初中数学-函数的连续性

这是一篇关于函数的连续性的思维导图，包含连续性的概念、 连续函数的性质、 反函数的连续性、 初等函数的连续性等。

函数的连续性

• 连续性的概念
  • 函数在一点的连续性（有两个定义）
  • 间断点及其分类（若此函数不好判断，可以采取画图的方式）
    • 第一类间断点（左右极限都存在）
      • 可去间断点（左右极限都存在且相等，函数在此点无定义或者极限值不等于函数值）
      • 跳跃间断点（左右极限都存在但是不相等）
    • 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在）
  • 区间上的连续函数（重点是黎曼函数的证明）黎曼函数在0到1的闭区间上，在所有无理点都连续，在所有有理点都不连续
• 连续函数的性质
  • 连续函数的局部性质（局部有界性，局部保号性），函数的四则运算法则，复合函数的连续性
  • 闭区间上连续函数的性质
    • 有界性
    • 最值性
    • 介值性（零点定理，在利用的时候一定要注意证明此函数在闭区间上连续）
    • 一致连续性
  • 一致连续性（用定义证明一致连续性）
• 反函数的连续性
  • 若此函数在【a,b】上严格单调并连续，则其反函数在其值域上也连续
• 初等函数的连续性
  • 所有初等函数在其定义域上都连续