考研高数第一章函数极限知识总结

考研数学理论知识点不重要？才不是！梳理好知识点，才能更好的理解基础内容，解题思路更清晰！下图考研高数第一章相关内容，包括函数、极限与连续。快来好好过一遍知识点吧！

第一章

函数

定义

性质

分类

基本初等函数

幂指对--运算公式

三角函数--公式

反三角函数--图像

复合函数

求复合函数解析式：用内函数划分整体定义域

分段函数

绝对值函数

取整函数【x】

取最大最小函数 max, min｛f(x）, g(x）｝

符号函数

反函数

隐函数

极限

定义

数列极限

分完整区间：(3n、3n＋1、3n＋2）(2n、2n＋1)

函数极限

左右都存才叫存

极限为∞时：∞不是数，所以为极限不存在

性质

唯一性

已知极限存在，连续 求一点处函数值

定义：极限若存则唯一

保号性

判断极值问题

定义：极限值A>0，则在极限管辖范围内f(x)>0；f(x)>0则A≥0。

有界性

初等函数在开区间上有界无界问题

定义：极限若存在，则在极限管辖范围内函数或数列有界

判别准则

证明题

夹逼准则：可求极限

N项求和

分母相同

直接通分

分母不同

分母放缩，分子不变

单调有界原理

证明极限存在

求数列，递推关系。是地推数列证明极限存在的首选

单调有界数列必有极限

证明单调方法

①数列：(an＋1)-an或 (an＋1)/ an

②若(an+1)＝f(an),则f'(x)＞0则原数列an一定单调(并不能推出单增)，若f'(x)＜0则原数列an一定不单调

找界方法

初等函数：均值不等式，放缩 |a|-|b|≤| a+-b|≤|a|+|b|

草稿纸上先求极限值再用数学归纳法证明该数列有极限

例题：p19

运算法则

四则运算

和、差、积、商 都可从极限符号中拿出来，对应运算不变

复合运算

外函数连续

内函数极限存在或为∞

可交换函数符号“f”与极限符号“lim”的位置

七个不能确定的未定式

0/0

∞/∞

可直接洛必达

两个重要极限

1

x→0: sinx/x＝1

e

x→0：(1+x）^1/x＝e

□→0 即可

无穷小无穷大量

无穷小

定义

注：0是唯一一个为常数的无穷小量

lim f(x)＝0

与极限的关系

limα(x)＝0

lim f(x)＝A＋limα(x)

性质

有限个无穷小的和、积均为无穷小

有界量称无穷小仍是无穷小

无穷小的比较

收敛于0的速度

前提： lim f(x)＝0 ，lim g(x)＝0，lim【f(x)/ g(x)＝l】

①l＝0:则f(x)更高阶，记作f(x)＝o【g(x)】

②l≠0:则f(x)是与g(x)同阶的无穷小

注：k阶无穷小

③l＝1：互为等价无穷小，记作：f(x)～g(x)

常见等价无穷小

对数函数里面极限为1时，凑等价无穷小

x

1/2sin x^2

1/6 x^3

1/3 x^3

1/2 x^3

a^x -1∽x * lna

(1+x)^α -1 ∽ αx

注：等价无穷小替换需遵循“乘积可换，加减不可换”原则

加减运算最好用泰勒公式化简

o(x)

指比x^n收敛于0的速度快的函数

o(x^2)＋o(x^3)＝o(x^2)

x→0 : o(x) * o(x^2)＝ o(x^3)

无穷大

定义

注：无穷大一定无界，但无界不一定无穷大

| f(x)|无线增大 即+∞、-∞

无穷小与无穷大的关系

无穷大的倒数为无穷小

洛必达法则

验证条件

0/0类型，∞/∞类型 可用

可导

导完后极限存在

若导完之后不存也不为∞，则洛必达失效，另寻他法

数列不可直接用洛必达，需要转换函数用

可重复使用，用前用后化简先行

求极限方法

①能代则代：非0、非∞的乘积因子一定可直接用极限值代替

②及时约去“0”和∞

③“抓大头”--多项式/多项式

④分组：极限运算法则

分子超三项，分组先行

⑤变量替换

七个未定式

0/0

∞/∞

可直接洛必达

∞^0

0^0

可用“e抬起”

0*∞

转换：一般对数反三角函数不做分母

∞-∞

①有分母，则通分

通分成 ∞/∞、0/0

②倒代换：t＝1/ x

③提公因式：提交大的无穷大

1^∞

首选第二重要极限，拆底数，配指数

抽象函数：凑已知

连续

概念

在一点处连续

左连续、右连续

区间连续

间断点

定义

去心邻域有定义，该点不连续

分类

第一类

左右极限都存在

可去间断点

左极限＝右极限

跳跃间断点

左极限≠右极限

第二类

第一类以外其他

无穷间断点

震荡间断点

找间断点

无定义的点一定是间断点

分段函数的分界点可能是间断点

f(x)表达式已知

连续函数的结论

连续函数的复合、和、差积、商仍连续

闭区间上三个定理

最值定理

闭区间＋连续＝一定有最大值和最小值

推论：闭区间＋连续＝必在此区间上有界

介值定理

闭区间＋连续＝必存在M与m，则对于M和m之间任何实数a，该区间内必存在c使得f(c)＝a

零点定理

【a,b】上连续，若f(a)与f(b）异号，则（a,b）内至少存在一点c使得f（c）＝0

方程找根，函数找零点，首选零点定理