8.4 实数

苏科版初中数学八年级上册第4章《实数》知识点梳理，包含：1.平方根（①平方根 ②开平方 ③算术平方根）；2.立方根（①立方根 ②开立方）；3.实数（①无理数 ②实数及其分类 ③实数与数轴上的点的对应关系 ④实数的运算 ⑤非负数的性质的应用 ⑥实数的大小比较）

实数

• 平方根
  • 平方根与开平方
    • 平方根
      • 如果x²=a（a≥0），那么x叫做a的平方根，也叫作二次方根
        • 实数a（a≥0）的平方根为
        • 在x²=a中，因为x²≥0，所以a≥0
        • 检验x是不是a的平方根，只需验证x²是不是等于a就可以了
        • 一个数的平方根平方后仍然等于这个数
    • 开平方
      • 求一个数平方根的运算叫做开平方
        • 求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根
        • 开平方时，被开方数a必须是非负数
        • 开平方是求一个非负数的平方根
        • 平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程
    • • 平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确
  • 算术平方根
    • 概念
      • 实数a（a＞0）的正的平方根叫做a的算术平方根，记作
    • 性质
      • 正数的算术平方根是一个正数
      • 0的平方根也叫做0的算术平方根
      • 负数没有算术平方根
      • 算术平方根具有双重非负性
        • 被开方数a是非负数，即a≥0
        • 是非负数
    • 0的算术平方根为0
      • 算术平方根等于本身的有0和1
  • 表示
    • a（a≥0）
      • 正的平方根记作
        • 读作“二次根号a”或“根号a”
        • • 2：根指数
            • 根指数2常省略不写，所以
            • 其他根指数不能省略
          • ：根号
          • a:被开方数
      • 负的平方根记作
        • 读作“负根号a”
      • 两个平方根记作
        • 读作“正负根号a”
  • 性质
    • 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数
    • 0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）
    • 负数没有平方根
  • 去根号
  • • 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位
• 立方根
  • 立方根与开立方
    • 立方根
      • 一般地，如果x³=a，那么x叫做a的立方根
      • 实数a的立方根为
        • 读作“三次根号a”
    • 开立方
      • 求一个数的立方根的运算叫做开立方
        • 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根
        • 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.
        • 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值
        • 开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号
  • 性质
    • 所有的数都有一个立方根，且与原数同号
      • 正数的立方根是正数
      • 负数的立方根是负数
      • 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数
      • 0的立方根是0
      • 立方根等于本身的有0和±1
  • 立方根的表示方法
    • 一个数的立方根，符号表示为
      • 读作“三次根号a”，
      • a是被开方数
      • 3是根指数
        • 不能省略，若省略表示平方
• 实数
  • 定义
    • 有理数和无理数统称为实数
  • 分类
    • （按定义分）实数
      • 有理数
        • 正有理数
        • 0
        • 负有理数
      • 无理数
        • 正无理数
        • 负无理数
    • （按正负分）实数
      • 正实数
        • 正有理数
        • 正无理数
      • 0
      • 负实数
        • 负有理数
        • 负无理数
  • 实数与数轴上的点一一对应
  • 实数的运算
    • 先乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，右括号的先算括号里面的
  • 非负数的性质的应用
    • 常见非负数形式
      • lal≥0
      • a²≥0
      • √a≥0
    • 性质
      • 若两个非负数的和为0，那么这两个数一定都为0
      • 非负数有最小值，0
      • 有限个非负数之和仍然为非负数
  • 实数的大小比较
    • 1.类别比较法
      • 正数＞0＞负数
      • 两个负数比较大小，绝对值大的反而小
    • 2.数轴比较法
      • 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的数大
    • 3.作差比较法
      • 对于任意实数a,b
        • 若a-b＞0→a＞b
        • 若a-b=0→a=b
        • 若a-b＜0→a＜b
    • 4.平方比较法
      • • a²＞b（b＞0）
          • 主要应用于二次根式的估值及含有根式的实数的大小比较
    • 5.作商比较法
      • 设a,b为正数
        • • 则a＞b
        • • 则a=b
        • • 则a＜b
• 近似数
  • 概念
    • 与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数
  • 精确度
    • 近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位就称这个数精确到哪一位，精确度是精确的程度
  • 平方根的估算
    • 夹逼法
      • 以较大整数为基础，开始逐步减0.1，并求其平方

实数

• 平方根
  • 定义
    • 如果x²=a（a≥0），那么x叫做a的平方根，也叫作二次方根
      • 实数a（a≥0）的平方根为
      • 在x²=a中，因为x²≥0，所以a≥0
      • 检验x是不是a的平方根，只需验证x²是不是等于a就可以了
      • 一个数的平方根平方后仍然等于这个数
  • 表示
    • a（a≥0）
      • 正的平方根记作
        • 读作“正根号a”
        • • 2：根指数
            • 根指数2常省略不写，所以
            • 其他根指数不能省略
          • ：根号
          • a:被开方数
      • 负的平方根记作
        • 读作“负根号a”
      • 两个平方根记作
        • 读作“正负根号a”
  • 性质
    • 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数
    • 0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）
    • 负数没有平方根
  • 去根号
  • 算术平方根
    • 概念
      • 实数a（a＞0）的正的平方根叫做a的算术平方根，记作
    • 性质
      • 正数的算术平方根是一个正数
      • 0的平方根也叫做0的算术平方根
      • 负数没有算术平方根
      • 算术平方根具有双重非负性
        • 被开方数a是非负数，即a≥0
        • 是非负数
    • 0的算术平方根为0
      • 算术平方根等于本身的有0和1
  • 开平方
    • 求一个数平方根的运算叫做开平方
      • 求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根
      • 开平方时，被开方数a必须是非负数
      • 开平方是求一个非负数的平方根
      • 平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程
      • 平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确

实数

• 立方根
  • 概念
    • 一般地，如果x³=a，那么x叫做a的立方根
    • 实数a的立方根为
      • 读作“三次根号a”
  • 性质
    • 所有的数都有一个立方根，且与原数同号
      • 正数的立方根是正数
      • 负数的立方根是负数
      • 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数
      • 0的立方根是0
      • 立方根等于本身的有0和±1
  • 立方根的表示方法
    • 一个数的立方根，符号表示为
      • 读作“三次根号a”，
      • a是被开方数
      • 3是根指数
        • 不能省略，若省略表示平方
  • 开立方
    • 求一个数的立方根的运算叫做开立方
      • 求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根
      • 开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.
      • 开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值
      • 开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号

实数

• 实数
  • 定义
    • 有理数和无理数统称为实数
  • 分类
    • （按定义分）实数
      • 有理数
        • 正有理数
        • 0
        • 负有理数
      • 无理数
        • 正无理数
        • 负无理数
    • （按正负分）实数
      • 正实数
        • 正有理数
        • 正无理数
      • 0
      • 负实数
        • 负有理数
        • 负无理数
  • 实数与数轴上的点一一对应
  • 实数的运算
    • 先乘方、开方，再算乘除，最后算加减，同级运算从左到右依次计算，右括号的先算括号里面的
  • 非负数的性质的应用
    • 常见非负数形式
      • lal≥0
      • a²≥0
      • √a≥0
    • 性质
      • 若几个非负数的和为0，那么这几个数一定都为0
      • 非负数有最小值，0
      • 有限个非负数之和仍然为非负数
  • 实数的大小比较
    • 1.类别比较法
      • 正数＞0＞负数
      • 两个负数比较大小，绝对值大的反而小
    • 2.数轴比较法
      • 数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的数大
    • 3.作差比较法
      • 对于任意实数a,b
        • 若a-b＞0→a＞b
        • 若a-b=0→a=b
        • 若a-b＜0→a＜b
    • 4.平方比较法
      • • a²＞b（b＞0）
          • 主要应用于二次根式的估值及含有根式的实数的大小比较
    • 5.作商比较法
      • 设a,b为正数
        • • 则a＞b
        • • 则a=b
        • • 则a＜b
• 近似数
  • 概念
    • 与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数
  • 精确度
    • 近似数与准确数的接近程度可以用精确度表示，一个近似数四舍五入到哪一位就称这个数精确到哪一位，精确度是精确的程度
  • 平方根的估算
    • 夹逼法
      • 以较大整数为基础，开始逐步减0.1，并求其平分