第一章有理数思维导图

人教版初中数学七年级上册第一章《有理数》知识点梳理，包含：1.1 正数和负数 1.2 有理数（①有理数 ②数轴 ③相反数 ④绝对值 ⑤有理数大小比较） 1.3 有理数的加减法（①有理数的加法 ②有理数减法法则 ③有理数的加减混合运算） 1.4 有理数的乘除法 1.5有理数的乘方。

第一章 有理数

• 1.1 正数和负数
  • 正数和负数的定义
    • 正数
      • 比0大的数
      • “+”读作“正”，如“+2”读作“正2”，正号通常省略不写
    • 负数
      • 在正数前面加“－”号的数，叫做负数
      • “-”读作“负”，如“-2”读作“负2”，负号不能省略
    • 0
      • 0既不是正数，也不是负数,0是正数与负数的分界
    • • 一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略
      • 判断正数和负数，要看其本质是正还是负
        • +（-2）不是正数
        • -（-6）不是负数
  • 用正数、负数表示具有相反意义的量
    • 具有相反意义的量
      • 相反意义的量是指两个量，它们所表示的意义恰好相反
        • ①有相反的意义
        • ②有数量
      • • 哪种为正可任意选择
          • 当已知一个量用正数表示时，与其具有相反意义的量就用负数表示。反之，亦然。
        • 单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的
        • 具有相反意义的量必须是同类量
          • 如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量
        • 具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等
          • 如：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等
    • 表述
      • 当我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量直接可以用负数表示
      • 描述一对具有相反意义的量的词语一般是一对反义词
        • 上升和下降
        • 增加和减少
        • 盈利和亏损
        • 收入和支出
        • 向南和向北
• 1.2 有理数
  • 有理数
    • 定义
      • 能写成分数形式m/n（m,n是整数。n≠0）的数叫作有理数
      • • 有限小数和循环小数都可以化为分数，他们都是有理数
        • 所有整数都可以写成分母是1的分数，因此可以理解为整数和分数统称为有理数
    • 分类
      • 有理数
        • 整数
          • 正整数
          • 0
          • 自然数
          • 负整数
        • 分数
          • 正分数
          • 负分数
          • 有限小数或无限循环小数
        • • 正数和零统称为非负数
          • 负数和零统称为非正数
          • 正整数和零统称为非负整数（自然数）
          • 负整数和零统称为非负整数
      • 有理数
        • 正有理数
          • 正整数
          • 正分数
        • 零
        • 负有理数
          • 负整数
          • 负分数
    • 小数
      • 有限小数
      • 无限小数
        • 无限循环小数
          • 概念
            • 如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数
            • 其中重复出现的一个或几个数叫做它的一个循环节
          • 分类
            • 纯循环小数
              • 概念
                • 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数
              • 举例
                • 0．666…
            • 混循环小数
              • 概念
                • 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数
              • 举例
                • ，
          • 小数化分数
            • 纯循环小数
              • 方法
                • 循环节做分子，连写几个9作分母，循环节有几位写几个9
              • 举例
                • 
                  • 循环节的位数有一个，所以写一个9
                • 
                  • 3位循环节写3个9
            • 混循环小数
              • 方法
                • 小数部分减去不循环的数字作分子，连写几个9再紧接着连写几个0作分母，循环节是几个数就写几个9，不循环（小数部分）的数是几个就写几个0
              • 举例
                • 
        • 无限不循环小数
  • 数轴
    • 定义
      • 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴
      • • 数轴是一条可以向两端无限延伸的直线
        • 长度单位与单位长度是不同的
          • 单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段
          • 长度单位是为度量线段的长度而制定的单位
            • 有km、m、dm、cm等
      • 数轴三要素
        • 原点
        • 正方向
          • 通常以向右为正方向
        • 单位长度
          • 可选取任意长度作为数轴的单位长度
          • 同一条数轴上，单位长度的大小必须统一
        • 原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动
    • 数轴上的点与有理数
      • 任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如π
      • • 一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数
        • 反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示
        • 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大
    • 画法
      • ①画一条直线（通常画成水平位置）
      • ②在这条直线上取一点为原点
        • 原点表示0
      • ③确定正方向
        • 规定直线上向右为正方向，画上箭头
      • ④选取适当的长度为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上正数；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上负数
    • • 在实际解题过程中，可以使用画草图的方法
        • 首先抽象出数学模型，运用数轴来理解和解题
  • 相反数
    • 概念
      • 像2和-2,5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数
      • • “只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同
        • “0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉
        • 相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数
        • a,b互为相反数
          • a是b的相反数
          • b是a的相反数
          • 数轴上表示a，b的点关于原点对称
    • 几何意义
      • 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数
    • 表示方法
      • 表示一个数的相反数，可以在这个数的前面添一个“-”
      • • 3的相反数是-3
        • -3的相反数可以表示为-（-3），而-3的相反数就是3，即有-（-3）=3
    • 性质
      • 任何数都有相反数，且只有一个
        • 正数的相反数是负，
        • 负数的相反数是正数
        • 0的相反数是0
      • • 互为相反数的两个数，和为0
          • a,b互为相反数
            • a+b=0
        • 互为相反数的两个数分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等
    • 多重符号的化简
      • “+”号的个数不影响化简的结果，由数字前面“-”号的个数来确定
      • “-”
        • 若一个数前面有偶数个“-”号，其结果为正
        • 若一个数前面有奇数个“-”号，其结果为负
      • • 在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同
          • 如＋5＝5，＋（－5）＝－5
        • 在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数
          • 如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3
  • 绝对值
    • 定义
      • 一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|
      • • 绝对值是“距离”，表示一个数的点离原点远近
        • la-bl表示数a、数b对应的两点之间的距离
    • 意义
      • 代数意义
        • 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0
        • lal=
          • a（a＞0）
            • 正数的绝对值是它本身
          • 0（a=0）
            • 0的绝对值是0
          • -a（a＜0）
            • 负数的绝对值是它的相反数
      • 几何意义
        • 一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离
        • 离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小
    • 性质
      • 非负性
        • 即任何一个数的绝对值总是正数或0
        • • lal≥0
          • 若几个数的绝对值为0，则每个数都等于0
  • 有理数大小的比较
    • 数轴法
      • 在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小
      • 
        • a＜b
    • 法则比较法
      • 正数、0、负数
        • 正数都大于0
        • 0大于负数
        • 正数大于负数
      • 绝对值
        • 离原点越远的数，绝对值越大
        • 两个正数，绝对值大的正数大
        • 两个负数，绝对值大的负数反而小
    • 作差法
      • 设a、b为任意数
        • 若a-b＞0，则a＞b
        • 若a-b＝0，则a＝b
        • 若a-b＜0，a＜b
        • 反之，也成立
    • 求商法
      • 设a、b为任意正数
        • 
        • 
        • 
      • • 反之也成立
        • 若a、b为任意负数，则与上述结论相反
    • 倒数比较法
      • 如果两个数都大于0，那么倒数大的反而小
• 1.3 有理数的加减法
  • 有理数加法
    • 定义
      • 把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法
    • 法则
      • ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加
      • ②异号两数相加
        • 绝对值相等时，和为0
        • 绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值
      • ③一个数与0相加，仍得这个数
    • 步骤
      • ①一辨
        • 看符号，同号还是异号
      • ②二定
        • 定符号，同号取号，异号，看绝对值大小
      • ③三求
        • 求绝对值
    • 规律
      • ①同号相加，绝对值加不变号
      • ②异号相加，绝对值“大”减“小”，符号跟着大的跑
      • ③互为相反数求和，结果是0
    • 有理数加法运算律
      • ①加法交换律
        • 两个数相加，交换加数位置，和不变
          • a+b=b+a
          • 交换加数的位置时，不要忘记符号
      • ②加法结合律
        • 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变
          • (a+b)+c=a+(b+c)
      • 简化运算
        • 把符号相同的数结合在一起
        • 把分母相同的分数结合在一起
        • 把能凑成整数的数结合在一起，互为相反数的结合在一起
  • 有理数减法法则
    • 法则
      • 减去一个数，等于加上这个数的相反数
      • • a-b=a+（-b）
        • 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变
          • 一变是减法变加法
          • 二变是把减数变为它的相反数
        • 
    • 运算的一般步骤
      • ①把减号变加号
      • ②用减数的相反数作为加数
      • ③用有理数加法计算
    • • 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算
  • 有理数的加减混合运算
    • 将加减法统一成加法运算
    • • a+b-c=a+b+（-c）
      • 适当应用加法运算律简化计算
      • 负号前面的加号可以省略不写
• 1.4 有理数的乘除法
  • 有理数的乘法
    • 乘法法则
      • 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
      • 0与任何数相乘都得0
      • • 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘
        • 当因数中有负号时，必须用括号括起来
          • 如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3
    • 步骤
      • 确定符号：同号还是异号，是否有因数为0
      • 把各因数的绝对值相乘
        • ①一个数与1相乘，积仍为这个数
        • ②一个数与-1相乘，积是这个数的相反数
        • ③一个数与0相乘，积为0
    • 多个有理数相乘
      • 几个不为0的数相乘，积的符号由负因素的个数决定
        • 负因数的个数是偶数时，积为正数
        • 负因数的个数是奇数时，积是负数
      • 几个数相乘，如果其中有一个因数为0，那么积为0
        • 反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0
    • 有理数乘法运算律
      • ①交换律
        • 两个数相乘，交换因数位置，积不变
        • a*b=b*a
      • ②结合律
        • 三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个因素相乘，积不变
        • (a*b)*c=a*(b*c)
      • ③分配律
        • 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加
        • (a+b)*c=a*c+b*c
      • • 在交换因数的位置时，要连同符号一起交换
        • 三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘
          • 如abcd＝d(ac)b
        • 一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加
          • 如a(b+c+d)＝ab+ac+ad
    • 倒数
      • 定义
        • 乘积为1的两个数互为倒数
          • 若a,b互为倒数，则ab=1
          • 若ab=1，则a,b互为倒数
          • 注意：0是没有倒数的
        • • 倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数
          • 互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)
  • 有理数除法法则
    • ①除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数
      • (b≠0）
    • ②两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
    • ③0除以任何一个不为0的数，都得0
    • • 0在任何条件下都不能做除数
  • 乘除混合运算
    • ①乘除混合运算，先将除法化为乘法→确定积的符号→按从左到右的顺序运算
    • ②结果的符号由算式中负因数的个数决定
      • 负因数的个数是偶数时，结果为正
      • 负因数的个数是奇数时，结果为负
    • ③化成乘法后，应先约分再相乘
  • 加减乘除混合运算
    • 无括号
      • 先乘除，后加减
    • 有括号
      • 先算括号里的，然后再先乘除后加减
• 1.5 有理数的乘方
  • 乘方
    • 定义
      • 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方
        • 乘方运算的结果叫作幂
        • 相同因数叫作底数
        • 相同因数的个数叫作指数
      • a×a×a×......a=an
        • n个a相乘
        • an
          • 读作
            • a的n次方
            • a的n次幂
          • 
      • • 乘方与幂不同
          • 乘方是几个相同因数的乘法运算
          • 幂是乘方运算的结果
        • 底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来
        • 一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写
    • 运算法则
      • 正数的任何次幂都是正数
      • 0的任何正整数次幂都是0
      • 负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数
      • 任何一个数的偶次幂都是非负数，即a²≥0
  • 有理数的混合运算
    • 三级运算
      • ①加法和减法
      • ②乘法和除法
      • ③乘方和开方(以后学习)
    • 运算顺序
      • 先乘方，再乘除，最后加减。如果有括号，先进行括号内的运算
      • • ①运算顺序，高级到低级，依次进行
        • ②同级运算，按从左往右的顺序进行
        • ③有括号，先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的
  • 科学计数法
    • 定义
      • 一般地，一个大于10的数，可以写成a×10n 。其中1≤a＜10，n是正整数。这种记数法称为科学记数法
        • 
      • • 负数也可以用科学记数法表示，“-”照写，其它与正数一样
        • 
        • 1≤lal＜10
    • 步骤
      • 把原数变成a
        • a是一个小于10且大于等于1的数
      • 确定10的指数n
        • n是比原数的整数位数小1的数
        • n是把原数变成a时，小数点移动的位数
  • 近似数
    • 准确数
      • 在日常生活中，能准确地表示一些量的数，称为准确数
    • 近似数
      • 与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数
      • • 一般采用四舍五入法取近似数，只要看要保留位数的下一位是舍还是入
    • 精确度
      • 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度
      • • 精确度是指近似数与准确数的接近程度
    • 有效数字
      • 从一个数左边第一个非0的数字起，到最后一个数为止，所有的数字都是这个数的有效数字