导图社区 高中数学函数基本知识概念梳理和考点分析方法归纳
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函数及其应用
函数及其表示
知识梳理
函数与映射的概念
函数与映射的关系
函数是特殊的映射，是数集到数集的映射
映射是函数概念的拓展，映射不一定是函数
映射与函数都是特殊的对应
函数的有关概念
定义域：x的取值范围A
值域：函数值的集合B
三要素：定义域 对应关系 值域
相等函数：定义域相同，对应关系完全一致
表示法：解析法 列表法 图像法
分段函数
函数在其定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系
分段函数的两个注意点
分段函数虽然由几个部分组成，但它表示同一个函数
分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段的并集
考点分析
考点一
函数的概念
判断两个函数是否相等的方法：只看定义域和对应关系，只要定义域相同，对应关系一致，就是相等函数
考点二
函数的定义域
考点三
求函数解析式的四种方法
待定系数法
配凑法
换元法
消去法
通法
考点四
分段函数及其应用
分段函数的求值问题
求分段函数的函数值，先判断自变量的取值属于哪一段区间，再代入相应的解析式求值
分段函数与方程、不等式的交汇问题。
求解与分段函数有关的方程，不等式的三种思路。
若自变量值确定，直接带入相应解析式求解
自变量值不确定，要根据分段函数的不同定义区间进行分类讨论。
若分段函数的图像比较容易画出，也可以画出函数图像后，进行图像求解。
函数的单调性与最值
增函数 减函数
单调性、单调区间
若函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间上具有单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间
函数的最值
函数的单调性(区间)
判断函数单调性的常用的四种方法
定义法：取值 作差 变形(因式分解、配方、有理化、通分) 定号 下结论
复合方法：同增异减，及内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数
图像法：如果f(x)是以图像形式给出的，或者f(x)的图像易做出，可由图像的直观性判断函数单调性
导数法：利用导函数的正负判断函数的单调性
函数的最值（值域）
求函数值域或最值的常用方法
先确定函数的单调性，再由单调性求值域或最值
图像法：先做出函数在给定区间上的图像，再观察其最高点，最低点，求出值域或最值
配方法：对于二次函数或可化为二次函数形式的函数，可用配方法求解
换元法：对比较复杂的函数，可通过换元转换为熟悉的函数，再用相应的方法求值域或最值
基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正，二定，三相等”的条件后，再用基本不等式求出值域或最值
导数法：先求导，然后求在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出值域或最值
函数单调性的应用
比较大小问题
比较函数值的大小，应先将自变量转化到同一个单调区间内，再利用函数的单调性解决
解不等式
求解含“f”的不等式，应先将不等式转化为f(m)<f(n)的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，应注意m，n应在定义域内取值
已知函数的单调性求参数值的问题
利用单调性求参数时，应根据问题的具体情况，确定函数的单调区间，列出与参数有关的不等式，或把参数分离出来求解
函数的奇偶性、对称性与周期性
函数的奇偶性
函数的周期性
周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x+i)=f(x)，那就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期
最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期
函数奇偶性的判断
函数周期性及应用
判定：判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题
应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能，在解决问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k ∈Z且看≠0）也是函数的周期
函数性质的综合应用
求函数值，解析式或参数值
求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解
求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出
求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x) ±f(-x)=0得到参数的恒等式，由系数的对等性得出方程(组)，进而得出参数的值。
奇偶性与单调性交汇命题
奇偶性的三个重要结论
如果一个奇函数f(x)在x=0处有定义，那么一定有f(0)=0
如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)=f(|x|)
奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性
指数与指数函数
根式的概念及性质
分数指数幂
指数函数的定义、图像与性质
指数函数的图像和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究
指数幂的化简与求值
指数幂运算的一般原则
有括号先算括号里面的，无括号的先做指数运算
先乘除后加减，负指数幂华为正指数幂的倒数
底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化为分数；底数是带分数的，先化成假分数
若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答。
运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一
指数函数的图像及应用
指数函数图像的画法(判断)及应用方法
指数函数的图像与底数大小的比较
指数函数的性质及应用
比较大小
指数式比较大小的策略
指数式的大小比较，依据的就是指数函数的单调性
原则上换为同底的指数是你要注意底数的范围是(0,1)还是(1,+∞）
若不能化为同底，则可化为同指数，或利用中间变量比较
解指数方程或不等式
(3)有些含参指数不等式，需要分离变量，转化为求有关函数的最值问题
指数函数性质的综合应用
指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应注意结合指数函数的性质进行解决
求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断。
对数与对数函数
对数的概念
对数的性质、换底公式与运算性质
对数函数的定义，图像与性质
对数函数的图像与底数大小的比较 如图，这直线y=1 ，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b.由此我们可以得到以下规律：在第一象限内从左往右底数逐渐增大
对数式的化简与求值
对数运算的一般思路
将真数化为底数的指数幂的形式进行化简
将同底对数的和、差、倍合并
利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式
对数函数图像识别及应用方法
在识别函数图像时，要善于利用已知函数的性质、函数图像上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)
一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解
对数函数的性质及其应用
比较对数式的大小的方法
能化成同底数的先化成同地对树枝，再利用单调性比较大小
不能化成同底数的，一般引入“1”“0”“-1”等中间量比较大小
在研究对数型函数的单调性时，当底数a与“1”的大小关系不确定时，要进行分类讨论
与对数函数有关的不等式问题
解决与对数函数相关的不等式问题的策略
要优先考虑利用对数函数的单调性来求解
在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数单调性的影响及其真数必须为正的限制条件
对数函数性质的综合应用
对数函数单调性的判断
求单调区间必须先求定义域。
根据对数的底数a进行判断，0<a<1时为减函数，a>1时为增函数
对数型函数的单调性，根据复合函数“同增异减”进行判断
幂函数与二次函数
幂函数的图像性质
常见的5种幂函数的图像
性质
幂函数的图像一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内
幂函数到(0，+∞)上都有定义
当a>0时，幂函数的图像都过(1,1)和(0,0),且在(0,+∞）上单调递增
当a<0时，幂函数的图像都过(1,1）,且在(0,+∞）上单调递减
二次函数的图像与性质
在二次函数中，a决定了图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小
幂函数的图像与性质
幂函数图像的特点
掌握幂函数图像，只要抓住在第一象限的三条线分第一象限为六个区域，及x=1，y=1 ， x=y分的区域，根据a<0，0<a<1,a>1,a=1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定。
比较幂值大小的方法
在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较
二次函数的图像与解析式
识别二次函数图像应学会“三看”
一看符号：看二次项系数的符号，确定它二次函数图像的开口方向。
二看对称轴：看对称轴和最值，它确定了二次函数图像的具体位置
三看特殊点：看函数图像上的一些特殊点，如函数图像与y轴的交点、与X轴的焦点、函数图像的最高点或最低点等
用待定系数法求二次函数解析式
二次函数解析式的三种形式
二次函数的性质及其应用
二次函数单调性问题的求解策略
对于二次函数的单调性，关键是开口方向与对称轴的位置，若开口方向或对称轴的位置不确定，则需要分类讨论求解。
利用二次函数的单调性比较大小，一定要将带比较的两处通过二次函数的对称性转化到同一单调区间上比较。
求二次函数在闭区间上最值的三种类型及策略
类型：轴定区间定，轴动区间定，轴定区间动
策略：不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含参数时要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论
函数的图像
利用描点法做函数图像的步骤
确定函数的定义域。
化简函数的解析式
讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)。
描点连线
利用图像变换法做函数的图像
函数图像的识别与辨析
辨析函数图像的入手点
从函数的定义域，判断函数图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置。
从函数的单调性，判断图像的变化趋势
从函数的奇偶性，判断图像的对称性
从函数的周期性，判断图像的循环往复
从函数的特征点，排除不合要求的图像
做函数的图像
函数图像常用画法
直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出函数的关键点，进而直接作出图像。
转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图像
图像变换法：若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移，伸缩，翻折，对称得到，则可利用函数图像变换作出
基本初等函数图像
一次函数
性质：一次函数图像是直线，当k>0时，函数单调递增；当k<0时，函数单调递减
二次函数
性质：二次函数图像是抛物线，a决定函数图像的开口方向，判别式b^2-4ac决定了函数图像与x轴的交点，对称轴两边函数的单调性不同。
反比例函数
性质：反比例函数图像是双曲线，当k>0时，图像经过一、三象限；当k<0时，图像经过二、四象限。要注意表述函数单调性时，不能说在定义域上单调，而应该说在（-∞，0），（0，∞）上单调。
指数函数
不同底的指数函数图像在同一个坐标系中时，一般可以做直线x=1，与各函数的交点，根据交点纵坐标的大小，即可比较底数的大小。
对数函数
对数函数y=logax 的定义域是{x 丨x>0}，但如果遇到对数型复合函数的定义域的求解，除了要注意大于0以外，还应注意底数大于0且不等于1
幂函数
先看第一象限，即x>0时，当a>1时，函数越增越快；当0<a<1时，函数越增越慢；当a<0时，函数单调递减；然后当x<0时，根据函数的定义域与奇偶性判断函数图像即可。
对勾函数
三角函数(sin,cos,tan)
函数与方程
函数的零点
函数的零点是数，而不是点，是方程f(x)=0的实根，零点一定在定义域内
函数零点与方程根的关系
零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像是连续不断的一条曲线,并且有f(a)•f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间[a,b]内有零点，即存在x。 ∈(a,b),使得f(x。）=0
二次函数的图像与零点的关系（a>0)
函数零点及其所在区间的判断
判断函数零点所在区间的方法
解方程法，当对应方程易解时，可直接解方程
利用零点存在性定理求解
数形结合法，画出相应函数图像，观察与x轴交点来判断，或转化为两个函数的图像在所给区间上是否有交点来判断。
确定函数的零点个数
函数零点个数的判断方法
直接求零点。
利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数。
利用函数图像的交点个数判断。
已知函数有零点求参数只获取吃饭，为常用的方法和思路
直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围
分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决
数形结合法：先对解析式进行变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，然后数形结合求解
