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小学四年级数学知识思维导图（北师大版2021）
小学四年级数学知识思维导图（北师大版2021）现在很多地方择校,学校大多重点考察奥数,也是因为这些学校非常明白数学能力对于孩子今后可持续“优秀”的重要性。 所以明智的家长,一定要在孩子小学阶段,重点的关注孩子的数学学习。
编辑于2021-06-09 21:27:54
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小学四年级数学知识思维导图 （北师大版）
基础算术
认识数字
认识10000以上的数（4上）
右边起第五个数位是万位，单位是10000，读作：万，右边起第六个数位是十万位，单位是100000，读作：十万，右边起第七个数位是百万位，单位是1000000，读作：百万，右边起第八个数位是千万位，单位是10000000，读作：千万，右边起第九个数位是亿位，单位是100000000，读作：亿，右边起第十个数位是十亿位，单位是1000000000，读作十亿，右边起第十一个数位是百亿位，单位是10000000000，读作百亿，右边起第十二个数位是千亿位，单位是100000000000，读作：千亿
数位顺序表
在数位顺序表中，越往左的数位越大，越往右的数位越小
越往左的数位越大，越往右的数位越小
大数分级
每四个数位组成一个数级
第一个数级名为个级，包含个位，十位，百位，千位
第二个数级名为万级，包含万位，十万位，百万位，千万位
第三个数级名为亿级，包含亿位，十亿位，百亿位，千亿位
大数读写
大数读作
先读高一级的数再读低一级的数
万级或亿级的数要按个级的数的读法来读，再在后面加上万或亿字
每级末尾不论有几个0，都不读，其它数位上有一个0或连续几个0，都只读一个零
大数写作
先写高一级，再写低一级
哪个数位上一个单位也没有，就在哪个数位上写0
大数改写
改写整万的数：以“万”为单位，把末尾的四个0去掉，再在数的末尾添上“万”字
改写整亿的数：以“亿”为单位，把末尾的八个0去掉，再在数的末尾添上“亿”字
近似数和四舍五入（4上）
近似数是指与精准数相近的一个数
精准数即这个数的最原始数据，没有经过约分、化简、或者四舍五入等任何运算之前的表达方法
近似数即经过四舍五入、进一法或者去尾法等方法得到的一个与原始数据相差不大的一个数
一个近似数四舍五入到哪一位，那么就说这个近似数精确到哪一位，从左边第一个不是0的数字到精确的数位的所有数字
对近似数，人们常需知道他的精确度。一个近似数的精确度通常用以下表述方式：用四舍五入表述，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位
四舍五入是一种精确度的计数保留法，与其他方法本质相同。但特殊之处在于，采用四舍五入，能使被保留部分的与实际值差值不超过最后一位数量级的二分之一
是约等于号，读作约等于，用于连接精准数和近似数
四舍五入步骤：看需要保留的位数的前一位,如果该位上的数字是“5”或者比“5”大,向前进一,如果该位上的数字是“4”或者比“4”小,就舍去
正负数及0（4上）
概念
比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反的量。负数用符号（即相当于减号）“－”和一个正数标记，如−2，代表的就是2的相反数。于是，任何正数前加上负号便成了负数。一个负数是其绝对值的相反数。在数轴线上，负数都在0的左侧
负数<0<正数
0既不是正数，也不是负数
分数也可做负数，如：—
比大小
去除负数前的负号等于这个负数的绝对值
正数的绝对值就是那个正数本身
x的绝对值写作|x|
绝对值相等，正负号相反的两个数互为相反数
相反数特性：若a和b互为相反数，则a+b=0，反之若a+b=0，则a、b互为相反数
一个数的相反数越大，这个数就越小。一个数的相反数越小，这个数就越大（适用于所有的数）
负数加减
同号两数相加，和取相同的符号，并把两数的绝对值相加
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号， 并用较大的绝对值减较小的绝对值
一个数同零相加仍得这个数
一个数减另一个数，差等于一个数加另一个数的相反数（适用于所有的数）
负数乘除
两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘
负数除负数，商为正数；正数除负数，商为负数；负数除正数，商为负数；正数除正数，商为正数
除以一个不为零的数等于乘这个数的倒数
自然数是指表示物体个数的数，即由0开始，0，1，2，3，4，……一个接一个，组成一个无穷的集体，即指非负整数
整数乘除法
3位数乘法（4上）
3位数乘2位数及3位数的竖式计算法
其他计算方法：延续使用乘法拆加法，乘法拆乘法，乘法列表法
图形认知
观察物体
立方体组合及绘制（4下）
代数
运算律
中括号的认识（4上）
中括号，又称方括号，符号为“[ ]”，常成对使用，一种表示计算顺序的符号，中括号中一定带有小括号在计算带有中括号的式子的时候先算小括号里的，再算中括号里的，最后算括号外面的
加法
加法交换律（4上）
a+b=b+a
加法结合律（4上）
a+b+c=a+(b+c)
减法
减法性质（4上）
a-b-c=a-(b+c)
乘法
乘法交换律（4上）
a×b=b×a
乘法结合律（4上）
(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律（4上）
a×c+b×c=(a+b)×c，a×c-b×c=(a-b)×c
除法
除法性质（4上）
(a÷b)÷c=a÷(b×c)
商不变的规律（4上）
a÷b=(a×c)÷(b×c)=(a÷c)÷(b÷c)
括号前面的因数是正数时，去掉括号，括号内的算式与因数相乘，运算符号不变；括号前面的因数是负数时，去掉括号，括号内的算式与因数相乘，括号内加号变减号，减号变加号，乘号和除号不变；去括号时应将括号前的符号连同括号一起去掉
一元一次方程（4下）
等量关系与等式的性质
等式：把相等的式子(至少两个)通过等号连接形成的新式子。等式的形式：把相等的式子（或字母表示的数）通过“=”连接起来。等式分为含有未知数的等式和不含未知数的等式
等式两边同时加(或减)同一个数或同一个式子，所得的结果仍是等式
等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数,所得的结果仍是等式
若a=b,则b=a
方程的定义
方程是含有未知数的等式
方程一定是等式，但等式不一定是方程
在方程之中，我们用字母表示未知数，通常设x.y.z为未知数，也可以设别的字母，全部小写字母都可以
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程
一元一次方程定义：只含有一个未知数，且未知数次数是一的整式方程叫一元一次方程
应用等式性质解一元一次方程
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解
求方程的解的过程叫做解方程
解一元一次方程的步骤：1.有分数先去分母（利用分数的基本性质，在等式两边同时乘分母的倍数）。2.有括号就去括号。3.利用等式的性质，把带有未知数的项放到等式的一边，不带未知数的项放到等式的另一边。4.如果需要的话，合并同类项。5.系数化为1求得未知数的值。
解方程的格式
开头要写“解”
例如： 3+x=18 解：x=18-3 x=15
4x+2（79-x）=192 解：4x+158-2x=192 4x-2x+158=192 2x+158=192 2x=192-158 2x=34 x=17
整式
整式定义：单项式和多项式统称为整式
单项式：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，分数和字母的积以及乘方的形式也是单项式
系数：单项式中的数字因数，如果单项式就是一个数，那这个单项式的系数就是这个数本身
单项式的次数：所有字母或数的指数的和
单项式书写规则：数与字母相乘时，数在字母前；乘号可以省略为点或不写；除法的式子可以写成分数式；带分数与字母相乘，带分数要化为假分数。当一个单项式的系数是1时，“1”通常省略不写，当一个单项式的系数是-1时，“1”通常也省略不写只用在单项式前加一个负号即可
几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。如果一个项的系数是负数，可以直接将这个项写在上一个项的后面，中间不加加号，注意：负号和这个项的其它部分还同属于一个项
多项式的次数：多项式中次数最高的项的次数
整式的计算
所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项
合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项系数的和，且字母连同它的指数不变。
几个整式相加减通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接
整式加减的步骤：先去括号，把几个整式变成一个整式，然后合并同类项，得到的就是结果
如果一个整式能整除另一个整式，那么这个多项式就是另一个多项式的因式
单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
整式相乘，就是将一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加
单项式相除，把它们的系数、相同字母分别相除，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
整式相除，就是将一个整式的每一项除以另一个整式的每一项，再把所得的商相加
在做整式混合运算时要先做乘除法再做加减法
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2+b2
完全平方公式：(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2 或(a-b)(a-b)=a2-2ab+b2
添括号时，括号前面的因数是正数时，括号内的算式与因数相乘，运算符号不变；括号前面的因数是负数时，括号内的算式与因数相乘，括号内加号变减号，减号变加号，乘号和除号不变
小数
小数加减法（4下）
在小数的末尾加0，减0小数的大小不变
列小数竖式的时候小数点要对齐
小数加减法的运算法则和整数一样
小数的意义（4下）
小数计数单位即某个小数数位上的最小量
相邻两个小数数位之间的进率是十
某个小数的小数单位就是这个小数的最小的小数数位的小数单位，如：0.5的小数单位是0.1
在某个小数的末尾加0，减0小数的大小不变，但这个小数的小数单位，也就是意义发生了变化，如：0.5=0.50，但0.5的小数单位是0.1，而0.50的小数单位是0.01
因为所有分数都可以表示成小数，所以所有的小数也都可以表示成分数
0.1=
0.01=
0.001=
小数数位顺序表
小数乘法（4下）
小数乘小数
先将数字相乘，按照整数乘法计算，再确定积的小数点的位置
概念：一个数的小数点向右移动一位得到的数是移动前的十分之一，向左移动一位得到的数是移动前的10倍
小数乘法的运算法则和整数一样
小数乘法竖式
小数乘法竖式和整数乘法竖式格式的计算方法基本一样；在格式方面第一个因数的末尾一位和第二个因数的末尾一位对齐
其他计算方法
使用小数乘法拆加法，小数乘法拆乘法，小数乘法列表法（原理和格式和整数方法基本一样）
小数乘积的小数点位置
看因数中共有几位小数，就从积的右边起数出几位点上小数点
两个因数中一共有几位小数，积就有几位小数
几何
角的测量工具、方法及单位 （4上）
角的测量单位：度（记作：°），1度（记作：1°）等于将圆平均分成360份其中的一份的大小，或圆的
角的测量工具：量角器，常见材质为塑料或铁质，可以根据需要画出所要的角度。可以画角度、量角度、画垂直线、平行线、测倾斜度、垂直度、水平线。
角的测量方法：用量角器的中心对准角的顶点，量角器的零刻度线对齐角的一边，角的另一边所指的刻度就是角的大小。
角的画法：先在纸上画出角的顶点和一条边，把量角器的中心点与角的顶点重合，0°刻度线与所画的边重合，在需要画的角度的对应的刻度线处画一个点，拿走量角器，以顶点为起点，过那个点画出角的另一条边，并标出角的符号和度数。
角的大小：角的大小与边的长短没有关系；角的大小决定于角的两条边张开的程度，张开的越大，角就越大，相反，张开的越小，角则越小。
互补角：角度和等于180的两个角互补
互补角：角度和等于180的两个角互补
对顶角：两角有一个公共顶点，而且两个角的两边是另一个角两边的反向延长线，具有这样关系的两个角，互为对顶角，对顶角相等
邻补角：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这样关系的两个角，互为邻补角，邻补角互补
内错角：两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角
同位角：两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角
外错角：两条直线被第三条直线所截，构成了八个角。如果两个角都在两条被截线的外侧，并且在截线的两侧，那么这样的一对角叫做外错角
同旁内角：两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角
同旁外角：两条直线被第三条直线所截，两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之外，具有这样位置关系的一对角互为同旁外角
相交（4上）
概念：在数学中，相交是两个几何图形之间关系的一种。两个图形相交是指它们有公共的部分，或者说同时属于两者的点的集合，如果两个图形完全重合，则一般称为不相交。
垂直：是指一条线与另一条线相交且成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫垂足。通常用符号“⊥”表示
定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短； 两条直线要么平行，要么相交，要么重合。
平行（4上）
定义与符号：在平面上两条直线、空间的两个平面以及空间的一条直线与一平面之间没有任何公共点时，称它们平行。平行线在无论多远都不相交，符号为：||
判定方法
两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线互相平行
两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线互相平行
两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线互相平行
在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
平行于同一条直线的两条直线互相平行
定理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
平面直角坐标系（4上）
概念：在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系。平面直角坐标系有两个坐标轴；通常，两条数轴分别置于水平位置与垂直位置；其中水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右方向为正方向；其中垂直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴y轴统称为坐标轴。坐标系所在平面叫做坐标平面，两个坐标轴的公共原点o叫做平面直角坐标系的原点。x轴y轴将坐标平面分成了四个象限，右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点及原点不在任何一个象限内。一般情况下，x轴y轴取相同的单位长度，但在特殊的情况下，也可以取不同的单位长度。
数对
概念：在直角坐标系中，对于平面上的任意一点，都有唯一的一个数对（即点的坐标）与它对应；反过来，对于任意一个数对，都有平面上唯一的一点与它对应。对于平面内任意一点C，过点C分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上的对应点a,b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，数对（a,b）叫做点C的坐标。一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）
关于x轴成轴对称的点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数。于y轴成轴对称的点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数。关于原点成中心对称的点的坐标，横坐标与横坐标互为相反数，纵坐标与纵坐标互为相反数
第一象限中的点的横坐标(x)大于0，纵坐标(y)大于0。第二象限中的点的横坐标(x)小于0，纵坐标(y)大于0。第三象限中的点的横坐标(x)小于0，纵坐标(y)小于0。第四象限中的点的横坐标(x)大于0，纵坐标(y)小于0
数对的写法：先在外面写一个括号，在括号里面，先写横轴上的数,后写纵轴上的数,中间用逗号隔开。例：（a,b）
三角形、四边形（4下）
三角形分类
概念
不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形
三角形有三个边，三个内角，符号为：△，三角形的三个点都叫做顶点
三角形可以分成直角三角形，锐角三角形，钝角三角形，不等边三角形，等腰三角形，等边三角形等
锐角三角形：三角形的三个内角都小于90度的三角形
直角三角形：三角形的三个内角中一个角等于90度的三角形，符号为：Rt△。在直角三角形中，与直角相邻的两条边称为直角边，直角所对的边称为斜边
钝角三角形：三角形的三个内角中有一个角大于90度的三角形
不等边三角形：三条边都不相等的三角形
等腰三角形：两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一性质”）。等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。等腰三角形是轴对称图形，（不是等边三角形的情况下）只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边。等腰三角形的顶角平分线和底边上的高互相重合。如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
等边三角形（又称正三角形）：为三边相等的三角形，其三个内角相等，均为60°，它是锐角三角形的一种。等边三角形也是最稳定的结构。等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形拥有等腰三角形的一切性质
三角形的特点
三角形内角的关系
三角形的内角和=180°
一个三角形的三个内角中最少有两个锐角
在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度（等边三角形除外）
三角形边的关系
三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边
毕达哥拉斯定理（别名勾股定理）：在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么可以用数学语言表达：a×a+b×b=c×c
三角形角边关系
在同一个三角形内，长边对大角，大角对长边
三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线
三角形的中线是连接三角形的一个顶点以及那个顶点的对边和这条对边的垂直平分线相交的点的线段，一个三角形有3条中线。三角形的三条中线总是相交于同一点，这个点称为三角形的重心，重心分中线为2：1（顶点到重心：重心到对边中点）
三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点
拓展：三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度的平方和的
三角形具有稳定性
四边形分类
四边形：由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形
凸四边形：对边不相交且作出一边所在直线，其余各边均在其同侧
凹四边形：对边不相交且作出一边所在直线，其余各边有些在其异侧
梯形：是只有一组对边平行的凸四边形
概念：平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底；另外两边叫腰；夹在两底之间的垂线段叫梯形的高
梯形的判定：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形；一组对边平行且不相等的四边形是梯形
等腰梯形：两腰相等的梯形。等腰梯形的两条腰相等。等腰梯形在同一底上的两个底角相等。等腰梯形的两条对角线相等。等腰梯形是轴对称图形，对称轴是上下底中点的连线所在直线(过两底中点的直线）
直角梯形：一腰垂直于底的梯形。直角梯形其中1个角是直角
等腰梯形判定：两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形
直角梯形判定：一腰垂直于底的梯形是直角梯形；有一个内角是直角的梯形是直角梯形
平行四边形：对边相等且平行的四边形
平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形
长方形是有一个角是90度的平行四边形，正方形是四条边相等的长方形
四边形的特点
四边形的内角和等于360°
四边形具有不稳定性
平面图形的分类
先区分是由曲线组成，还是由线段组成
由线段组成的图形可以按边的数量再次分类，也可以按角的数量再次分类
由曲线组成的图形无需再进行分类
密铺的定义（4下）
密铺，即平面图形的镶嵌，用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称做平面图形的镶嵌
统计
统计图
统计图是根据统计数字，用几何图形、事物形象和地图等绘制的各种图形。它具有直观、形象、生动、具体等特点。统计图可以使复杂的统计数字简单化、通俗化、形象化，使人一目了然，便于理解和比较。因此，统计图在统计资料整理与分析中占有重要地位，并得到广泛应用
条形统计图（4下）
条形统计图是用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按一定的顺序排列起来。条形统计图一般简称条形图，也叫长条图或直条图
条形统计图的制作：（1）根据图纸的大小，画出两条互相垂直的线条，作为纵轴和横轴。（2）在水平射线(横轴)上适当分配条形的位置，确定直条的宽度和间隔。（3）在纵轴上确定单位长度，并标出数量的标记和计量单位。（4）根据数据的大小，画出长短不同的直条，并标上标题。（5）若条形太小可适当在条形内画上颜色等区分。
条形统计图的特点：从条形统计图中很容易看出各种数量的多少
折线统计图（4下）
折线统计图是以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化的统计图。折线统计图用折线的起伏表示数据的增减变化情况。不仅可以表示数量的多少，而且可以反映数据的增减变化情况
折线统计图的制作：先画横轴，后画纵轴，纵、横轴都要有单位，按纸面的大小来确定用一定单位表示一定的数量。根据数量的多少，在纵、横轴的恰当位置描出各点，然后把各点用线段顺次连接起来
折线统计图的特点：易于显示数据变化趋势以及变化幅度，可以直观地反映这种变化以及各组之间的差别
平均数的定义及计算方法
平均数是一组数据平均水平的代表（4下）
平均数的计算方法：把n个数的总和除以n，所得的商叫做这n个数的平均数（4下）
数学应用
路程、时间、速率的单位及公式（4下）
路程=速率×时间
速率=路程÷时间
因为速率等于路程除以时间，所以速率单位就是路程单位和时间单位的比值，写作：路程单位/时间单位
速率的基本单位：米/秒（m/s）
速度是速率和方向的结合
相遇问题