常微分方程

常微分方程•王高雄•第三版 思维导图，常微分方程，属数学概念。学过中学数学的人对于方程是比较熟悉的；在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。

常微分方程

• 基本概念
  • 线性、非线性：看因变量形式
• 一阶微分方程
  • 一阶线性微分方程
    • 基本型
      • 可分离变量方程：变量分离法
      • 公式法：dy/dx=P(x)y+Q(x) （常数变易法推倒）
      • 恰当微分方程：M,N偏导数相等 *非恰当：利用积分因子化为恰当
      • 分项组合法
    • 可化为可分离变量方程
      • 齐次微分方程：变量替换u=y/x, (y+x), ...
      • 伯努利方程：dy/dx=P（x)y+Q(x)y^n 令z=y^1-n
    • 变量替换
      • 互换自变量因变量
      • 两直线型
        • 重合
        • 平行
        • 相交
    • 隐式微分方程
  • 解的存在唯一性定理
    • Picard逐步逼近法
    • 近似计算与误差估计:M,L,n,h
• 高阶微分方程
  • 解的性质与结构
    • 解的叠加原理
      • 齐次特解1+齐次特解2=齐次通解（线性组合）
      • 非齐特解1-非齐特解2=齐次特解
    • 通解结构定理
      • 非齐特解=齐次通解+非齐特解
      • 齐次的两个线性无关特解的线性组合=齐次通解
    • 朗斯基行列式
      • 线性相关：=0
      • 线性无关：≠0
    • 基本解组：齐次的一组n个线性无关解
  • 常系数线性微分方程
    • 齐次：待定指数函数法
      • 特征根为单根
        • 实数：x=c1e^(λ1t)+...+x=cne^(λnt)
        • 复数：复根共轭成对 两个实值解cosβte^(αt)，sinβte^(αt)
      • 复根特征根为
        • 实数
          • λ=0：k个解 1, t, t^2 ,..., t^(k-1)
          • λ≠0：k个解 e^(λt), te^(λt) ,…, t^(k-1)e^(λt)
        • 复数
          • 2k个实值解 cosβte^(αt), tcosβte^(αt) ,…, t^(k-1)cosβte^(αt) sinβte^(αt), tsinβte^(αt) ,…, t^(k-1)sinβte^(αt)
    • 非齐次：比较系数法
      • 类型I：L[x]=Pn(t)e^(λt) 设特解为x=t^kQn(t)e^(λt) Qn(t)与Pn(t)同幂；是否乘以t^k取决于λ是否为特根 最终通解为特解+齐次通解
        • λ不是特征方程特征根
        • λ是特征方程单根
        • λ是特征方程k重根
      • 类型II：L[x]=A(t)cosβte^(αt)+B(t)sinβte^(αt) 设特解为x=t^k•e^(αt)•(P(t)cosβt+Q(t)sinβt) k为F(λ)=0的根α+iβ的重数
  • 变系数线性微分方程
    • 常数变易法
    • Euler方程：令x=e^t,化为常系数微分方程 xdy/dx=λ, x^2d^2y/dx^2=(λ-1)，...
  • 可降阶高阶微分方程
    • 不显含未知函数x：直接积分降阶
    • 不显含自变量t：令x’=y，以其为新未知函数
• 线性微分方程组
  • 定义
    • X’=AX+f(t)
    • 基解矩阵：解矩阵每一列都线性无关（用Φ(t表示）
    • 矩阵指数expAt：A为常数矩阵
      • expAt=E+A+A^2/2!+…
      • 矩阵Φ(t)=expAt为x'=Ax的基解矩阵
      • Φ(t)是异于expAt的基解矩阵(即ve^λt)，则expAt=Φ(t)Φ(0)^(-1)
  • 常系数线性微分方程组
    • 齐次
      • 通解
        • 单根：Φ(t)=[v1e^ (λ1t),v2e^ (λ2t) ,…, vne^(λnt)]
        • 复根：e^( λt)[E+t(A-λE)+t^2•(A-λE)^2/2!+…]
      • 满足初值条件φ（t0)=η的特解： φ(t)=expAt• η
    • 非齐次：公式5.27或5.61