9.2 对称图形—圆知识总结

圆

圆中相关概念及性质定理

圆的相关概念

定义

动态

如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆

固定的端点O叫做圆心

线段OA叫作半径

以点O为圆心的圆，记作“☉O”，读作“圆O”

圆心确定圆的位置

半径确定圆的大小

确定一个圆应先确定圆心，再确定半径

圆是一条封闭曲线

静态

☉O可以看成是到定点O的距离等于定长OA的所有点组成的图形

圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合

圆指的是圆周，而不是圆面

强调“在一个平面内”是非常必要的，事实上，在空间中，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，一个闭合的曲面

弦和直径

连接圆上任意两点的线段叫作弦

直径

经过圆心的弦叫作直径

最长弦、最短弦

最长弦

过圆内一点的最长弦为过此点的直径

最短弦

为过此点且与这条直径垂直的弦

弦心距

圆心到弦的距离叫做弦心距

相交弦定理

经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等

几何语言

若圆内任意弦AB、弦CD交于点P 则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

直径是弦，但弦不一定是直径

弧

圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示。

以Ａ，Ｂ为端点的弧记作，读作“圆弧ＡＢ”或弧ＡＢ。

半圆、优弧、劣弧

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆

大于半圆的弧叫作优弧，一般用三个点表示

小于半圆的弧叫作劣弧，用两个点表示

等弧

在同圆或等圆中能够互相重合的弧叫作等弧

等弧只有在同圆或等圆中才会出现

度数或者长度相等的弧不一定是等弧

半圆是弧，而弧不一定是半圆

无特殊说明时，弧指的是劣弧

等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视

圆中两平行弦所夹的弧相等

同心圆与等圆

同心圆

圆心相同，半径不相等的两个圆叫作同心圆

等圆

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆

同心圆、等圆是指两个及两个以上的圆

同圆

是指同一个圆

同圆或者等圆的半径相同

圆心角

顶点在圆心的角叫作圆心角

无特殊说明，平时在圆中所说的圆心角都是指不大于平角的角

性质及定理

性质

旋转不变性

圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合

对称性

轴对称

任何一条直径所在直线都是它的对称轴

中心对称

圆是中心对称图形，对称中心是圆心

圆有无数条对称轴

因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”

垂径定理

垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧

推论

①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

④圆的两条平行弦所夹的弧相等

二推三

过圆心

垂直于弦

平分弦（不是直径）

平分弦所对的优弧

平分弦所对的劣弧

知道任意两个，就能推出其他三个结论

弦、弧、圆心角、弦心距关系定理

圆心角

定义

顶点在圆心的角叫做圆心角

∠AOB

定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，弦心距相等

推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等

一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征

注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提

圆周角定理

定义

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角

∠AEB、∠ADB、∠ACB等

圆周角定理

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于它所对的圆心角的一半

推论

同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等

圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半

圆周角与直径的关系

半圆或直径所对的圆周角是直角

90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆

圆周角必须满足两个条件

①顶点在圆上

②角的两边都和圆相交

圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中

圆内接四边形

定义

顶点都在圆上的四边形，叫圆内接四边形

性质

圆内接四边形的对角互补

外角等于内对角（即它的一个外角等于它相邻内角的对角

对角互补的四边形内接于圆

与圆有关的位置关系

点和圆的位置关系

设☉O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有

点P在☉O内

d＜r

点P在☉O上

d=r

点Ｐ在☉O外

ｄ＞ｒ

点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上

确定圆的条件

经过一个已知点能作无数个圆

经过两个已知点A、B能作无数个圆

这些圆的圆心在线段AB的垂直平分线上

不在同一条直线上的三点确定一个圆

“确定”的含义是“存在性和唯一性”

三角形的外接圆

经三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形

外接圆的圆心叫作三角形的外心

它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等

三角形三边的垂直平分线的交点是唯一的，因此三角形的外接圆有且只有一个，即三角形的外心唯一。但一个圆的内接三角形却有无数个

注意

锐角三角形的外心在三角形的内部

直角三角形的外心是三角形斜边的中点

钝角三角形的外心在三角形的外部

直线与圆的位置关系

位置关系

1.相交

直线与圆有两个公共点时，叫作直线与圆相交。这时直线叫做圆的割线

d＜r

2.相切

直线与圆有唯一公共点时，叫作直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个公共点叫作切点

d=r

3.相离

直线与圆没有公共点时，叫作直线与圆相离

d＞r

判定和性质

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么

这三个命题从左边到右边反映了直线与圆的位置关系所具有的性质

从右边到左边则是直线与圆的位置关系的判定

圆的切线

切线的性质定理

圆的切线垂直于过切点的半径

切线和圆只有一个公共点

切线和圆心的距离等于圆的半径

切线垂直于过切点的半径

经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；

垂直于切线且过切点的直线必过圆心

切线的判定方法

定义法

和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线

距离法

圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线

判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

①直线与圆有一个交点

②直线与过交点的半径垂直

缺一不可

切线长

定义

在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长

切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段

定理

过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角

切线长定理包含两个结论

线段相等

角相等

圆外切四边形的两组对边之和相等

三角形的内切圆

内切圆

与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆

内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心

任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形

如果三角形三边长为a,b,c，内切圆半径为r，则三角形的面积为

直角三角形中内切圆半径与三边之间的关系

已知：如图，在 Rt △ABC 中， ∠C = 90° ，a , b , c , 分别为 ∠A , ∠B , ∠C 所对应的边，⊙O 为 Rt △ABC 的内切圆，半径为 r。

2r=a+b-c

圆中相关计算

正多边形与圆

有关概念

正多边形

各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形

圆内接正多边形

一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等份，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆

圆外切正多边形

把圆分成n（n≥3）等份，经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n边形，是这个圆的外切正n边形

正多边形的中心

正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心

正多边形的半径

正多边形外接圆的半径叫作正多边形的半径。

正多边形的边心距

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距

中心角

正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫作正多边形的中心角

正多边形的有关计算

设正多边形的边数为n，半径为R，边长为a，则有

①正n边形的内角和（n-2）×180°

②正多边形的内角：

③正多边形的中心角：

④正n边形的外角：

⑤正多边形的周长：C=n*a

正多边形的性质

对称性

轴对称

正多边形都是轴对称图形

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心

中心对称

边数为偶数的正多边形也是中心对称图形

它的对称中心是正多边形的中心

正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形

正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形

任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆

各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形

各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形

正多边形的画法

用量角器等分圆

由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆

根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形

用尺规等分圆

对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图

①正四、八边形

在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形。再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形

②正六、三、十二边形的作法

通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点

显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点

同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分……。

画正n边形的方法

①将一个圆n等分

②顺次连结各等分点

弧长及扇形的面积

弧长

在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长

扇形

一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形

半圆和直径的组合也是扇形

弧长公式

在半径为R的圆中，弧长l与所对的圆心角度数n之间有这样的关系：

要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的

公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位

扇形面积公式

扇形的定义

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形

扇形的面积

圆锥的侧面积

有关概念

经过圆锥顶点和底面圆心的直线称为圆锥的轴

圆锥底面圆上的任意一点与圆锥顶点的连线叫作圆锥的母线

连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高

圆锥的轴截面是等腰三角形

侧面展开图及有关计算

沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形

设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr

圆锥的侧面积

圆锥的全面积

圆

圆中相关概念及性质定理

圆的相关概念

定义

1.在平面内把线段OA绕着端点O旋转一周，端点A运动所形成的图形叫作圆

以点O为圆心的圆，记作“☉O”，读作“圆O”

点O叫作圆心

线段OA叫作半径

2.确定一个圆需要两个条件

1.圆心

2.半径

3.☉O可以看成是到定点O的距离等于定长OA的所有点组成的图形。

圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合

弦和直径

连接圆上任意两点的线段叫作弦

直径

经过圆心的弦叫作直径

最长弦、最短弦

最长弦

过圆内一点的最长弦为过此点的直径

最短弦

为过此点且与这条直径垂直的弦

拓展

相交弦定理

经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两线段的积相等

几何语言

若圆内任意弦AB、弦CD交于点P 则PA·PB=PC·PD（相交弦定理）

弧

圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示。

以Ａ，Ｂ为端点的弧记作⌒（AB），读作“圆弧ＡＢ”或弧ＡＢ。

半圆、优弧、劣弧

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆

大于半圆的弧叫作优弧，一般用三个点表示

小于半圆的弧叫作劣弧，用两个点表示

等弧

在同圆或等圆中能够互相重合的弧叫作等弧

等弧只有在同圆或等圆中才会出现

度数或者长度相等的弧不一定是等弧

同心圆、等圆

同心圆

圆心相同，半径不相等的两个圆叫作同心圆

等圆

圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆

同心圆、等圆是指两个及两个以上的圆

同圆

是指同一个圆

同圆或者等圆的半径相同

圆心角

顶点在圆心的角叫作圆心角

无特殊说明，平时在圆中所说的圆心角都是指不大于平角的角

圆

圆中相关概念及性质定理

性质及定理

对称性

圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。此外，圆具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后，都能与它自身重合

垂径定理

垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧

推论

1.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

2.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

3.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

4.圆的两条平行弦所夹的弧相等

圆心角定理

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，弦心距相等

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等

圆周角定理

定义

顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫作圆周角

圆周角定理

同弧或等弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心角的一半

推论

同弧或等弧所对的圆周角相等，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等

圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半

圆周角与直径的关系

半圆或直径所对的圆周角是直角

90°的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆

圆内接四边形

圆内接四边形的对角互补

反之，对角互补的四边形内接于圆

圆

与圆有关的位置关系

点和圆的位置关系

设☉O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有

点P在☉O内

d＜r

点P在☉O上

d=r

点Ｐ在☉O外

ｄ＞ｒ

确定圆的条件

不在同一条直线上的三点确定一个圆

三角形的外接圆

经三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，这个三角形叫作圆的内接三角形。

外接圆的圆心叫作三角形的外心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等

三角形三边的垂直平分线的交点是唯一的，因此三角形的外接圆有且只有一个，即三角形的外心唯一。但一个圆的内接三角形却有无数个

注意

锐角三角形的外心在三角形的内部

直角三角形的外心是三角形斜边的中点

钝角三角形的外心在三角形的外部

直线与圆的位置关系

位置关系

1.相交

直线与圆有两个公共点时，叫作直线与圆相交

d＜r

2.相切

直线与圆有唯一公共点时，叫作直线与圆相切，这条直线叫作圆的切线，这个公共点叫作切点

d=r

3.相离

直线与圆没有公共点时，叫作直线与圆相离

d＞r

圆的切线

切线的判定方法

定义法

和圆有且只有一个公共点的直线是圆的切线

数量法

圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线

判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

切线的性质定理

圆的切线垂直于过切点的半径

推论

经过圆心且垂直于切线的直线一定过切点；

垂直于切线且过切点的直线必过圆心

三角形的内切圆

有关概念

内切圆

与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆

内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫作三角形的内心

如果三角形三边长为a,b,c，内切圆半径为r，则三角形的面积为

切线长

定义

在经过圆外一点的圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫作这点到圆的切线长

定理

过圆外一点所画的圆的两条切线长相等

圆

圆中相关计算

正多边形与圆

有关概念

正多边形

各边相等、各角也相等的多边形叫作正多边形

正多边形与圆的关系

圆内接正多边形

一般地，用量角器把一个圆n（n≥3）等份，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。

圆外切正多边形

把圆分成n（n≥3）等份，经过各分点做圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的n边形式这个圆的外切正n边形

正多边形的中心

正多边形的外接圆的圆心叫作正多边形的中心

正多边形的半径

正多边形外接圆的半径叫作正多边形的半径。

正多边形的边心距

正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距

中心角

正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫作正多边形的中心角

正多边形的画法

正n边形的画法思想是将圆n等分，然后顺次连接等分点即得到所要作的正多边形。如作正六边形，可以先画一个半径与已知边长相等的圆，然后在圆上面截取得到等分点，顺次连接各等分点。即得到所要作的正六边形

正多边形的对称性

轴对称

正多边形都是轴对称图形

一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心

中心对称

边数为偶数的正多边形是中心对称图形

它的对称中心是正多边形的中心

正多边形的有关计算

设正多边形的边数为n，半径为R，边长为a，则有

1.正n边形的内角和（n-2）×180°

2.正多边形的内角：

3.正多边形的中心角：

4.正n边形的外角：

5.正多边形的周长：C=n*a

圆

弧长及扇形的面积

弧长

在圆上过两点的一段弧的长度叫做弧长

扇形

一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形

半圆和直径的组合也是扇形

弧长公式

在半径为R的圆中，弧长l与所对的圆心角度数n之间有这样的关系：

当R为常数时，l是n的正比例函数；当n为常数时，l是R的正比例函数

扇形面积公式

扇形的定义

由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫作扇形

扇形的面积

圆锥的侧面积

有关概念

经过圆锥顶点和底面圆心的直线称为圆锥的轴

圆锥底面圆上的任意一点与圆锥顶点的连线叫作圆锥的母线

连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的高

圆锥的轴截面是等腰三角形

侧面展开图及有关计算

沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形

设圆锥的母线长为l，底面圆半径为r，那么这个扇形的半径为l，扇形的弧长为2πr

圆锥的侧面积

圆锥的全面积

9.2 对称图形—圆 知识总结

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