数学必修四思维导图

高中人教版数学必修四读书笔记分享！下面的这一份导图内容涵盖平面向量和三角函数两大类，对平面向量的概念、线性运算、数量积、三角恒等变换等知识要点都做了详细的归纳总结，值得收藏学习！

必修四

• 三角函数
  • 角
    • 扩大范围
      • 任意角
        • 正角（旋转结果）
          • 旋转方向 逆时针
            • 旋转量 正数
        • 负角（同上）
          • 旋转方向 顺时针
            • 旋转量 负数
        • 零角（同上）
          • 旋转方向 无
            • 旋转量 0º
    • 坐标系中方便研究
      • 象限角
        • 始边始不变,终边定象限
        • 终边在轴上,不属任何象限
    • 同终边角集合
      • S＝{β | β＝α＋k·360º,k∈Z}
    • 单位制
      • 角度制
        • º
      • 弧度制
        • 弧度数公式
          • lαl＝l/r 正负旋转方向决定
        • 与角度制换算
          • 180º＝π rad
            • 弧换角
          • 1º＝π/180 rad
            • 角换弧
        • 扇形公式转化
          • l＝αr
          • S＝1/2αR²＝1/2lR
        • 意义
          • 角与实数一一对应
  • 诱导公式
    • 算任意角三函
      • 定点旋转
        • 公式一
          • 终边相同三函相等
      • 数形结合看三角函数线可得关系
        • 公式二
          • (π＋α) 两终线关于原点对称
        • 三
          • （-α） 两终线关于x轴对称
        • 四
          • （π－α) 两终线关于y轴对称
    • 正余弦转化
      • 数形结合全等
        • 公式五 （π/2-α）
        • 公式五＋四
          • 公式六 （π＋α）
  • 任角三函
    • 图像
      • 五点法
        • 正弦曲线
        • 余弦曲线
        • 正弦曲线
          • 被互相平行的l:x＝π/2＋kx
            • x≠π/2＋kx，k∈Z分割
    • 简单三函性质
      • 周期性
        • 周期函数
          • 判定 f（x＋T）＝f（x）
          • T为周期，使函数任意x都有上述关系
          • 周期不止一个
            • 最小正周期
          • 设T为最小正周期 则有A＝{t | t＝nT，n∈Z且n≠0} 为周期集合
        • 正弦函数 最小正周期为2π
        • 余弦函数 最小正周期为2π
        • 正余三函周期公式
          • T＝2π/w
            • w为自变量的系数
        • 正切函数 最小正周期为π
      • 奇偶性
        • 正（弦/切）奇余偶
      • 单调性
        • 正弦
          • [-π/2＋2kπ,π/2＋2kπ]k∈Z区间上增函数
          • [π/2＋2kπ,3π/2＋2kπ]k∈Z区间上减函数
        • 余弦
          • [(2k＋1)π,(2k＋2)π]k∈Z区间是增函数
          • [2kπ,(2k＋1)π]k∈Z区间上是减函数
        • 正切
          • 在（-π/2＋kx,π/2＋kx）k∈Z区间是增函数
      • 最值
        • 正弦
          • 最大值x ＝2kπ＋π/2(k∈Z)
          • 最小值x＝2kπ-π/2（k∈Z）
        • 余弦
          • 最大值x＝2kπ
          • 最小值x＝（2k＋1）π
        • 正切
          • 无最值
          • 讨论 值域∈R
    • 结构分析
      • sin为例
        • f(x)=Asin（wx＋φ）
          • x 角度/实数为自变量
            • 函数值
              • 单位圆上
                • 坐标取值
                  • 正弦
                    • sinα＝y
                  • 余弦
                    • cosα＝x
                  • 正切
                    • tanα＝y/x
                • 三角函数线取值
                  • 正弦线
                    • 高度
                  • 余弦线
                    • 长度
                  • 正切线
                    • 对角高度
                  • 终边与x轴重合
                    • 高度及对角高度为点 值为零
                  • 终边与y轴重合
                    • 长度为点值为零 对角高度不存在
          • φ平移
            • 左加右减
          • w长度
            • w＞1缩短 0＜w＜1扩大
          • A高度
            • 扩正缩减（上加下减）
            • 振幅
              • 值域[-A，A]
          • 周期T＝2π/w
          • 频率 单位时间内物体往复运动次数
            • f＝1/T＝w/2π
          • 相位
            • wx＋φ
          • 初相 x＝0时的φ
          • 化归思想
    • 同角三角函数基本关系
      • 单位圆上勾股
        • sin²α＋cos²α＝1
      • 坐标取值
        • sinα/cosα＝tanα
  • 应用
    • 注意
      • 画图，根据实际，先确定定义域
      • 看图分析
      • 解值，根据实际，抽取等式
  • 三角恒等变换
    • 两角和差
      • 和角公式
        • S下标略
          • 和角正弦值为 异角正余弦值的积的和
        • C下标（α＋β）
          • 和角余弦值为 余弦的积 和 正弦的积 的差
        • T下标略
          • 和角正切值为 正切值的和 与 1 和 正切值的积 的差 的商
      • 差角公式
        • S下标略
          • 同和角公式 逆加减符号
        • C下标（α-β）
          • 差角余弦值为 余弦的积 与 正弦的积 的和
        • T下标略
          • 同和角公式 逆加减符号
      • 倍角公式
        • S下标2α
          • 两倍的正余弦值 的积
        • C下标略
          • 两倍的余弦值的平方 与 1 的差
          • 1 与 两倍的正弦值的平方 的差
          • 余弦值的平方与正弦值的平方的差
        • T下标略
          • 两倍正切值 与 1 和 正切值的平方 的差 的商
      • 半角公式
        • 符号随象限
          • α/2
            • sin
              • ±根号下1 与 α余弦值 的差的½
            • cos
              • ±根号下1 与 α余弦值 的和的½
            • tan
              • ±根号下1 与α余弦值 的差 和1 与α余弦值 的和 的商
    • 简单变换
      • 看所含角的联系、式子的结构，确定思路和方向、选择的公式
      • 换元思想、方程思想
      • 化简
        • 对1、∫2、√3敏感 构建公式模型
          • 解cosα＝k·n₁ sinα＝k·n₂，n₁、n₂已知的方程
    • 一些结论
      • α、β、α＋β、α-β（换元思想）
        • 2sinα cosβ＝sin（α＋β）＋sin(α-β)
        • sin(α＋β/2)cos（α-β/2）＝（sinα＋sinβ）/2
      • 带平方
        • 公式变形得
          • sin²α＝½（1-cos2α）
          • cos²α＝½（1+cos2α）
          • tan²α＝1-cos2α/1＋cos2α
            • ＝tan2α－2tanα/tan2α
• 平面向量
  • 概念
    • 定义
      • 有方向和大小的量（矢量）
        • 方向与大小都会影响向量
      • 补：无方向有大小 数量（标量）
    • 三要素
      • 起点
      • 方向
        • 有向线段
      • 长度
        • 向量的模
          • 零向量 单位向量
    • 几何表示
      • 箭头线段
    • 两向量关系
      • 共线向量
        • 方向相等或相反
          • 0与任一向量平行共线
        • 判定
          • 1·有|a|＝λ|b|，共线 2.坐标系中，x₁y₂－x₂y₁＝0，共线
      • 相等向量
        • 方向和模一致
          • 0的相等向量是0
      • 相反向量
        • 方向相反 模相等
          • 0的相反向量是0
  • 线性运算
    • 加法
      • 加三角法则
        • 由结果相同引出
          • 几何意义 拐弯得同
      • 平四法则
        • 三角法则变形得
          • 几何意义 一点发散
      • 0
        • 量不变
      • |a＋b|≤|a|＋ |b|
        • 不共线
          • |a＋b|＜|a|＋|b|
        • 共线
          • 相等
        • 其一为0
          • |a＋b|＝|a|－|b|
    • 减法
      • 减三角法则
        • 几何意义 点散后追
      • 双减三角法则
        • 几何意义 点散前追
    • 实数相乘
      • 与数量的乘法基本操作相同 注意方向
      • a，b共线 则有|a|＝λ|b|
        • 同向
          • a＝λb
        • 反向
          • a＝-λb
  • 数量积
    • 定义
      • 两向量相乘得数量
        • 几何意义 A模投影与B模经过位移，相乘得的矩形面积
        • 大小正负与向量模和长度有关
          • a·b＝|a|·|b|·cosθ
    • a·b 夹角变化
      • a⊥b
        • 0
      • 同向
        • ＝|a||b|
      • 反向
        • ＝-|a||b|
      • a＝b
        • a²＝|a|²
    • 向量相乘
      • 符合数量乘法基本规则
  • 基本定理
    • 内容
      • 一平面住，二生万物
        • 两向量
          • 名称 基底
          • 所构成的角
            • 夹角
              • 0º 共线
              • 90º 垂直
              • 180º 反向
    • 基本定理延伸
      • 正交分解
        • 将一向量拆成垂直的两向量
      • 坐标表示
        • O起点，基底系数作坐标
          • （x,y）
        • O不为起点，终点减起点坐标
          • 结果表示此向量O作起点时的坐标
        • 运算
          • 线性运算
            • 加减
              • 对应相加减
            • 实数相乘
              • 对应相乘
          • 数量积
            • 对应相乘再相加
            • |a|²
              • 变形得
                • 求模
                  • 知向量坐标
                    • |a|＝√x²＋y²
                  • 知起终点坐标
                    • |a|＝√（x₂-x₁）²＋（y₂－y₁）²
            • 基本公式变形
              • 求夹角
                • cosθ＝a·b/|a|·|b|＝x₁x₂＋y₁y₂/∫x₁²＋y₁²＋∫x₂²＋y₂²
  • 应用
    • 工具
      • 平面几何
        • 几何问题转化为向量问题 过去
        • 向量运算
          • 搞事
        • 运算结果翻译为几何关系 然后回来
      • 物理