数学分析_数项级数收敛证明方法总结

期末考试就快来啦！听说你还在为数学分析头痛，那这张归纳了数学分析数项级数收敛证明方法（大一教材）的思维导图，你一定不能错过！

数项级数的收敛判别法

• 交错级数
  • 定理一：莱布尼茨判别法
    • 数列递减且趋于0，则该数列对应的交错级数（首项大于0，不大于0就乘个-1，不会改变收敛性），且级数和小与该数列第一项（此时第一项应为正）
• 一般项级数
  • 定理二：
    • 如果某级数绝对收敛，则它一定收敛
  • 定理三：
    • 绝对收敛级数的求和满足结合律 （即绝对收敛的无穷项级数交换其项的次序，得到的新级数依然绝对收敛且级数和不变）
  • 定理四：黎曼定理
    • 级数条件收敛，则其重排级数可以收敛于A，其中A属于（-∞，+∞）
  • 定理五：柯西乘积定理
    • 已知两绝对收敛级数，其级数和分别是S和T，则二者对应项乘积得到的新级数绝对收敛且级数和为ST
  • 定理六：狄利克雷判别法
    • 已知一个数列单调且后面的项趋向于0，另一个数列的部分和数列有界，则二者乘积得到的级数收敛
  • 定理七：阿贝尔判别法
    • 已知一个数列单调有界，另一个数列收敛，则两者乘积得到的级数收敛
• 正项级数：比值判别法与根式判别法
  • 定理七：比值判别法
    • 原型：
      • 收敛：第n+1项小于第n项（写成n+1项/n项等于0到1之间的一个定正数）
      • 发散：第n+1项大于第n项，（写成n+1项/第n项大于等于1）
    • 变态—极限形式（定理八）
      • 所求级数第n+1项/第n项的极限为q
        • 收敛：q<1，即n+1项小于n项
        • 发散：q>1，即n+1项大于n项
  • 定理九：根值判别法
    • 原型：
      • 1. 收敛：级数第n项表达式开n次方根结果为0到1之间的定常数
      • 2. 发散：级数第n项表达式开n次方根结果大于等于1
    • 变态—极限形式（定理十）
      • 所求级数第n项开n次方根的极限为q
        • 收敛：q<1
        • 发散：q>1
  • 定理十：拉贝判别法
    • n(1-uₙ₊₁/uₙ)=A
      • 收敛：A≧q，q∈（0,1）
      • 发散：A∈(0,1)
• 数列的上极限/下极限
  • 定理五：上下极限
    • 数列收敛，则其上下极限相等，且为该极限值
  • 定理六：子列
    • 原型：
      • 数列上极限为常数A
        • 1. 存在其收敛子列收敛于A
        • 2. 数列任何收敛子列不大于A
    • 变态—下极限
      • 数列下极限为常数A
        • 1. 存在其收敛子列收敛于A
        • 2. 数列任何收敛子列不小于A
• 非负项级数
  • 定理一
    • 部分和序列（前n项和组成的集合）有上界，即前n项和表达式小于定常数
  • 定理二：比较判别法
    • 原型：
      • 1. 所求级数小于某收敛非负级数的正数倍，则其收敛
      • 2. 所求级数大于某发散非负项级数的正数倍，则其发散
    • 变态—极限形式（定理三）
      • 所求级数比某正项级数为A
        • A>0，两个级数同敛态
        • A=0，若该正项级数收敛，所求收敛
  • 定理四：柯西积分判别法
    • 某级数表达式中的n全部换成x得到一个函数，若该函数在级数范围表达式内非负，递减，且该函数在级数范围内的积分收敛，则该级数收敛
• 所有级数
  • 定义法：写出前n项和表达式，对其求极限，若为定值则收敛

函数项级数的一致收敛的判别方法

• 函数列的一致收敛判别
  • 能找到极限函数f(x)
    • 定理一：(充要条件)
      • lim{sup|fₙ(x)-f(x)|}=0
    • 定理二：(充要条件)
      • 存在x使得lim{sup|fₙ(x)-f(x)|}不为0，则该函数列不一致收敛
  • 所有情况都适用
    • 定理三：柯西收敛原理
      • 当m，n>正整数N，|fₙ(x)-fm(x)|<ε
    • 定义法
      • 对所有ε>0，存在正整数N，当n>N，有|fₙ(x)-f(x)|<ε
• 函数列级数的一致收敛
  • 定义法：
    • 函数项级数的部分和函数列一致收敛
  • 定理四：柯西收敛原理
    • |Sₙ₊₀(x)-Sₙ(x)|<C<ε（C是与x无关的数，但且当n趋于无穷，C趋于零）
  • 定理五：比较判别法（魏尔斯特拉斯判别法）
    • ∑Mₙ为收敛的正项级数，如果对于∀x∈D，都有|Uₙ(x)|≤Mₙ，则Uₙ一致收敛
  • 定理六：狄利克雷判别法
    • 已知数集D上的函数项级数∑aₙ(x)和∑bₙ(x)，若满足下面三个条件，则∑aₙ(x)bₙ(x)一致收敛
    • 1. ∀x∈D，{aₙ(x)}为单调数列；
    • 2. {aₙ(x)}在D上一致收敛于0；
    • 3. ∀x∈D，∑bₙ(x)的部分和在D上一致有界，即∃M>0，使得 |∑bₙ(x)| ≦M，∀x∈D，∀n≧1。
  • 定理七：阿贝尔判别法
    • 已知数集D上的函数项级数∑aₙ(x)和∑bₙ(x)，若满足下面三个条件，则∑aₙ(x)bₙ(x)一致收敛
    • 1. ∀x∈D，{aₙ(x)}为单调数列；
    • 2. {aₙ(x)}在D上一致有界，即：∃M>0，使得|aₙ(x)|≦M，∀x∈D，∀n≧1；
    • 3. ∀x∈D，∑bₙ(x)在D上一致收敛。

13.2一致收敛函数列和函数项级数的性质

• 性质
  • 函数项级数
    • 定理1：
      • 函数列收敛于S(x，)，且函数列中所有函数在定义域连续，则函数列的极限函数S(x)也连续
    • 定理2
      • 函数列收敛于S(x)，，且极限函数S(x)在定义域上连续，则极限函数S(x)的积分等于函数列中所有积分的极限
    • 定理3
      • 函数列在定义域上某一个点收敛，且函数列中所有函数的一阶导数在定义域连续且在定义域内内闭一致收敛，则函数列在区间上收敛，其极限函数也在定义域上收敛
        • 当定义区间为闭区间时函数列在定义域上一致收敛
    • 定理2
      • 函数列收敛于S(x)，，且极限函数S(x)在定义域上连续，则极限函数S(x)的积分等于函数列中所有积分的极限
  • 一致收敛的函数项级数的性质
    • 定理4：
      • 若函数项级数在定义域上内闭一致收敛且函数项级数中所有函数都在定义域上连续，则该函数项级数的前n项和函数也是连续的
    • 定理5：
      • 函数项级数一致收敛，且所有函数在定义域上连续， 则前n项和可积
    • 定理6：
      • 函数项数列级数在任一点X₀处收敛，且级数中的所有函数在区间上导数都连续，且导数的函数项级数在区间上内闭一致收敛， 则函数项级数在定义区间上一致收敛，且多项式函数的级数求导等于多项式函数求导的和
• 定义
  • 内闭一致收敛
    • 函数列{fₙ(x)}
      • 在区间I（一般不是闭区间）内的所有闭区间里面，{fₙ(x)}在这些小闭区间内都一致收敛
    • 函数项级数∑uₙ(x)
      • 函数项级数∑uₙ(x)的部分和序列{Sₙ(x)}在区间I上一致内闭收敛

数学分析Ⅱ

• 数项级数
• 函数项级数
• 欧式空间上的函数与连续
• 多元函数微分学
• 重积分