曲线曲面积分

这是一篇关于曲线曲面积分的思维导图，概括了相关的知识点、计算方法和公式，逻辑严密，非常值得学习。

曲线，曲面积分

• 第一类
  • 曲线积分（对弧长）
    • 计算方法：把其化为以参变量为积分变量的一元函数积分
      • • 一投：把曲线投影到xoy平面
        • 二代：形参表示
        • 三换
          • 换积分变量
            • ds=
          • 换限
    • 遇到x^2+y^2之类的，考虑极坐标
    • 善于利用对称性
      • 关于y对称，x偶倍奇零
      • 关于x对称，y偶倍奇零
  • 曲面积分（对面积）
    • 计算方法（与曲线类似，不过多一元）
      • 一投
      • 二代
      • 三换
• 第二类
  • 曲线积分（对坐标）
    • 计算方法
      • 三步替换
        • 换参：把x，y换为
        • 换限：将积分区域替换为定积分的积分限，从起点指向终点
        • 换积分变量
      • 利用格林公式，变为二重积分
    • 注意
      • 转化为定积分后，积分下限是参变量起点坐标，上限是终点坐标，上下限大小不一定，与第一类曲线积分不同。
      • dx,dy也要转换为统一参变量微元
    • 两类曲线积分的区别
      • 最明显在于积分变量，即“d后面”，ds为第一类曲线积分；dx,dy为第二类。
  • 曲面积分（对坐标）
    • • 一投：Σ投影到x-o-y平面，区域变为投影区域
      • 二代：把z化为z(x,y),变成二重积分，
      • 三符号：第二类曲面积分是有方向的，外法线沿x,y,z正方向为正。
    • 利用高斯公式变为三重积分
• 三重积分
• 二重积分
• 第二类曲面积分
• 斯托克斯公式
• 高斯公式
  • 1.Σ得是封闭曲面，若是不封闭，得作辅助面，使其封闭
  • 2.注意符号，外正内负
  • 3.P(xy,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在定义域内有一阶连续偏导数
• 格林公式
  • 1. 注意积分区域正方向，区域沿曲线于左侧，否则结果得加负号。
  • 2. 曲线必须闭合，若不封闭，添加相应的曲线使其封闭再计算。
  • 3. 中间有洞，则要把依减掉
  • 4. 有无意义的点，给依一个洞，然后一起算，无意义的点不能用Green哦
  • 5. P（x,y),Q(x,y)都得具有一阶连续的偏导数，否则，得扣去间断点再计算
• 第二类曲线积分
• 化为二重积分