数学必修四思维导图

高中人教版数学必修四读书笔记分享！下面的这一份导图内容涵盖平面向量和三角函数两大类，对平面向量的概念、线性运算、数量积、三角恒等变换等知识要点都做了详细的归纳总结，值得收藏学习！

必修四

三角函数

角

扩大范围

任意角

正角（旋转结果）

旋转方向 逆时针

旋转量 正数

负角（同上）

旋转方向 顺时针

旋转量 负数

零角（同上）

旋转方向 无

旋转量 0º

坐标系中方便研究

象限角

始边始不变,终边定象限

终边在轴上,不属任何象限

同终边角集合

S＝{β | β＝α＋k·360º,k∈Z}

单位制

角度制

º

弧度制

弧度数公式

lαl＝l/r 正负旋转方向决定

与角度制换算

180º＝π rad

弧换角

1º＝π/180 rad

角换弧

扇形公式转化

l＝αr

S＝1/2αR²＝1/2lR

意义

角与实数一一对应

诱导公式

算任意角三函

定点旋转

公式一

终边相同三函相等

数形结合看三角函数线可得关系

公式二

(π＋α) 两终线关于原点对称

三

（-α） 两终线关于x轴对称

四

（π－α) 两终线关于y轴对称

正余弦转化

数形结合全等

公式五 （π/2-α）

公式五＋四

公式六 （π＋α）

任角三函

图像

五点法

正弦曲线

余弦曲线

正弦曲线

被互相平行的l:x＝π/2＋kx

x≠π/2＋kx，k∈Z分割

简单三函性质

周期性

周期函数

判定 f（x＋T）＝f（x）

T为周期，使函数任意x都有上述关系

周期不止一个

最小正周期

设T为最小正周期 则有A＝{t | t＝nT，n∈Z且n≠0} 为周期集合

正弦函数 最小正周期为2π

余弦函数 最小正周期为2π

正余三函周期公式

T＝2π/w

w为自变量的系数

正切函数 最小正周期为π

奇偶性

正（弦/切）奇余偶

单调性

正弦

[-π/2＋2kπ,π/2＋2kπ]k∈Z区间上增函数

[π/2＋2kπ,3π/2＋2kπ]k∈Z区间上减函数

余弦

[(2k＋1)π,(2k＋2)π]k∈Z区间是增函数

[2kπ,(2k＋1)π]k∈Z区间上是减函数

正切

在（-π/2＋kx,π/2＋kx）k∈Z区间是增函数

最值

正弦

最大值x ＝2kπ＋π/2(k∈Z)

最小值x＝2kπ-π/2（k∈Z）

余弦

最大值x＝2kπ

最小值x＝（2k＋1）π

正切

无最值

讨论 值域∈R

结构分析

sin为例

f(x)=Asin（wx＋φ）

x 角度/实数为自变量

函数值

单位圆上

坐标取值

正弦

sinα＝y

余弦

cosα＝x

正切

tanα＝y/x

三角函数线取值

正弦线

高度

余弦线

长度

正切线

对角高度

终边与x轴重合

高度及对角高度为点 值为零

终边与y轴重合

长度为点值为零 对角高度不存在

φ平移

左加右减

w长度

w＞1缩短 0＜w＜1扩大

A高度

扩正缩减（上加下减）

振幅

值域[-A，A]

周期T＝2π/w

频率 单位时间内物体往复运动次数

f＝1/T＝w/2π

相位

wx＋φ

初相 x＝0时的φ

化归思想

同角三角函数基本关系

单位圆上勾股

sin²α＋cos²α＝1

坐标取值

sinα/cosα＝tanα

应用

注意

画图，根据实际，先确定定义域

看图分析

解值，根据实际，抽取等式

三角恒等变换

两角和差

和角公式

S下标略

和角正弦值为 异角正余弦值的积的和

C下标（α＋β）

和角余弦值为 余弦的积 和 正弦的积 的差

T下标略

和角正切值为 正切值的和 与 1 和 正切值的积 的差 的商

差角公式

S下标略

同和角公式 逆加减符号

C下标（α-β）

差角余弦值为 余弦的积 与 正弦的积 的和

T下标略

同和角公式 逆加减符号

倍角公式

S下标2α

两倍的正余弦值 的积

C下标略

两倍的余弦值的平方 与 1 的差

1 与 两倍的正弦值的平方 的差

余弦值的平方与正弦值的平方的差

T下标略

两倍正切值 与 1 和 正切值的平方 的差 的商

半角公式

符号随象限

α/2

sin

±根号下1 与 α余弦值 的差的½

cos

±根号下1 与 α余弦值 的和的½

tan

±根号下1 与α余弦值 的差 和1 与α余弦值 的和 的商

简单变换

看所含角的联系、式子的结构，确定思路和方向、选择的公式

换元思想、方程思想

化简

对1、∫2、√3敏感 构建公式模型

解cosα＝k·n₁ sinα＝k·n₂，n₁、n₂已知的方程

一些结论

α、β、α＋β、α-β（换元思想）

2sinα cosβ＝sin（α＋β）＋sin(α-β)

sin(α＋β/2)cos（α-β/2）＝（sinα＋sinβ）/2

带平方

公式变形得

sin²α＝½（1-cos2α）

cos²α＝½（1+cos2α）

tan²α＝1-cos2α/1＋cos2α

＝tan2α－2tanα/tan2α

平面向量

概念

定义

有方向和大小的量（矢量）

方向与大小都会影响向量

补：无方向有大小 数量（标量）

三要素

起点

方向

有向线段

长度

向量的模

零向量 单位向量

几何表示

箭头线段

两向量关系

共线向量

方向相等或相反

0与任一向量平行共线

判定

1·有|a|＝λ|b|，共线 2.坐标系中，x₁y₂－x₂y₁＝0，共线

相等向量

方向和模一致

0的相等向量是0

相反向量

方向相反 模相等

0的相反向量是0

线性运算

加法

加三角法则

由结果相同引出

几何意义 拐弯得同

平四法则

三角法则变形得

几何意义 一点发散

0

量不变

|a＋b|≤|a|＋ |b|

不共线

|a＋b|＜|a|＋|b|

共线

相等

其一为0

|a＋b|＝|a|－|b|

减法

减三角法则

几何意义 点散后追

双减三角法则

几何意义 点散前追

实数相乘

与数量的乘法基本操作相同 注意方向

a，b共线 则有|a|＝λ|b|

同向

a＝λb

反向

a＝-λb

数量积

定义

两向量相乘得数量

几何意义 A模投影与B模经过位移，相乘得的矩形面积

大小正负与向量模和长度有关

a·b＝|a|·|b|·cosθ

a·b 夹角变化

a⊥b

0

同向

＝|a||b|

反向

＝-|a||b|

a＝b

a²＝|a|²

向量相乘

符合数量乘法基本规则

基本定理

内容

一平面住，二生万物

两向量

名称 基底

所构成的角

夹角

0º 共线

90º 垂直

180º 反向

基本定理延伸

正交分解

将一向量拆成垂直的两向量

坐标表示

O起点，基底系数作坐标

（x,y）

O不为起点，终点减起点坐标

结果表示此向量O作起点时的坐标

运算

线性运算

加减

对应相加减

实数相乘

对应相乘

数量积

对应相乘再相加

|a|²

变形得

求模

知向量坐标

|a|＝√x²＋y²

知起终点坐标

|a|＝√（x₂-x₁）²＋（y₂－y₁）²

基本公式变形

求夹角

cosθ＝a·b/|a|·|b|＝x₁x₂＋y₁y₂/∫x₁²＋y₁²＋∫x₂²＋y₂²

应用

工具

平面几何

几何问题转化为向量问题 过去

向量运算

搞事

运算结果翻译为几何关系 然后回来

物理