第二十七章 相似

人教版初中数学九年级下册第二十七章《相似》知识点梳理，包含：1.图形的相似（①相似图形②比例线段③比例中项④比例的性质⑤相似多边形及其有关性质）2.相似三角形（①定义②平行线分线段成比例③相似三角形的判定定理④相似三角形的应用举例⑤判定三角形相似的思路⑥相似三角形的性质）3.位似（①位似图形②位似变换的坐标③位似图形的性质④位似图形的画法）

第二十七章 相似

• 27.1 图形的相似
  • 相似图形
    • 在数学上，我们把形状相同的图形叫做相似图形
    • • 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形
      • “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等
  • 比例线段
    • 线段的比
      • 两条线段长度的比叫做这两条线段的比
      • • 在求线段的比时，两条线段的长度必须用同一长度单位表示
    • 成比例线段
      • 在四条线段中（线段a,b,c,d），如果两条线段的比等于另两条线段的比，那么这四条线段叫做比例线段
      • • 成比例线段是有顺序的，如a,b,c,d是成比例线段，则a:b=c:d,不能写成其他形式
  • 比例中项
    • 在比例式a:b=b:c中，b叫做a和c的比例中项
  • 比例的性质
    • 基本性质
      • 如果a:b=c:d，那么ad=bc；反过来，如果ad=bc（b≠0，d≠0），那么a:b=c:d
    • 合比性质
      • ，
    • 等比性质
      • （b+d+...+n≠0），则
  • 相似多边形
    • 定义
      • 如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形
    • 相似比
      • 相似多边形的对应边的比叫做相似比
    • 性质
      • 相似多边形的对应角相等，对应边成比例
• 27.2 相似三角形
  • 定义
    • 各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形
    • 在△ABC和△DEF中，如果∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，,那么△ABC与△DEF相似，记作△ABC∽△DEF
    • • “∽”读作“相似于”
      • 表示对应顶点的字母要写在对应的位置上
      • 相似比
        • 注意顺序和对应的问题
        • △ABC与△DEF相似比为k
        • △DEF与△ABC的相似比为
  • 平行线分线段成比例
    • 基本事实
      • 两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例
      • 
    • 推论
      • 平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例
      • 
  • 相似三角形的判定定理
    • ①平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似
    • ②如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似
    • ③如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似
    • ④如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似
  • 相似三角形应用举例
    • 测量高度
      • 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决
      • 方法
        • 平面镜测量法
          • 
        • 影子测量法
          • 
        • 手臂测量法
          • 
        • 标杆测量法
          • 
    • 测量距离
      • 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解
  • 判定三角形相似的思路
    • 有平行截线
      • 用判定定理1
    • 有一对等角
      • 找
        • 另一对等角
        • 角的两边对应成比例
    • 有两边对应成比例
      • 找
        • 夹角相等
        • 第三边也成比例
        • 有一对直角
    • 直角三角形
      • 找
        • 一对锐角相等
        • 两组直角边的比相等
        • 斜边与直角边成比例
    • 等腰三角形
      • 找
        • 顶角相等
        • 一对底角相等
        • 底和一腰的比相等
  • 相似三角形的性质
    • ①相似三角形的周长比等于相似比
    • ②相似三角形面积的比等于相似比的平方
    • ③相似三角形对应线段的比等于相似比
    • ④相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
• 27.3 位似
  • 位似图形
    • 两个多边形不仅相似，而且对应顶点所在的直线相交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时，我们说这两个图形关于这点位似
    • 必须同时具备三个条件
      • 两个图形相似
      • 对应顶点的连线相交于一点
      • 对应边互相平行（或在同一条直线）
  • 位似变换的坐标
    • 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，新图形与原图形的相似比为k
      • 那么与原图形上的点（x,y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx,ky）或（-kx,-ky）
  • 位似图形的性质
    • 位似图形是相似图形，而相似图形不一定是位似图形
    • 位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上
    • 位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上
    • 位似图形上任意一对对应点，到位似中心的距离之比等于位似比
    • 位似图形中不经过位似中心的对应线段平行
  • 位似图形的画法
    • 确定位似中心
      • 在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心
    • 作位似中心与各关键点连线
    • 根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点
    • 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形