 B. 一等奖作品比二等奖作品多2件 C. 二等奖作品比一等奖作品多5件 D. 二等奖作品比三等奖作品多3件

A

①3a+2b+c=21 ②a+b+c=8

特值法

未知数是整数，好像不适合用特值法→无所谓啦

假设c=0→a=5 b=3

假设b=0→a=6.5 c=1.5

假设a=0→b=13 c=-5

a-c＞5

消元法

消去c→2a+b=13×

消去b→a-c=5√

消去a→b+2c=3×

难点在于消去谁，考场上也确实要逐个去试

4. 某单位今年一月份购买5包A4纸、6包B5纸，购买A4纸的钱比B5纸少5元；第一季度该单位共购买A4纸15包，B5纸12包，共花费510元；那么每包B5纸的价格比A4纸便宜（ ）。 A. 1.5元 B. 2.0元 C. 2.5元 D. 3.0元

C

这种傻逼题目我算了3分钟？？？→价格可以是非整数！

①5x+5=6y ②5x+4y=170

消去x得：10y=175

然后我就犹豫了，重新检查思路→凭啥一定是整数啊？？？

y=17.5适合代入②→5x+70=170→x=20

答案不也是有小数嘛

5. 甲、乙两仓库各放有集装箱若干个，第一天从甲仓库移出和乙仓库集装箱总数同样多的集装箱到乙仓库，第二天从乙仓库移出和甲仓库集装箱总数同样多的集装箱到甲仓库，如此循环，则到第四天后，甲、乙两仓库集装箱总数都是48个。问甲仓库原来有多少个集装箱？ A. 33 B. 36 C. 60 D. 63

D

到第4天→变化4次→反推4次即可

48 48→①24 72②60 36③30 66④63 33

11-09

不一定非要是偶数，我差点直接选C

6. 某企业共有职工100多人，其中，生产人员与非生产人员的人数之比为4∶5，而研发与非研发人员的人数之比为3∶5。已知生产人员不能同时担任研发人员，则该企业不在生产和研发两类岗位上的职工有多少人？ A. 20 B. 30 C. 24 D. 26

D

总人数是9和8的倍数→72的倍数→144

生产人员64人，研发人员54人→无交叉，合计118人→D

2个维度的划分→第一象限=0

数量关系-数学运算-容斥原理+周期问题

一、 容斥原理

两集合容斥

A+B-A∩B=总数－都不满足

都不满足=(-A且-B)

所有都参加了→都不满足 ＝ 0

三集合容斥

两两交集 （既...又...)

A+B+C-(A∩B+A∩C+B∩C)+A∩B∩C

满足2项

A+B+C-满足2项×1-满足3项×2

满足1项

满足1项+满足2项+满足3项 （考察最少）

= 总数－都不

①A+B+C=a+2b+3c ②I=a+b+c ③A∩B+A∩C+B∩C=b+3c ③A∩B∩C=c

画图法

特征

“只”

步骤

①画图

②标数字（里→外）

③加和求解（尾数）

其他

极值问题

已知AB和全集

已知ABC和全集I，求 ①满足2项的最多几人？ ②满足3项的最多几人？ ③满足不止1项的最多几人？ ④满足不止1项的最少几人？ ⑤满足3项的最少几人？

①c=0,b=A+B+C-I

②b=0，c=(A+B+C-I)/2

③c=0

④b=0

A+B+C-I=b+2c

I=a+b+c

A+B+C=a+2b+3c

⑤最少=A+B+C-2I

N集合满足N项：min(A∩B∩C...)=A+B+C+...-(N-1)I

推理：min=I-[(I-A)+(I-B)+(I-C)+...]

二、 周期问题

周期余数

特征

循环/周期：第/过N个天/年

1月1日是星期一

1月第16天是星期几？

16号：(16-1)%7=1→周二

过16天是星期几？

17号：(17-1)%7=2→周三

思路

周期→余数→结果

周期相遇

特征

多个小周期，求再次相遇

甲每2天锻炼一次，乙每隔2天锻炼一次， 1月1日两人同时锻炼，下次同时锻炼是？

1月7日

思路

最小公倍数

星期日期

闰年

%4=0

整百的年份%400=0

1900年不是闰年

月份

大月：1、3、5、7、8、10、12→31天

小月：4、6、9、11→30天

2月：闰年29天，平年28天

星期

过1个平年，星期数+1

过1个闰年，星期数+2

三、 总结

月份天数

①日期最多的连续2个月：(7月+8月)或(12月+1月)=62天 ②日期最少的连续2个月：2月+1月/3月=59天（闰年60天） ③日期最多的连续3个月：2个大月+1个小月=92天 ④日期最少的连续3个月：2月+3月+4月=89天（闰年90天） ⑤正常情况下：（正常21、带2月09） 连续2个月（不含2月）：61天或62天；≤60天必有2月 连续3个月（不含2月）：91天或92天；≤90天必有2月

3个数字求最小公倍数

①如互质，直接相乘 ②先求两个数的最小公倍数，再与第三数求 ③短除法？扩大法？

四、 题目

例题

1. 有关部门对120种抽样食品进行化验分析，结果显示，抗氧化剂达标的有68种，防腐剂达标的有77种，漂白剂达标的有59种，抗氧化剂和防腐剂都达标的有54种，防腐剂和漂白剂都达标的有43种，抗氧化剂和漂白剂都达标的有35种，三种食品添加剂都达标的有30种，那么三种食品添加剂都不达标的有多少种？ A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 E. 18 F. 19 G. 20 H. 21

E

妈的我第一次做居然是：A+B+C-满足2项×1-满足3项×2

68+77+59-(54+43+35)+30=120-N → N=18

选项尾数都不相同！→尾数法

2. 有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一项，其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人。问至少有多少人参加了不止一个项目？ A. 7 B. 10 C. 15 D. 20

B

I=a+b+c=100 A+B+C=a+2b+3c=120

b+2c=20 求min(b+c)→b=0→c=10

3. 联欢会上，有24人吃冰激凌、30人吃蛋糕、38人吃水果，其中既吃冰激凌又吃蛋糕的有12人，既吃冰激凌又吃水果的有16人，既吃蛋糕又吃水果的有18人，三样都吃的则有6人。假设所有人都吃了东西，那么只吃一样东西的人数是多少? A. 12 B. 18 C. 24 D. 32

B

公式法

I=(24+30+38)-(12+16+18)+6=92-46+6=52人

b+c=46-2×6=34人

只→画图法

虽然易于理解，但是好傻逼啊，违背了“减少计算”的原则

直接用abc解答

a+2b+3c=92 b+3c=46 c=6

a=18 b=28 c=6

4. 文化广场上从左到右一共有5面旗子，分别代表中国、德国、美国、英国和韩国。如果将5面旗子从左到右分别记作A、B、C、D、E，那么从中国的旗子开始，按照ABCDEDCBABCDEDCBA......的顺序数，数到第313个字母时，是代表（）的旗子。 A. 英国 B. 德国 C. 中国 D. 韩国

C

题目很简单→但是我以为是5的循环→还是看一下题干！

313=320-8+1

5. 甲、乙、丙、丁每人隔不同的天数去健身房健身，甲2天去一次，乙3天去一次，丙4天去一次，丁5天去一次，上周星期日四人在健身房同日健身，下一次四人同日去健身房健身是星期几？ A. 星期四 B. 星期五 C. 星期六 D. 星期日

A

最小公倍数=3×4×5=60

互质数相乘即可

过60天（56天+4天）→周日+4天=周四

习题

1. 张先生在某个闰年中的生日是某个月的第四个也是最后一个星期五，他生日的前一个和后一个月正好也只有4个星期五。问当年的六一儿童节是星期几？ A. 星期一 B. 星期三 C. 星期五 D. 星期日

A

我的思路

31天的月：星期+3 30天的月：星期+2 29天的月：星期+1

3个月合计相加＜7

①此3月为：2月、3月、4月 ②1月31日是星期五→5月31日：5+(1+3+2+3)%7=7

答案

三个月共12个星期五

若三个月有91天（13个完整周），则必然不符

最多90天→2月、3月、4月

1月31日：周五 2、3、4月共90天，5月31天，再加6月1日，合计过去122天 122%7=3→星期八

2. 某单位有80名职工参加了义务劳动、希望工程捐款和探望敬老院三项公益活动中的至少一项。只参加一项的人数与参加超过一项的人数相同，参加所有三项公益活动的与只捐款的人数均为12人，且只探望敬老院的人比只参加义务劳动的人多16人。问探望敬老院的人最多比参加义务劳动的人多多少人？ A. 28 B. 32 C. 36 D. 44

D

由题意可知： ①a+b+c=80 ②a=b+c=40 ③c=12

a=40 b=28 c=12

出现“只”→画图法

画图时简写：劳、款、老

求得3个“只”

假设标黄区域=b=28

其实可以不用画图，直接假设b的28人 = -义务劳动→28+16=44

3. 某单位工会会员60人，现在组织会员报名参加兴趣活动小组，其中报名徒步组的有40人，羽毛球组的有38人，乒乓球组的有31人，这三项活动都报名的有18人，问这个单位工会会员中最多有多少人三个小组都没有报名? A. 14 B. 15 C. 16 D. 18

A

已知量只有ABC和c，I≠60！

A+B+C=a+2b+3c=109→a+2b=55

求min(a+b+c)→令2b=55→b=27，a=1

min(a+b+c)=46

4. 某班在筹备联欢会时发现很多同学都会唱歌和乐器演奏，但有部分同学这2种才艺都不会。具体有4种情况：只会唱歌，只会乐器演奏，唱歌和乐器演奏都会，唱歌和乐器演奏都不会。现知会唱歌的有22人，会乐器演奏的有15人，两种都会的人数是两种都不会的5倍。这个班至多有（ ）人。 A. 27 B. 30 C. 33 D. 36

C

设两种都不会x人，都会5x人

总人数=22+15-5x+x=37-4x

1个变量就能解决，我用了A+B=a+2b：2个变量并且计算好傻逼

x＞0→max(总人数)=37-4=33人

5. 工厂组织工人参加技能培训，参加车工培训的有17人，参加钳工培训的有16人，参加铸工培训的有14人，参加两项及以上培训的人占参加培训总人数的2/3，三项培训都参加的有2人，问总共有多少人参加了培训？ A. 24 B. 27 C. 30 D. 33

B

A+B+C=a+2b+3c=47 b+c=2a c=2

a=9 b=16 c=2

6. 假设三颗小行星绕着一颗恒星运动，它们的运行轨道都是圆形，每条轨道的圆心都是该恒星，且三条轨道都在同一平面内。若这三颗小行星同向旋转，且绕轨道运行一周的时间分别是60年、84年、140年。现在三颗小行星和恒星在同一直线上且三颗小行星都在恒星的同侧，那么至少多少年后他们再次在同一直线上且三颗小行星都在恒星的同侧。 A. 210 B. 315 C. 420 D. 630

A√错解C

错解思路：最小公倍数420年

最值原则代入

210/60=3.5

210/84=2.5

210/140=1.5

正好都在原始位置的180°位置

追及问题！

假设路程为420，则速度分别是：7 5 3

假设速度为3的速度不变，两者分别以4和2的速度追赶，分别为105年和210年追上

取105和210的最小公倍数：210年

7. 甲、乙、丙三人定期到某棋馆学围棋，甲每隔3天去一次，乙每隔4天去一次，丙每隔5天去一次。若2016年2月10日三人在棋馆相遇，则下次三人在棋馆相遇的日期是 A. 2016年4月8日 B. 2016年4月11日 C. 2016年4月9日 D. 2016年4月10日

D

求4、5、6的最小公倍数→5和12的最小公倍数→60

2月10日+60天→19+31+10→4月10日

闰年

再过60天

8. 某马路宽8米，为方便行人过马路，要刷一条4米宽的人行横道线。已知横道线每间隔45厘米刷一条宽也为45厘米的白线，白漆每升可以刷6平方米，则刷这条横道线至少需要（ ）桶一升装的白漆。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

B

周期是0.9米！→每0.9米1条白线

8/0.9=8...0.8→9条白线

S(1条白线)=0.45×4=1.8平方米

共需要(9×1.8)/6=2.7桶→3桶

以上思路错误！至少应该是尽可能少刷→80厘米留45厘米空白→35厘米白线

合计：4×(45×8+35)/100=4×3.95=15.8平方米→15.8/6=2.63桶

9. 某科学家做了一项实验，通过向若干只狒狒提供不限量的香蕉和香肠以研究其食性。结果表明，90%的狒狒有进食，其中吃香蕉的狒狒是吃香肠的狒狒数量的3倍，而两种食物都吃的狒狒是只吃香肠的狒狒数量的2/3，则未进食的狒狒是只吃香蕉的狒狒数量的： A.1/5 B.3/10 C.2/13 D.4/15

C

方程法：未知量的设法

两种都吃:只吃香肠=2x:3x

吃香肠=5x

吃香蕉=15x

①进食=18x→未进食2x ②只吃香蕉13x

数量关系-数学运算-行程问题

一、 基础行程

公式

路程=速度×时间

等距离平均速度

等距离两段、直线往返、上下坡往返

二、 相遇追及

直线相遇：两人同时相向而行

相向：面对面，倒戈相向

S和=(V1+V2)×t

S1=V1×t

S2=V2×t

环形相遇：同时相向出发

S和=(V1+V2)×t

相遇N次，S和=N圈

直线追及：两人同时同向而行

S差=(V1-V2)×t

S差=追击开始时两人相差的距离

环形追及：同点同向出发

S差=(V1-V2)×t

追上N次，S差=N圈

公式（设路径长为S

线性-相向

(2n-1)S=(V1+V2)×t

线性-同向

2nS=(V1+V2)×t

环形-相向

nS=(V1+V2)×t

环形-同向

nS=(V1-V2)×t

三、 顺水逆水

V顺=V船+V水

V逆=V船-V水

V船=(V顺+V逆)/2 V水=(V顺-V逆)/2

静水速度=船速、漂流速度=水速

近期热点：自动扶梯

扶梯总长（可见部分）=s人+/-s扶梯（同向/反向）

四、 题目

例题

1. 小明每天从家中出发骑自行车经过一段平路，再经过一道斜坡后到达学校上课。某天早上，小明从家中骑车出发，一到校门口就发现忘带课本，马上返回，从离家到赶回家中共用了1个小时，假设小明当天平路骑行速度为9千米/小时，上坡速度为6千米/小时，下坡速度为18千米/小时，那么小明的家距离学校多远？ A. 3.5千米 B. 4.5千米 C. 5.5千米 D. 6.5千米

B

上下坡平均速度=

全程平均速度都是9

2. 两人在环形跑道上匀速跑步，同向跑每3分钟相遇一次，相向跑每1分钟相遇一次。若速度较快者每圈用时1.5分钟，则速度较慢者每圈用时是： A. 3分钟 B. 4分钟 C. 5分钟 D. 2分钟

A

快者2，慢者1

习题

1. 某商场在一楼和二楼间安装一自动扶梯，该扶梯以均匀的速度向上行驶。一男孩与一女孩同时从自动扶梯走到二楼（扶梯本身也在行驶），假设男孩与女孩都做匀速运动，且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍，已知男孩走了27级达到扶梯顶部，而女孩走了18级到达扶梯顶部（设男孩、女孩每次只跨一级），则扶梯露在外面的部分共有（ ）级。 A. 54 B. 64 C. 81 D. 108

A

在电梯上的时间比=27/2:18/1=3:4

S=27+3V=18+4V

V=9

S=54

2. 甲车从A地开往B地，乙车从B地开往A地。上午八点整，两车同时出发，相向而行，相遇后继续向前。甲车又行驶了2小时到达B地，乙车又行驶了4.5小时到达A地。甲乙两车到达目的地后都立即返回，则在返程途中两车再次相遇时，时间为：

17点整

设第一次相遇时间为t

第二次相遇时间为3t

列方程组

at=4.5b

bt=2a

t=3

3. 清晨，爷爷、爸爸和小磊在同一条笔直跑道上朝同一方向匀速晨跑。某一时刻，爷爷在前，爸爸在中，小磊在后，且三人之间的间距正好相等。跑了12分钟后小磊追上了爸爸，又跑了6分钟后小磊追上了爷爷，则再过（ ）分钟，爸爸可追上爷爷。 A. 12 B. 15 C. 18 D. 36

C

假设爷爷静止

12(a-b)=s

18a=2s

s=9a=36b

4. 一条圆形跑道长500米，甲、乙两人从不同起点同时出发，均沿顺时针方向匀速跑步。已知甲跑了600米后第一次追上乙，此后甲加速20%继续前进，又跑了1200米后第二次追上乙。问甲出发后多少米第一次到达乙的出发点？ A. 100 B. 120 C. 150 D. 180

D

加速后：速度比=路程比=12:7

加速前：路程比=速度比=10:7=600:420

5. 张红和李健同时从班级出发沿同一条路线去食堂，若张红用一半的时间以速度x行走，另一半时间以速度y行走；李健在前一半路程以速度x行走，后一半路程以速度y行走（x≠y），则下列说法正确的是： A. 张红先到达食堂 B. 李健先到达食堂 C. 张红和李健同时到达食堂 D. 两人谁先到达食堂不能确定

A

算数平均数＞调和平均数（倒数）

李健：速度快的所用时间少，即占比低

6. 梦想号”和“启航号”两列火车在两条平行轨道上匀速相向而行，“梦想号”的车长为270米，“启航号”的车长为360米。若“梦想号”的乘客从车窗看见“启航号”驶过的时间是8秒，则“启航号”的乘客从车窗看见“梦想号”驶过的时间是（ ）秒。 A. 10 B. 8 C. 6 D. 4

C

时间比=长度比

数量关系-数学运算-经济利润

一、 基础经济问题

公式

总销售额=单价×数量

利润=售价-成本

利润率=利润/成本（百分数）

售价=成本×(1+利润率)

方法

方程法

具体值√

赋值法

给比例，求比例（利润率、折扣）

赋值：定价、成本

二、 分段计费

每段计费标准不同

水电费、出租车

求总费用

按标准分开计算→汇总

三、 经济函数最值问题

单价和销量：一升一降→总价/总利润：max

方法：两点式

设提价/降价x次，令总价/总利润为0，解得x1、x2

当x=0.5×(x1+x2)时，取得最值

y=ax²+bx+c

单价为3000元时，可卖出20万件。单价每提升500元，销量降低2万件。 当单价定为多少时，销售总额最高？

销售总额y=(3000+500x)×(20-2x)，令y=0，解得x1=-6，x2=10

当单价=0.5×(-6+10)=2时，即单价=4000元时，销售总额最高

四、 题目

例题

某楼盘的地下停车位，第一次开盘时平均价格为15万元/个；第二次开盘时，车位的销售量增加了一倍、销售额增加了60%。那么，第二次开盘的车位平均价格为： A. 10万元/个 B. 11万元/个 C. 12万元/个 D. 13万元/个

C

赋值法：第一次开盘销售量为10，则第一次销售额=150

第二次：20P=150×1.6=240→P=12

为了节约水资源，某城市规定每人每月不超过5吨，则按2.5元/吨；超出5吨的，超出部分按4元/吨收费，每次收费时用水量都按整数计算。已知胡家3口人，熊家4口人，某月月底结算时，胡家收费69.5元，比熊家多交了15.5元。那么熊家该月用了多少吨水？ A. 20 B. 21 C. 22 D. 23

B

分段计费：每个数字只对应一种情况

熊家收费=69.5-15.5=54元

便宜：5×4×2.5=50元

昂贵：4/4=1吨

某商品的进货单价为80元，销售单价为100元，每天可售出120件，已知销售单价每降低1元，每天可多售出20件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是： A. 5元 B. 6元 C. 7元 D. 8元

C

利润y=(20-x)×(120+20x)，令y=0，x1=20，x2=-6

x=7

习题

某品牌的葛粉进价为20元，现降价20%卖出，结果还获得进价52%的利润。那么，该葛粉的定价是多少元? A. 36 B. 37 C. 38 D. 39

C

8折后的售价=20×(1+52%)

定价=20×1.52/0.8=152/4=38

某企业设计了一款工艺品，每件的成本是70元，为了合理定价，投放市场进行试销。据市场调查，销售单价是120元时，每天的销售量是100件，而销售单价每降价1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本。则销售单价为多少元时，每天的销售利润最大? A. 100元 B. 102元 C. 105元 D. 108元

C

注意120是价格，求的是总利润max

要求销售单价不得低于成本→毫无意义

y=(120-70-x)×(100+5x)→x1=50，x2=-20→x=15

某商场会员全年购买该商场商品可享8折优惠，近日该商场举行店庆优惠活动。全场商品满199元减50元，满399元减100元，满599元减200元，会员优惠和店庆优惠每次只能享受一项。活动期间会员小兴分三次购买了价值260元、480元、640元商品各一件，则小兴最少需支付： A. 1024元 B. 1026元 C. 1028元 D. 1030元

C

每件商品分别考虑

以优惠50元为例，50÷0.2=250元→250元以上打折有利

260×0.8+480-100+640-200=208+380+440=1028

同事甲、乙两人共携带120千克行李乘坐飞机，根据规定，甲单独托运则超重需支付200元，乙单独托运则超重需支付100元。若全部行李由一人负责托运，则超重需支付450元。问每位乘客的免费托运的行李最多为多少千克? A. 20 B. 25 C. 30 D. 35

C

最简单的办法：列方程组

(120-a)b=450

(120-2a)b=300

解得

a=30

b=5

数量关系-数学运算-几何问题

一、 公式

周长

弧长=2πr×n/360

面积

扇形=πr²×n/360

梯形=(a+b)h/2

菱形=对角线乘积/2

表面积

圆柱=2πr²+2πrh

球体=4πr²

椎体侧面积=πrl

体积

柱体=Sh

椎体=Sh/3

球体=4πr³/3

二、 常用结论

三角形

底（高）相同的三角形，面积之比等于高（底）之比

相似三角形，对应边（高）之比等于相似比，面积比等于相似比的平方

几何最值理论

平面图形：周长一定，越接近于圆面积越大；面积一定，越接近于圆周长越小

四边形周长一定，正方形时面积最大

立体图形：表面积一定，越接近于球体积越大；体积一定，越接近于球表面积越小

n条直线可将平面分成1+n(n+1)/2个面

三、 最短路径

平面

立体

展开成平面图形再连线

四、 题目

例题

村民陶某承包一块长方形种植地，他将地分割成如图所示的4个小长方形，在A、B、C、D四块长方形土地上分别种植西瓜、花生、地瓜、水稻。其中长方形A、B、C的周长分别是20米、24米、28米，那么长方形D的最大面积是：

64

设A的边长是a和b

a+b=10

S=(12-a)×(14-b)

当12-a=14-b时，S→max

解得a=4，b=6→S=8×8=64

习题

1. 将512个体积为1立方厘米的小立方体，合成一个边长为8厘米的大立方体，并在大立方体的六面分别刷上不同的颜色，再分开为原来的小立方体，则被刷上两种不同颜色的小立方体的数目是（ ）个。

72

每条棱有6个

一个立方体12条棱

6×12=72

2. 1个边长为5的大立方体由若干个边长为1的小立方体组成，现将大立方体每个面对角线上的木块涂成黑色，则共有多少个小立方体木块被涂色？

38

每个面9个，共6个面

每个顶点的立方体被3个面涂，共8个顶点

9×6-2×8=54-16=38

立方体就是正方体

3. 将棱长为1的正方体的六个面的中点相连接可以得到一个八面体，则这个八面体的体积为：

1/6

V=2×椎体体积

椎体体积=S×h/3

S=1/2,2h=1

V=S×2h/3=1/6

4. 气象台测得在S岛正东方向80千米处，一台风中心正以20千米/小时的速度沿北偏西60度的方向匀速移动。若台风中心50千米范围内为影响区域，台风中心移动方向不变、强度不变，该台风对S岛的影响时间约持续：

3小时

关键是找到BD的距离： ①从B开始受到台风影响，持续增长到D停止 ②从D到C经历相同时间后台风离开

5. 如图所示，在长为64米、宽为40米的长方形耕地上修建宽度相同的两条道路（一条横向、一条纵向），把耕地分为大小不等的四块耕地。已知，修路后耕地总面积为1377平方米，则该道路路面宽度为多少米？ A. 10 B. 11 C. 12 D. 13

D

思路1：1377+(64+40)x-x²=64×40→(104-x)x=1183

思路2：(64-x)(40-x)=1377

都能快速排除AC，不可能是偶数

6. 幼儿园老师用边长为10cm的正八边形纸皮，裁去四个同样大小的等腰直角三角形，做成长方体包装盒。如果用该包装盒存放体积为8cm³的立方体积木（不凸出包装盒外沿），那么，这个盒子最多可以放入多少块积木？

75

长方体包装盒

底：10×10的正方形

高：5×√2=7.07

1层铺25个，最多铺3层

7. 3颗气象卫星与地心距离相等，并可同时覆盖全球地表，现假设地球半径为R，则3颗卫星距地球最短距离为：

R√错解2R

每颗卫星对应地球圆心角为120°→卫星到达地心距离=2R→到达底面=2R-R=R

8. 在一个正方形内画中、小两个正方形，使三个正方形具有公共顶点，这样大正方形被分割成了正方形区域甲，和L形区域乙、丙。已知三块区域甲、乙、丙的周长之比为4∶5∶7，并且区域丙的面积为48，求大正方形的面积：

98

甲乙丙的周长比=3个正方形的周长比=3个正方形的边长比

S丙=7²-5²=49-25=24→乘2即可→S大正方形=2×49=98

9. 某学校准备重新粉刷国旗的旗台，该旗台由两个正方体上下叠加而成，边长分别为1米和2米。问需要粉刷的面积为（ ）。

24立方米

粉刷面积=总面积-重合及覆盖面积

总面积=6×(1+4)=30

重叠覆盖面积=1+4=5→×

两个部分重叠部分需要×2！

重叠覆盖面积=4+1×2=6

看评论笑死我了：你们真的不在意一个插旗杆的台子单是底座就有两米高吗....

10. 射击用的靶子是由若干个同心圆组成，最中心的圆代表10环，而10环外圈的一个圆环代表9环。在随机射击时，若要使得击中10环和9环的概率相同，那么10环外圈半径与9环外圈半径的比值为（ ）。

面积比=1:2=半径比²→半径比=1:√2

11. 在长方形ABCD中，已知三角形ABE、三角形ADF与四边形AECF的面积相等，则三角形AEF与三角形CEF的面积之比是：

5:1

特殊值法：假设ABCD是边长为3的正方形

DF=BE=2

S△CEF=0.5

其实也不复杂：设长方形长宽分别为3a和3b

DF=2a,BE=2b

12. 如图，在△ABC中，已知BD=2DC，EC=2AE，则△BFD与△AEF面积的比值为

8:1

S△ABF=S△ABD-S△BFD=S△ABE-S△AEF

S△ABD=2×S△ACD=2×(a+3b)

S△ABE=0.5×S△BCE=0.5×(3a+2b)

解得a=4b

比值=2a:b=8:1

13. 梯形ABDC的两条对角线AD、BC相交于O，EF平行于两条边且过O点。现已知AB=6，CD=18，问EF的长度为多少？

9

△AB0∽△DC0→底长比=高长比=1:3

EF=AB+(CD-AB)/4=6+3=9

14. 长方形恰好分为六个正方形，其中最小的正方形面积为1平方厘米，则这个长方形的面积是：

143

左边=右边→2a+3=2a+3→没用

上边=下边→2a+5=3a+1→a=4

S长方形=13×11=143

大图形不是正方形！错解成13²

数量关系-数学运算-排列组合与概率

一、 排列组合

分类：加法

多者选一

分步：乘法

同时满足

排列

抽取+排序

An m

组合

只抽取，不排序

Cn m

二、 经典题型

枚举法

选项较小时使用

加和凑整

1,2,5三种数字→凑成9

捆绑法

多个元素必须相邻→视为1个元素→外部顺序×内部顺序

插空法

m个元素必须不相邻→先安排n个可以相邻的元素：形成n+1个空位→插入空位

两侧空位不能插

m个元素、n个元素各自没有区别：内部没有顺序→Cm n+1

插板法

n个相同物品分给m人，每人至少1个

=(n-m)个相同物品分给m人，随意分→n个相同物品随意分给m人=

①至少1个：大的放下边就完事了 ②至少1个：物品数量＞人数；物品数量也比随意分多

错位排列

Dn=(n-1)×(Dn-1+Dn-2)

三、 概率

给情况求概率

P=满足条件的情况数/所有情况数

给概率求概率

分类用加法

P=P1+P2+...+Pn

分步用乘法

P=P1×P2×...×Pn

≈排列组合

逆向思维

P=1-反面情况概率

四、 题目

例题

1. 某市从市儿童公园到市科技馆有6种不同路线，从市科技馆到市少年宫有5种不同路线，从市儿童公园到市少年宫有4种不同路线，则从市儿童公园到市少年宫的路线共有：

34

注意分类和分步的感觉

6×5+4=34

2. 小王在商店消费了90元，口袋里只有1张50元、4张20元、8张10元的钞票，他共有几种付款方式，可以使店家不用找零钱？

7

用50元+不用50元

不能只用10元：只有8张

3. 把12棵同样的松树和6棵同样的柏树种植在道路两侧，每侧种植9棵，要求每侧的柏树数量相等且不相邻，且道路起点和终点处两侧种植的都必须是松树。问有多少种不同的种植方法？

100

(C3 5)²=100

4. 某城市一条道路上有4个十字路口，每个十字路口至少有一名交通协管员，现将8个协管员名额分配到这4个路口，则每个路口协管员名额的分配方案有：

35

C3 7=35

不要纠结人和人、路口和路口的区别→只考虑数量即可

习题

1. 小李今天上午有a、b、c、d这四项工作要完成，下午有e、f、g这三项工作要完成，每半天内各项工作的顺序可以随意调整，则他今天有（ ）种完成工作的顺序。

144

4!×3!=24×6=144

不需要再÷2

2. 现用5700立方厘米的蜡制作二十多个同样大小，且长、宽、高均为整数厘米的长方体实心蜡块，问蜡块的尺寸有多少种不同的可能性？

10√错解6

错解：单个长方体的体积取值范围=(5700/30,5700/20)=(190,285)

长宽高都是整数→体积必为合数→5700=4×25×3×19→25块

V蜡块=4×3×19

长宽高有2个1厘米：1种情况

长宽高有1个1厘米

长宽高有0个1厘米

如何数？

3. 从正九边形的顶点中任选3个作为顶点绘制三角形，问其中等腰三角形占全部可画出三角形的比例在以下哪个范围内? A. 低于28% B. 在28%到33%之间 C. 在33%到40%之间 D. 高于40%

C√错解B

思路1:固定1点A1

A1为顶点→4种情况

A1为底的1点

错解：只从A2开始数：2、4、6、8→4种情况

从A9开始数：9、7、5、4→4种情况

上述分布都重复了(A1+A4+A7)构成的等边三角形

(4×3-2)/(C2 8)=10/28=35.7%

思路2：整体思想

共有C3 9=84

每个点都有可能是顶点→每个点都有4种可能：9×4=36

3个等边三角形A147、A258、A369均重复3次，36-3×2=30

30/84=35.7%

4. 某单位新来了4名实习生，要将其分配到3个部门，每个部门至少分配1人，则不同的分配方案有多少种？

36√错解72或3

错解72：C2 4×C1 2×A3 3=6×2×6=72

错解3：插板法C2 3=6→分配方案！人都是不同的个体！

部门→人：C1 3×C2 4×C1 2=3×6×2=36

人→部门：C1 4×C1 3÷A2 2×A3 3=4×3÷2×6=36

背诵：4个不同个体分成3组→36种

5. 某会议室共5排座位，每排座位数依次为10、9、8、7、6个，甲、乙两人随机选择座位入座，则他们左右相邻的概率： A. 不到2% B. 在2%到5%之间 C. 在5%到10%之间 D. 高于10%

B

思路1

合计40个座位，共10个座位靠边：

思路2

第一排：2×9，第二排：2×8...第5排：2×5→合计：2×14×5÷2=70

共有A2 40=1560

P=70/1560=4.5%

6. 胜利小学的225名同学与红旗小学的256名同学一起春游，将两所小学的同学混合在一起，随机组合，重新组织队伍，要求每队人数相同且队伍数尽可能少，那么胜利小学的张华与红旗小学的张明出现在同一队伍的概率约为：

7.5%

225+256=481，错解成471

481=13×37→13队，每队37人

思路1

分子=C1 13×C2 13

分母=C2 481

可以把“分队伍”的题目看成1个大教室！ 共13排（代表13队），每排37个座位 在同1排即为在同1队→分母=C2 481

思路2

1人随便找一队，另1人同队的概率=36/480=7.5%

7. 某兴趣组有男女生各5名，他们都准备了表演节目。现在需要选出4名学生各自表演1个节目，这4人中既要有男生、也要有女生，且不能由男生连续表演节目。那么，不同的节目安排有多少种？

2400

①男2女2

C2 5×C2 5×A2 2×A2 3=10×10×2×6=1200

②男1女3

C1 5×C3 5×A4 4=5×10×24=1200

③男3女1×

8. 甲和乙进行5局3胜的乒乓球比赛，甲每局获胜的概率是乙每局获胜概率的1.5倍。问以下哪种情况发生的概率最大？ A. 比赛在3局内结束 B. 乙连胜3局获胜 C. 甲获胜且两人均无连胜 D. 乙用4局获胜

A

P甲=0.6，P乙=0.4

A

P=0.6³+0.4³

B

3种情况，并非前3局连胜走人

0.4³

0.6×0.4³

0.6×0.6×0.4³

=1.96×0.4³

C

0.6³×0.4³

D

乙第四局胜，前三局2胜1负：(C2 3×0.6×0.4²)×0.4

=1.8×0.4³

0.6³=0.216 0.4³=0.064

观察可得：A＞B＞D＞C

9. 某单位购买了10台新电脑，计划分配给甲、乙、丙3个部门使用。已知每个部门都需要新电脑，且每个部门最多得到5台，那么电脑分配方法共有（ ）种。

18

电脑→相同个体

思路1

每人先分1台，余7台→枚举法

403

A3 3

412

A3 3

313

C1 3

322

C1 3

6+6+3+3=18

思路2

每人先分1台，余7台，接下来直接给1个人5台（已经超标），剩下2台随意分

反面情况

①先挑选1个部门分5台，C1 3 ②2台随意分3个部门→C2 4 ③3×6=18

正面情况

C2 9-反面情况=36-18=18

思路3

反面情况

5个电脑捆绑在一起，剩下5台插板法：C1 3×C2 4=18

10. 某办公室接到15份公文的处理任务，分配给甲、乙、丙三名工作人员处理。假如每名工作人员处理的公文份数不得少于3份，也不得多于10份，则共有（ ）种分配方式。

28

公文→相同个体

先给每人分3个，剩余6个，随意分都OK→C2 8=28

扩展：假设是20份公文

先给每人分3个，余11个，再捆绑其中8个给1人，剩下3个随意分

C1 3×C2 5=30

先给每人分2个，余14个，再捆绑其中8个给1人，剩下6个插板法

C1 3×C2 5=30

每人不得少于3份的总体情况=C2 13=78

共有78-30=48种

①每人不得少于n个：先给每个人分n个，再随意分 ②每人不得多于m个：先把m个捆绑在一起给其中1人

11. 某市公安局从辖区2个派出所分别抽调2名警察，将他们随机安排到3个专案组工作，则来自同一派出所的警察不在同一组的概率是：

2/3

警察→人→不同个体

分母=36

在同一组的情况→捆绑法

①挑选1个派出所C1 2捆绑，内部不需要排序 ②外部排序A3 3 ③C1 2×A3 3=2×6=12

12. 研究人员在A、B、C、D、E五块试验田中种植甲、乙、丙、丁、戊五种作物，每块试验田只种一种作物，每年都在所有的安排中随机挑选一种进行种植。问在连续的3年中，A试验田至少2年种植同一种作物的概率为:

52%√错解36%

错误理解：至少连续两年！我最开始以为121这种也是OK的

连续3年相同：1/5×1/5=4%

连续2年相同：1/5×4/5×2=32%

正确理解：3年中有重复！

错误理解+第1年和第3年相同=36%+4/5×1/5=52%

反面情况：3年都不相同→1-4/5×3/5=1-12/25=52%

数量关系-数学运算-溶液+最值+数列问题

一、 溶液问题

关系

溶液总量=溶质+溶剂

浓度=溶质÷溶液总量

溶质=溶液总量×浓度

方法

方程法

建立等量关系

线段法

距离与量呈反比

感觉比十字交叉法要好

eg：10克10%溶液+30克30%溶液

十字交叉法：10×(x-10)=30×(30-x)→x=25

量之比=1:3→距离之比=3:1→10%+20%×(3/4)=25%

A=B×C都能使用线段法→BC：一个是量，一个算距离

速度问题

路程=时间×速度

时间→量

速度→距离

折扣问题

优惠金额=原始价格×折扣比例

原始价格→量

折扣比例→距离

稀释

溶液不变，倒出溶液，加水稀释

剩余浓度=原始浓度a%×剩余比例

eg：从一瓶浓度为52%的酒精溶液中倒出1/3，加满纯净水，再倒出1/3，又加满纯净水，此时酒精溶液的浓度是多少？

52%×(2/3)×(2/3)=208/9=23.1%

二、 最值问题

最不利构造

判定

至少...才能保证...

思路

构造最不利+1

eg：袋子中有5个红球，8个白球，10个黄球， 问至少取出多少个，才能保证

有红球

8+10+1=19个

至少有3个同色的球

2×3+1=7个

至少有8个同色的球

5+7×2+1=20个

最不利+1 ①找出所有分类 ②每种情况取(n-1)个，不够全取 ③+1

构造数列

523个苹果分给5个人

最多的人最多分多少个？

x+1×4=523→x=519

最多的人最少分多少个？

x+(x-1)×4=523 或 5(x-1)=523-1→x=105.4→106

上述错解！！！

523÷5=104···3→105个！！！

最少的人最多分多少个？

x+(x+1)×4=523 或 5(x+1)=523+1→x=103.8→103

同理，上述错解！

523/5=104···3→104个！！！

最少的人最少分多少个？

1个

523个苹果分给5个人 要求数量互不相同

最多的人最多分多少个？

1+2+3+4+x=523→x=513

最多的人最少分多少个？

(x-2)×5=523→x=106.6→107

最少的人最多分多少个？

(x+2)×5=523→x=102.6→102

最少的人最少分多少个？

1个

①求最少→向上取整；求最多→向下取整 ②注意有无“互不相等”的条件 ③最少的最少：1个

多集合反向构造

多集合交集最小值

思路

反向-求和-作差

eg：有100人，其中语文好的80人，数学好的70人，英语好的60人 问“三科都好”至少有多少人？

思路1

①a+b+c=100 ②a+2b+3c=210

b+2c=110

b+c≤100→b+2c≤100+c→c≥10

最少10人，最多55人

思路2

语文不好20人，数学不好30人，英语不好40人

不好Max=20+30+40=90人

Min=100-90=10人

思路3

N集合N属性的Min=(A+B+C+...)-(N-1)×I

三、 数列问题

等差数列

把等差数列的加减看做a0和d的运算

(首项+末项)×n/2

中间项×n

中间项

傻逼公式不记也罢

结论

奇数列Sn=n²

偶数列Sn=n²+n（=奇数列+n，没毛病）

正整数列Sn=n(n+1)/2

前n项之和比后n项之和小m，则d=m/n²

等比数列

基本公式

等比数列的乘除看做a0和q的运算

四、 题目

例题

1. 有一瓶浓度为15%的盐水500克，每次加入34克浓度为60%的盐水，则至少加多少次该盐水，使这瓶盐水的浓度超过30%。

8次

距离比=15:30=1:2→量之比=2:1→250克

250/34=7...12→8次

2. 某商店10月1日开业后，每天的营业额均以100元的速度上涨，已知该月15号这一天的营业额为5000元，问该商店10月份的总营业额为多少元？

1581错解1583

51×31=1500+80+1=1581

错解原因：计算失误，算成1500+82+1

3. 小赵、小钱、小孙、小李、小周五个人的收入依次成等比，已知小赵的收入是3000元，小孙的收入是3600元，那么小周比小孙的收入高：

720

小周收入=36×(36/30)=4320→4320-3600=720

差距也呈等比数列→(36-30)×(36/30)=720

习题

1. 某单位原有45名职工，从下级单位调入5名党员职工后，该单位的党员人数占总人数的比重上升了6个百分点。如果该单位又有2名职工入党，那么该单位现在的党员人数占总人数的比重为多少？

50%

视作溶液

原单位45人，党员比重x%

调入党员5人，浓度100%

45×6=5×[100-(x+6)]→原有比重=40%

50人23名党员，又有2名入党→50%

2. 学校体育部采购一批足球和篮球，足球和篮球的定价分别为每个80元和100元。由于购买数量较多，商店分别给予足球25%、篮球20%的折扣，结果共少付了22%。问购买的足球与篮球的数量之比是多少？

5:6

足球和篮球距离之比=3:2→量之比=2:3→量是总价格

数量之比=(2/8):(3/10)，同乘40→10:12=5:6

3. {an}是一个等差数列，a3+a7-a10=8，a11-a4=4，则前13项之和是？

156

a3+a7-a10=8→a0=8

a11-a4=4→d=4/7

中间项a7=a0+7d=12→S13=12×13=156

4. 某演唱会主办方为观众准备了白红橙黄绿蓝紫7种颜色的荧光棒各若干只，每名观众可在入口处任意选取2只，若每种颜色的荧光棒都足够多，那么至少多少名观众中，一定有两人选取的荧光棒颜色完全相同。

29√错解22

颜色完全相同的情况！

C2 7+7=28→29

5. 有大小相同的3种颜色玻璃球，每次取3颗为一组，则至少要取多少组，才能保证至少有2组玻璃球的颜色组合是一样的？

11种√错解8种

错解：C1 3+C2 3+C3 3=3+3+1=7→8

两种颜色时，又有两种不同的情况！

C1 3+2×C2 3+C3 3=10→11

6. 有若干个相同的小正方体木块，按图（1）、（2）、（3）的叠放规律摆放，则到第七个图时，第七个图中小正方体木块总数应为多少个？

91

每层个数是等差数列：a1=1，d=4

S7=7×a4=7×(1+3×4)=91

7. 有甲、乙两种不同浓度的盐水，取3克甲盐水和1克乙盐水混合可以得到浓度为x%的盐水；用1克甲盐水和3克乙盐水混合可以得到丙盐水。问用多少克甲盐水和1克丙盐水混合可以得到浓度为x%的盐水？

2

赋值法

甲100%，乙0%

x=75%

丙=25%

甲和丙距离之比=1:2→量之比=2:1

婚姻法：各过各的

x=0.75甲+0.25乙

甲乙量之比=3:1

1丙=0.25甲+0.75乙

想要甲乙量之比=3:1，则甲应为0.75×3=2.25→加2甲

8. 一个暗箱装有12个编号从1到12的乒乓球，甲、乙、丙三人轮流从暗箱中摸球，每人每次摸一个球且不放回。将所有球摸完后，三人所摸出的球上的编号之和相等，并且甲摸出了1号球和3号球，乙摸出了6号球和11号球。丙摸出的球编号最大为多少？

9号球

S12=(1+12)×12/2=78→每人的和为26

甲目前是4，缺22→10+12（11已经没了）

乙目前是17，缺9→乙的最大编号不能为9

9. 王老师将天然蜂蜜和矿泉水混合成蜂蜜水，现有一瓶浓度为10%的蜂蜜水100克，如果需要将蜂蜜水的浓度提高10%，需加入天然蜂蜜a克和矿泉水2a克，那么后加入的蜂蜜是原来的多少倍？

2.5倍

混合后浓度=20%

线段法

(20-10)×10=(33-20)×n→n=100/13=300/40=75

75克含25克蜂蜜

方程法

a=25克

方程法好像还快点

10. 甲、乙两个相同的杯子中分别装满了浓度为20%和30%的两种溶液。将甲杯中倒出一半溶液，用乙杯中的溶液将甲杯加满混合，然后再将已经加满的甲杯中的溶液全部倒入一杯清水中且未溢出，溶液浓度变为20%。若该溶液密度与水完全相同，问原甲杯中溶液的质量是这杯清水质量的多少倍？

4倍

加清水=溶质不变→构造等量关系

甲乙混合后25%，加清水后变成20%→25÷20%=125→加水25克