一元二次方程

苏科版初中数学九年级上册第1章《一元二次方程》知识点梳理，包含：1.一元二次方程 2.一元二次方程的解法（①一元二次方程的根、②直接开平方法、③配方法、④公式法、⑤一元二次方程根的判别式、⑥因式分解法） 3.一元二次方程根与系数的关系 4.用一元二次方程解决问题等

一元二次方程

• 一元二次方程
  • 定义
    • 通过化简后，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作二元一次方程
    • • 整式方程
      • 含有一个未知数
      • 未知数的最高次数是2
      • 缺一不可
  • 一般形式
    • ax²+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0）
      • 二次项系数
        • a
      • 一次项系数
        • b
      • 常数项
        • c
    • • 有当a≠0时，方程ax²+bx+c=0才是一元二次方程
      • 在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号
  • 一元二次方程的根
    • 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根
    • 利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程再解关于待定系数的方程
• 解法
  • 解方程思路
    • 降次：把一元二次方程→一元一次方程
  • 直接开平方法
    • 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法
    • 形如（x+h）²=k的一元二次方程→x=±√k-h
    • • 应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式
  • 配方法
    • 定义
      • 把一个一元二次方程变形为（x+h）²=k的形式，当k≥0时，直接开平方。这种解一元二次方程的方法叫做配方法
    • 理论依据
      • a²±2ab+b²=（a±b）²
    • 步骤
      • ①移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项
      • ②化二次项系数为1
      • ③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平分，原方程变为（x+m）²=p的形式
      • ④直接开平方：如果右边是非负数，直接开平方
  • 公式法
    • 定义
      • 一元二次方程的求根公式:一般地，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0），当∆=b²-4ac≥0时，它的实数根是
    • 步骤
      • ①将一元二次方程整理成一般形式
      • ②确定公式中a，b，c的值
      • ③求出b²-4ac的值
      • ④求解
        • 当b²-4ac≥0时，将a，b，c的值代入求根公式即可
        • 当b²-4ac＜0时，方程无实数根
  • 根的判别式
    • 定义
      • 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的情况可由∆=b²-4ac来判定，因此∆=b²-4ac叫作一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式
    • 判别
      • 当∆=b²-4ac＞0时，有两个不相等的实数根
      • 当∆=b²-4ac=0时，有两个相等的实数根
      • 当∆=b²-4ac＜0时，没有实数根
    • 根的判别式的应用
  • 因式分解法
    • 定义
      • 如果一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么解这样的一元二次方程就可以转化为解两个一元一次方程，这种方法叫做因式分解法
      • 设A，B都是整式，若A*B=0，则A=0或B=0
    • 步骤
      • ①移项：将方程的右边化为0
      • ②化积：将方程的左边分解为两个一次式的乘积
      • ③转化：令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程
      • ④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解
• 根与系数的关系
  • 当b²-4ac≥0时，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且满足
  • 使用条件
    • a≠0，∆≥0
  • • 相关公式及变形
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    • 根的正负性
      • 当△≥0且时，两根同号
        • 当△≥0且， 时，两根同为正数
        • 当△≥0且， 时，两根同为负数
      • 当△＞0且时，两根异号
        • 当△＞0且， 时，两根异号且正根的绝对值较大
        • 当△＞0且， 时，两根异号且负根的绝对值较大
• 用一元二次方程解决问题
  • 步骤
    • 审
      • 审题目，分清已知量、未知量、等量关系等
    • 设
      • 设未知数，有时会用未知数表示相关的量
    • 列
      • 根据题目中的等量关系，列出方程
    • 解
      • 解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰
    • 验
      • 检验方程的解能否保证实际问题有意义
    • 答
      • 写出答案，切忌答非所问
  • 根要符合实际情况

一元二次方程

• 一元二次方程
  • 定义
    • 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫作二元一次方程
  • 一般形式
    • ax²+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0）
      • 有关概念
        • 二次项系数
        • 一次项系数
        • 常数项
  • 一元二次方程的根
    • 使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根
    • 利用方程的根求待定系数时，只需将方程的根代入原方程再解关于待定系数的方程
• 根与系数的关系
  • 当b²-4ac≥0时，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）有两个实数根X1,X2,且满足
• 用一元二次方程解决问题
  • 步骤
    • 审、设、列、解、验、答
  • 根要符合实际情况

一元二次方程

• 解法
  • 解方程思路
    • 降次：把一元二次方程→一元一次方程
  • 直接开平方法
    • 形如（x+h）²=k的一元二次方程→x=±√k-h
  • 配方法
    • 定义
      • 把一个一元二次方程变形为（x+h）²=k的形式，当k≥0时，直接开平方。这种解一元二次方程的方法叫做配方法
    • 步骤
      • ①移项：使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项
      • ②化二次项系数为1
      • ③配方：方程两边都加上一次项系数一半的平分，原方程变为（x+m）²=p的形式
      • ④直接开平方：如果右边是非负数，直接开平方
  • 公式法
    • 定义
      • 一元二次方程的求根公式:一般地，对于一元二次方程ax²+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0），当b²-4ac≥0时，它的实数根是
    • 步骤
      • ①将一元二次方程整理成一般形式
      • ②确定公式中a，b，c的值
      • ③求出b²-4ac的值
      • ④当b²-4ac≥0时，将a，b，c的值代入求根公式即可。当b²-4ac＜0时，方程无实数根
  • 根的判别式
    • 定义
      • 一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）根的情况可由b²-4ac来判定，因此b²-4ac叫作一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式
    • 判别
      • 当b²-4ac＞0时，有两个不相等的实数根
      • 当b²-4ac=0时，有两个相等的实数根
      • 当b²-4ac＜0时，没有实数根
    • 根的判别式的应用
  • 因式分解法
    • 定义
      • 如果一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积，那么解这样的一元二次方程就可以转化为解两个一元一次方程，这种方法叫做因式分解法
      • 设A，B都是整式，若A*B=0，则A=0或B=0
    • 步骤
      • ①移项：将方程的右边化为0
      • ②化积：将方程的左边分解为两个一次式的乘积
      • ③转化：令每一个因式分别为0，得到两个一元一次方程
      • ④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解